黎曼積分與勒貝格積分的比較

1、畢業(yè)論文題 目 黎曼積分與勒貝格積分的比較 學(xué) 院 * 姓 名 * 專業(yè)班級(jí) * 學(xué) 號(hào) * 指導(dǎo)教師 提交日期 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名：年 月 日論文指導(dǎo)教師簽名：年 月 日黎曼積分與勒貝格積分的比較摘 要 本文介紹了黎曼積分和勒貝格積分的概念，通過對(duì)兩類積分的基本性質(zhì)，可積條件,結(jié)合相關(guān)定理，分析了勒貝格積分在積分與極限交換次序的條

2、件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處，并結(jié)合具體實(shí)例，具體說明了黎曼積分和勒貝格積分之間的聯(lián)系與區(qū)別. 關(guān)鍵字 黎曼積分； 勒貝格積分；比較；可測(cè)函數(shù)；可積函數(shù).目錄引言11 定義11.1黎曼積分的定義11.2 勒貝格積分的定義22 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì)22.1黎曼積分的基本性質(zhì)22.2勒貝格積分的基本性質(zhì)33 黎曼可積與勒貝格可積的條件43.1黎曼可積的條件43.2勒貝格可積的條件54 相關(guān)定理54.1與勒貝格積分有關(guān)的定理54.2與黎曼積分有關(guān)的定理65 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系66 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別87 實(shí)例10總結(jié)11參考文獻(xiàn)12致謝13黎曼積分與勒貝格積分的比較引言勒

3、貝格積分相對(duì)于黎曼積分要遲發(fā)展了半個(gè)世紀(jì).我們知道，黎曼積分在求積、物體質(zhì)心、矩量等問題中起著重要作用.黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù)，就從數(shù)學(xué)分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序，牛頓-萊布尼茨公式等來看，在黎曼積分情形所加條件，沒有勒貝格積分情形那樣方便.而用勒貝格積分處理這一類問題是相當(dāng)靈活的.事實(shí)上，如果不用勒貝格測(cè)度概念，數(shù)學(xué)分析中的一些道理很難講清楚.下面就具體比較一下勒貝格積分和黎曼積分的不同處理方法.1 定義1.1黎曼積分的定義設(shè)在上有定義1） 作劃分.在上添加個(gè)分點(diǎn)得到，將分成個(gè)小區(qū)間，記小區(qū)間的長(zhǎng)度為.2） 取近似.任取點(diǎn)，用底為 ，

4、高為的矩形面積近似代替小的曲邊梯形的面積.3） 求和.這些小矩形面積之和為.4） 取極限.令，當(dāng)時(shí)，極限 存在.則稱在上黎曼可積，且有 1.2 勒貝格積分的定義設(shè)是有界可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)1） (簡(jiǎn)單函數(shù)的積分) 設(shè)上簡(jiǎn)單函數(shù)，其中等為互不相交的可測(cè)集，等互異，表示的特征函數(shù).和為簡(jiǎn)單函數(shù)在上的積分，并記為 2） (非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分) 取簡(jiǎn)單函數(shù)滿足，另變動(dòng)，定義在上積分為 如果此量為有限，則稱在上可積，否則只說在上積分為（這時(shí)在上有積分但不可積）.3) （一般可測(cè)函數(shù)的積分）對(duì)于一般可測(cè)函數(shù)，當(dāng)與不同時(shí)為時(shí)，定義 在上的積分為 當(dāng)此式右端兩項(xiàng)均為有限項(xiàng)時(shí)，的積分是有限的，稱在上可積.2 黎曼

5、積分與勒貝格積分的基本性質(zhì)2.1黎曼積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 若在上黎曼可積，為常數(shù)，則在上黎曼可積，且 . 性質(zhì)2 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 . 性質(zhì)3 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積. 性質(zhì)4 在上黎曼可積的充要條件是:任給，在與都黎曼可積，且有等式 .性質(zhì)5 設(shè)為上的黎曼可積函數(shù).若，則 .性質(zhì)6 若在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 .2.2勒貝格積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，等均可測(cè)且兩兩不相交，則有 .性質(zhì)2 設(shè)在有界可測(cè)集上可積，則對(duì)任意正數(shù)，有正數(shù)，使當(dāng)時(shí)就有 .性質(zhì) 3 設(shè)是有界可測(cè)集上的可積函數(shù)，等均可測(cè)且兩兩不相交，則 .性質(zhì) 4

6、設(shè)在上可積，則對(duì)任何實(shí)數(shù)，也可積，且 .性質(zhì) 5 設(shè)在，上均可積,則也可積，且 .性質(zhì) 6 設(shè)在，上均可積,且，則 .3 黎曼可積與勒貝格可積的條件3.1黎曼可積的條件充分條件：1、若為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則在上黎曼可積.2、若為定義在上的只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則在上黎曼可積.3、若為定義在上的單調(diào)函數(shù)，則在上黎曼可積.4、若為定義在上的有界函數(shù)，是的間斷點(diǎn)，且，則在上黎曼可積.充要條件：設(shè)在上有界1、在上黎曼可積的充要條件是：在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即 設(shè)為對(duì)的任意分割.由在上有界，它在每個(gè)上存在上、下確界： ，作和 ，則有 .2、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的一

7、個(gè)分割，使得 .3、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應(yīng)的某一分割，使得 （其中，稱為在上的振幅）.必要條件：若函數(shù)在上黎曼可積，則在上必定有界.3.2勒貝格可積的條件充分條件：1、 若是有界可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則在上勒貝格可積.2、若可測(cè)函數(shù)，在可測(cè)集上幾乎處處滿足，則當(dāng)可積時(shí)，也可積.3、設(shè)為定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，若黎曼可積，則必然勒貝格可積.充要條件：1、設(shè)是可測(cè)集上的有界函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測(cè).2、設(shè)是可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測(cè).4 相關(guān)定理4.1與勒貝格積分有關(guān)的定理1、（唯一性定理）設(shè)在可測(cè)集上勒貝格可積

8、，則的充要條件是.2、（勒維定理）設(shè)可測(cè)集上可測(cè)函數(shù)列滿足下面的條件： ，則的積分序列收斂于的積分： .3、（法杜定理）設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則 .4、（控制收斂定理）設(shè)可測(cè)集上可測(cè)函數(shù)列滿足下面的條件：的極限存在，且有可積函數(shù)使 ，則可積，且有 .4.2與黎曼積分有關(guān)的定理1（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其極限函數(shù)在上也連續(xù).2（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 .3（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若為的收斂點(diǎn)，的每一項(xiàng)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則 .5 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系1、對(duì)于定義在上的函數(shù)，若它是黎曼可積的，則必然是勒貝格

9、可積的，且 由此可知，通常在計(jì)算勒貝格積分時(shí)，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解.下面先看一個(gè)例子.例1 計(jì)算在上的積分.解 用截?cái)嗪瘮?shù)求解 是上的非負(fù)函數(shù)，作截?cái)嗪瘮?shù) 顯然，對(duì)每個(gè)均黎曼可積，故也勒貝格可積，且有 于是 ， 注：上述結(jié)論只對(duì)上的有界函數(shù)成立，對(duì)于無界函數(shù)的廣義積分，結(jié)論不再成立.例2 在上定義函數(shù) 其反常積分的值為，但，不是勒貝格可積的.但對(duì)于非負(fù)有界函數(shù)的黎曼反常積分，若在上黎曼反常積分存在，則必勒貝格可積的，且積分值相等.2、 勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積例3 在上定義狄利克雷函數(shù)： 就不是黎曼可積的.事實(shí)上，對(duì)區(qū)間的任意分劃，一切積分大和

10、等于，一切積分小和等于.因而不可能是黎曼可積的.但是，注意到，就知道的勒貝格積分存在且等于.3、 勒貝格積分是一定意義下黎曼積分的推廣（測(cè)度是長(zhǎng)度的推廣，可測(cè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣）注：勒貝格積分并不是單純的對(duì)黎曼積分的推廣例4 設(shè)函數(shù)定義在上，由于在廣義積分理論有，從而是黎曼可積的，但是在勒貝格積分理論中，由于，即非絕對(duì)可積，故不是勒貝格可積的.6 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別1、 就可積函數(shù)的積分范圍來看，勒貝格積分比黎曼積分更廣泛.對(duì)定義域和值域的劃分是黎曼積分與勒貝格積分最本質(zhì)的區(qū)別.黎曼積分是將給定的函數(shù)劃分定義域而產(chǎn)生的，而勒貝格積分是通過劃分函數(shù)值域而產(chǎn)生的. 黎曼積分劃分后的區(qū)間長(zhǎng)

11、度很容易給出，但當(dāng)分割的細(xì)度加細(xì)時(shí)，函數(shù)的振幅仍可能較大，而勒貝格積分的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)的振幅較小，從而擴(kuò)展了可積函數(shù)類，使許多問題得到解決.但一般不再是區(qū)間，而是可測(cè)集，其度量一般不容易給出.然而就是這一點(diǎn)點(diǎn)差別，使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具有的良好性質(zhì).因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的2、 從某些極限過程來看，勒貝格積分比黎曼積分更優(yōu)越些.對(duì)黎曼積分來說，關(guān)于積分列求極限的問題，經(jīng)常要求函數(shù)序列一致收斂（充分條件），極限才可以與積分號(hào)交換順序.從運(yùn)算的角度看不僅不方便，限制也過強(qiáng).然而關(guān)于勒貝格積分，對(duì)函數(shù)列的要求就寬的多.例5 在上定義狄利克雷函數(shù)：把中的有理點(diǎn)依次排列為 作函數(shù)：則處處收

12、斂于，且，.由勒貝格控制收斂定理知，是勒貝格可積的，且有 .但由例3知，不是黎曼可積的，就談不上上述極限等式成立的可能性.盡管在黎曼積分意義下， ， .3、 微積分基本定理的使用范圍擴(kuò)大了.我們來看數(shù)學(xué)分析中的牛頓-萊布尼茨公式 在數(shù)學(xué)分析中通常在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的假定下證明上述公式，或者將條件減弱些，但總要求為黎曼可積才行.可是對(duì)于勒貝格積分情形，可以在為勒貝格可積的條件下進(jìn)行討論.當(dāng)有界時(shí)，證明微積分基本定理并不難，但當(dāng)無界時(shí)，只要是可積的，微積分基本定理成立.4、 黎曼積分和勒貝格積分的可加性（區(qū)域可加性）不同.由前面黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)知道，黎曼積分具有有限可加性，但沒有可列可加性，而

13、對(duì)于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，還具有可列可加性.克服了黎曼積分的缺陷.對(duì)于這兩種積分的可加性不難理解，我們知道，黎曼積分建立在區(qū)間之上，而區(qū)間只有有限可加性，勒貝格積分建立在勒貝格測(cè)度之上，測(cè)度具有可列可加性，由于它們之間的密切聯(lián)系，區(qū)間和勒貝格測(cè)度也就反映到相應(yīng)的積分上來了.7 實(shí)例因?yàn)槔肇惛穹e分相對(duì)黎曼積分的優(yōu)越性，所以我們平時(shí)用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問題.例6 計(jì)算上黎曼函數(shù) 的積分.分析：這個(gè)函數(shù)在所有無理點(diǎn)處是連續(xù)的，在有理點(diǎn)處是不連續(xù)的，雖然在中有無窮多個(gè)有理點(diǎn)，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點(diǎn)有無窮多個(gè)，但它仍是黎曼可積的，但用黎曼積分方法求其積分值比較復(fù)雜，然而用勒貝格

14、積分的方法求積分值就十分簡(jiǎn)單了.解 由是黎曼可積幾乎處處連續(xù)，令，則 例7 求極限 .解 因?yàn)橛?且有 由勒貝格控制收斂定理可得 .利用勒貝格積分可得出黎曼積分比較深刻的理論，其中之一就是黎曼可積條件的推廣.利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明：對(duì)上有界函數(shù)，黎曼可積的充分必要條件是在上不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度長(zhǎng)為，這是黎曼積分的本質(zhì)特性，從黎曼積分的自身理論是推不出來的，必須借助勒貝格積分理論才能得到.但是，黎曼積分也有它的優(yōu)勢(shì)，比如在非均勻分布時(shí)，“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等的問題上，用黎曼積分比較簡(jiǎn)潔方便.總結(jié)1 勒貝格積分和黎曼積分之間有一種相互依賴、相互補(bǔ)充及特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系

15、.2 勒貝格積分拓寬了黎曼積分的定義，使得可積性的條件要求減弱了.3 勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處.它，放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過強(qiáng)要求，由勒貝格控制收斂定理，只要所給函數(shù)列可測(cè)、有界、收斂，積分與極限就可交換次序.4 勒貝格積分并沒有完全否定黎曼積分，它把黎曼積分作為一種特例加以概括，并在一定條件下勒貝格積分可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分.由此可見，黎曼積分和勒貝格積分各有自己的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值.參考文獻(xiàn)1 鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第四版）M.北京：高等教育出版社，20102 周成林.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系J. 河南：新鄉(xiāng)教育學(xué)報(bào).2005:(18)75-76 3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第四版）M. 北京：高等教育出版社，20104 周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論M. 北京：北京大學(xué)出版社，2001:158-1735 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（第二版）M. 北京：高等教育出版社，20046 那湯松.實(shí)變函數(shù)論（第五版）M. 北京：