712-4向量的線性運算（98）

1、*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500 m到達(dá)超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60角方向行走200 m到達(dá)學(xué)校（C處）（如圖76）王濤同學(xué)這兩次位移的總效果是從家（A處）到達(dá)了學(xué)校（C處） ABC圖76500m200m*動腦思考 探索新知位移叫做位移與位移的和，記作=+圖77ACBaba+bab一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A(如圖76)，依次作=a, =b，則向量叫做向量a與向量b的和，記作ab ，即 ab = （71）求向量的和的運算叫做向量的加法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則觀察圖77可以看到：依照三角形法則進(jìn)行向量a與

2、向量b的加法運算，運算的結(jié)果仍然是向量，叫做a與b的和向量其和向量的起點是向量a的起點，終點是向量b 的終點【做一做】給出兩個不共線的向量a和b，畫出它們的和向量【想一想】（1）ab與ba相等嗎？請畫出圖來說明（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？*動腦思考 探索新知如圖79所示， ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得圖79ADCB=這說明，在平行四邊形ABCD中， 所表示的向量就是與的和這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：（1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba；（3）（a

3、b） c = a （bc）*鞏固知識 典型例題例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5 km/h，求該船的實際航行速度ABDC圖710解 如圖710所示，表示船速，為水流速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然=13又，利用計算器求得即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線(水流方向)的夾角約*例4 用兩條同樣的繩子掛一個物體（圖711）設(shè)物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小分析 由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是，所以解決問題不考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以.解 利用平行四邊

4、形法則，可以得到F1F2k圖711，所以 【想一想】根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(如圖712)，兩臂成什么角度時，雙臂受力最??？ 圖7-12*運用知識 強化練習(xí)練習(xí)7.1.21 如圖，已知a，b，求ab（圖115）bbaa（1） （2）第1題圖2填空（向量如圖所示）：（1）ab =_ ,（2）bc =_ ,（3）abc =_ 3計算： （1）； （2）*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入在進(jìn)行數(shù)學(xué)運算的時候，減去一個數(shù)可以看作加上這個數(shù)的相反數(shù)*動腦思考 探索新知與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差即a b = a(b)設(shè)a，b ，則即 = （72）觀察圖71

5、3可以得到：起點相同的兩個向量a、 b，其差ab仍然是一個向量，叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點 aAa-bBbO圖713*鞏固知識 典型例題例5 已知如圖714（1）所示向量a 、b ，請畫出向量abBbOaAba（1）（2）圖714解 如圖714（2）所示，以平面上任一點O為起點，作=a，=b，連接BA，則向量為所求的差向量，即= ab 【想一想】 當(dāng)a與 b共線時，如何畫出ab *運用知識 強化練習(xí)1填空：（1）=_，（2）=_，（3）=_2如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)= a,= b，試用a, b表示向量、*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入觀察圖715可以看出，向

6、量與向量a共線，并且3aaaaaOABC圖715*動腦思考 探索新知一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為 （73）若0，則當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時，有 （74）一般地，有 0a= 0, 0 = 0 數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于任意向量a, b及任意實數(shù)，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：【做一做】請畫出圖形來，分別驗證這些法則向量加法及數(shù)乘運算在形式上與實數(shù)的有關(guān)運算規(guī)律相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運算中但是，要注意向量的運算與數(shù)的

7、運算的意義是不同的*鞏固知識 典型例題例6 在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖716，a ，b，試用a, b表示向量、分析 因為,，所以需要首先分別求出向量與.圖716解 ab,b a，因為O分別為AC，BD的中點，所以（ab）ab，（b a）a+b例6中，ab和a+b都叫做向量a，b的線性組合，或者說，、可以用向量a，b線性表示一般地，ab叫做a, b的一個線性組合（其中,均為系數(shù)）如果l a b，則稱l可以用a，b線性表示 向量的加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算 *運用知識 強化練習(xí)1 計算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）2設(shè)a, b不共線，求作有向線段，使（ab）*理論升華 整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：向量、向量的模、向量相等是如何定義的？結(jié)論：當(dāng)一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次記作，a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a = b *歸納小結(jié) 強化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點和難點各是什么？*