第十一章11.111.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)人教B版(新教材)改題型

1、11.1.2 構(gòu)成空間幾何體的基本元素課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)構(gòu)成幾何體的 基本元素，認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線(xiàn)、 平間的位置關(guān)系.2 .用數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)、直線(xiàn)、平間的位 置關(guān)系.以長(zhǎng)方體為載體，認(rèn)識(shí)和理解點(diǎn)、直線(xiàn)、 平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象 素養(yǎng)，提升直觀(guān)想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)知訴探究教材知識(shí)探究情境引入|與我們生活密切相關(guān)的住所和使用的建筑物從形狀上來(lái)看,它們都是由幾何體構(gòu)成的.問(wèn)題構(gòu)成空間幾何體的基本元素是什么？提示 可以將點(diǎn)、線(xiàn)、面看成構(gòu)成空間幾何體的基本元素上新知梳理1 .空間中的點(diǎn)、線(xiàn)、面可以將去 組 看作構(gòu)成空間幾何體的基本元素，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是線(xiàn)，線(xiàn) 運(yùn)動(dòng)

2、的軌跡可以是也 面運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是體_.2 .空間中點(diǎn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系兩條直線(xiàn)有平行、相交、異面三種位置關(guān)系(1)兩點(diǎn)A和B確定的直線(xiàn)記作直線(xiàn) AB,可用小寫(xiě)字母表示直線(xiàn)，如直線(xiàn)1;點(diǎn) A是1上的點(diǎn)，記作 A_L，點(diǎn)D不是1上的點(diǎn)，記作D21.(2)空間中的兩條直線(xiàn)，可以既不平行，也不相交，此時(shí)稱(chēng)這兩條直線(xiàn)異面.如果a與b是空間中的兩條直線(xiàn)，則anbw?與aAb = ?有且只有一種情況成立， 而且當(dāng)aC b=?時(shí)，a與b要么平行(a / b),要么異面.直線(xiàn)1與直線(xiàn)m相交于點(diǎn)P,記作 mA l = P.3 .空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系直線(xiàn)用小寫(xiě)字母a, b, l, m等

3、表示，平面用希臘字母 % 就 丫等表示(1)直線(xiàn)與平面位置關(guān)系有兩種：直線(xiàn)在平面內(nèi)與直線(xiàn)在平面外.點(diǎn)A, B所確定白直線(xiàn)l上的所有點(diǎn)都在平面a內(nèi)，稱(chēng)為直線(xiàn)l在平面a內(nèi)(或 平面a過(guò)直線(xiàn)1),記作1?a.點(diǎn)B, B1確定的直線(xiàn)m上至少有一個(gè)點(diǎn)不在平面 a內(nèi)，稱(chēng)為直線(xiàn)m在平面a 外，記作：m?a.如果m與平面a有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,稱(chēng)為直線(xiàn)m與平面a 相交，記作：mn a= A;如果直線(xiàn)m與平面a沒(méi)有公共點(diǎn)，即mn a= ?時(shí)，稱(chēng)直 線(xiàn)與平面平行,記作 m/ a(2)平面與平面位置關(guān)系有兩種：相交和平行.平面a與平面B有公共點(diǎn)，則稱(chēng)為平面a與平面B相交，記作aA辭？,且a與 B的公共點(diǎn)組成一條直線(xiàn)

4、1,可記作aA片1;平面a與平面B沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng) 平面a與平面B平行，記作.aO4 .直線(xiàn)與平面垂直(1)一般地，如果直線(xiàn)1與平面a相交于一點(diǎn)A,且對(duì)平面a內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)A的 直線(xiàn)m,都有 Um,則稱(chēng)直線(xiàn)1與平面a垂直(或1是平面a的一條垂線(xiàn)，a是直 線(xiàn)1的一個(gè)垂面)，記作11%其中A為垂足.(2)給定空間一個(gè)平面a及一個(gè)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A可以作而且只可以作平面 a的一條 垂線(xiàn).如果記垂足為B,則稱(chēng)B為A在平面a內(nèi)的射影(或投影)，線(xiàn)段AB為平面 a的垂線(xiàn)段，AB的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面a的距離.(3)當(dāng)直線(xiàn)與平面平行時(shí),直線(xiàn)上任近二點(diǎn)到平面的距離稱(chēng)為這條直線(xiàn)到這個(gè)平 面的距離；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平

5、面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱(chēng)為 這兩平行平面之間的距離.教材拓展補(bǔ)遺微判斷1 .空間兩條直線(xiàn)若沒(méi)有公共點(diǎn)，則一定平行.(乂 )提示還可能異面.2 .直線(xiàn)1在平面外，則直線(xiàn)1與平面平行.(X)提示 直線(xiàn) l 在平面外，指直線(xiàn)l 上至少有一個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，可能相交.3 .兩個(gè)平面a與B相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn).(X)提示當(dāng)兩個(gè)平面a與B相交時(shí)，所有的交點(diǎn)組成一條直線(xiàn). 微訓(xùn)練 1 .下列不屬于空間幾何體的基本元素的是()A. 點(diǎn)B.線(xiàn)段C.曲面D.多邊形(不包括內(nèi)部的點(diǎn))答案 D2 .下列關(guān)于直線(xiàn)l與平面a的符號(hào)表示不正確的是()A.l? aB.l / aC.l C aD.l A a = A解析

6、 直線(xiàn)l在平面a內(nèi)表示為l? a,點(diǎn)A在平面a內(nèi)，應(yīng)為AC a答案 C3.用符號(hào)表示下列點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系.(1)點(diǎn)A不在平面a內(nèi).(2)直線(xiàn)l 與直線(xiàn) m 相交于點(diǎn)A.直線(xiàn)l與平面a相交于點(diǎn)P.解(1)A?a (2)lAm=A(3)l A a= P 微思考 1 .空間中直線(xiàn)與平面有怎樣的位置關(guān)系？如何分類(lèi)？提示直線(xiàn)與平面接交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為直線(xiàn)在平面內(nèi)(l? a)與直線(xiàn)在平面外(l? a)兩種位置關(guān)系，其中直線(xiàn)在平面外，又包括直線(xiàn)與平面相交和直線(xiàn)與平面平行兩種位置關(guān)系.2.如果直線(xiàn)l，平面a, A是垂足，過(guò)A點(diǎn)在平面a內(nèi)有多少直線(xiàn)與l垂直？提示 由直線(xiàn)l與平面a垂直的定義知，過(guò)A點(diǎn)在平面內(nèi)的任一條

7、直線(xiàn)都與l垂直.課堂互動(dòng)題型剖析題型一構(gòu)成幾何體的基本元素【例1】 指出如圖所示幾何體中的點(diǎn)、線(xiàn)、面.解 點(diǎn)：頂點(diǎn) A, B, C, D, M, N;線(xiàn)：棱 AB, BC, CD, DA,MA, MB, MC, MD, NA, NB, NC, ND;面：平面 MAD,平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.規(guī)律方法 組成幾何體的是面，面與面相交得到線(xiàn)，即棱；線(xiàn)與線(xiàn)相交得到點(diǎn)，即幾何體的頂點(diǎn).【訓(xùn)練11如圖所示的棱錐有()個(gè)面A.3B.4C.5D.6解析四棱錐有5個(gè)面.答案 C題型二 長(zhǎng)方體中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系探究1點(diǎn)與線(xiàn)、線(xiàn)與線(xiàn)的位置關(guān)系【例21】

8、 在長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi中.(1)點(diǎn)A在哪幾條棱上？與直線(xiàn)DD1平行的直線(xiàn)有哪些？(3)與直線(xiàn)DD1異面的直線(xiàn)有哪些？解 (1)點(diǎn)A在棱AB, AD, AA1上.(2)與直線(xiàn)DD1平行的直線(xiàn)有直線(xiàn) AA1, BB1, CC1.(3)與直線(xiàn)DD1異面的直線(xiàn)有直線(xiàn) AB, A1B1, BC, B1C1.探究2直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系【例2 2】 在正方體 ABCD A1B1C1D1中.(1)寫(xiě)出所有與直線(xiàn)BC平行的平面，并用合適的符號(hào)表示;(2)寫(xiě)出所有的面與直線(xiàn)AB 的位置關(guān)系，并用合適的符號(hào)表示.解 (1)BC/平面 ADDiAi, BC/平面 A1B1C1D1.(2)AB?平面 AB

9、CD , AB?平面 ABB1A1,AB/平面 A1B1C1D1, AB/平面 CDD1C1,AB，平面 ADD1A1, AB，平面 BCC1B1.探究 3 平面與平面的位置關(guān)系【例2 3】 在正方體ABCD A1B1C1D1中.(1)寫(xiě)出與平面ABCD 平行的平面，并用合適的符號(hào)表示；(2)寫(xiě)出平面BCC1B1 與平面CDD1C1 的位置關(guān)系，并用合適的符號(hào)表示.解 平面A1B1C1D1 /平面ABCD.(2)平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，即平面BCC1B1A平面CDD1C1=直線(xiàn)CC1.規(guī)律方法解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是識(shí)圖，聯(lián)系點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的定義，根據(jù)圖形識(shí)別直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)

10、與平面、平面與平面的位置關(guān)系.【訓(xùn)練2】在正方體ABCD A1B1C1D1 中，寫(xiě)出所有：(1)與直線(xiàn)AD 平行的直線(xiàn)，與AD 異面的直線(xiàn).(2)與直線(xiàn)AD 平行的平面，并用合適的符號(hào)表示.(3)與直線(xiàn)AD 垂直的平面，并用合適的符號(hào)表示.(4)與平面BCC1B1 平行的平面，并用合適的符號(hào)表示.解(1)與 AD 平行的直線(xiàn)有BC， A1D1， B1C1， 與 AD 異面的直線(xiàn)有：A1B1， C1D1，BB1， CC1.直線(xiàn)AD /平面BCC1B1,直線(xiàn)AD /平面A1B1C1D1.直線(xiàn)AD，平面ABB1A1,直線(xiàn)AD，平面CDD1C1.平面ADD1A1 /平面BCC1B1.題型三 距離【例3

11、】 線(xiàn)段AB長(zhǎng)為5 cm,在水平面上向右移動(dòng)4 cm后記為CD,將CD沿鉛垂線(xiàn)方向向下移動(dòng)3 cm后記為CD再將CD沿水平方向向左移動(dòng)4 cm后記為AB,依次連接才成長(zhǎng)方體 ABCD ABCD (1)該長(zhǎng)方體的高為； (2)平面A B BA與平面CDD C間的距離為;點(diǎn)A到平面BCCB的距離為 解析 如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD ABCD中,AB=5 cm, BC =4 cm, CC=3 cm,，長(zhǎng)方體白勺高為3 cm；平面ABBA與平面CDD C之間的距離為4 cm；點(diǎn)A到平面BCCB的距離為5 cm.答案 (1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm規(guī)律方法 求距離首先要找垂線(xiàn)，即找出平面的

12、垂線(xiàn)，結(jié)合長(zhǎng)方體中點(diǎn)、線(xiàn)、面 關(guān)系即可求.【訓(xùn)練3】 在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，AB=2, AD = 3, AAi = 5,則直線(xiàn) BC到平面ADDiAi的距離為,平面ABBiAi與平面CDDiCi之間的距離 為.解析 直線(xiàn)BC到平面ADDiAi的距離為AB = 2,平面ABBiAi到平面CDDiCi之間的距離為AD = 3.答案 2 3至更提升核心素養(yǎng)、素養(yǎng)落地1 .通過(guò)對(duì)點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng), 提升直觀(guān)想象素養(yǎng).2 .空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系(i)空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系：平行、相交、異面直線(xiàn)在平面內(nèi)(2)直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系:直線(xiàn)在平面

13、外直線(xiàn)與平面相交. 直線(xiàn)與平面平行(3)兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交二、素養(yǎng)訓(xùn)練1 .下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述中，不正確的是（）A.將一個(gè)水平放置的矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個(gè)長(zhǎng)方體B.長(zhǎng)方體中相對(duì)的面都互相平行C.長(zhǎng)方體中的任意兩條棱要么相交，要么平行D.兩平行平面之間的棱互相平行且相等解析長(zhǎng)方體中的任意兩條棱也可能異面.答案 C2 .在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi的六個(gè)面中，與平面 ABCD平行的面有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析 平面AiBiCiDi與平面ABCD平行.答案 A3 .在長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi的下列棱中，與棱 AiDi既不相交也不平行

14、的是 （） A.AiBi B.BC C.BiB D.AD解析 AiBi AAiDi = Ai, BC/ AiDi, AD /AiDi.答案 C4 .在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，直線(xiàn)BC與平面AiBiCiDi的位置關(guān)系用符號(hào)表 示為.解析 直線(xiàn)BC與平面AiBiCiDi平行.答案 BC/平面AiBiCiDi課后作業(yè)| 鞏固提高I| | ；基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題i.在空間中，下列說(shuō)法正確的是（）A.一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成直線(xiàn)B.直線(xiàn)平行移動(dòng)形成平面或曲面C.曲線(xiàn)的平移一定形成曲面D.矩形上各點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)形成長(zhǎng)方體解析 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的是直線(xiàn)或曲線(xiàn)，故 A錯(cuò)；C中若曲線(xiàn)在一個(gè)平面上，則在該平面上移動(dòng)時(shí)

15、不能形成曲面；D中沒(méi)有說(shuō)明移動(dòng)的方向與距離，故不一定成長(zhǎng) 方體.答案 B2 .在長(zhǎng)方體ABCD AiBiCiDi中，棱CD所在直線(xiàn)與平面 ABCD的位置關(guān)系表示 正確的是（）A.直線(xiàn)CD 平面ABCD B.直線(xiàn)CD /平面 ABCDC.直線(xiàn)CD?平面ABCD D.直線(xiàn)CD n平面ABCD = D解析 棱CD在平面ABCD內(nèi),故CD?平面ABCD.答案 C3 .正方體ABCD-Ai BiCiDi中，棱長(zhǎng)為2 cm,則點(diǎn)A與點(diǎn)Ci的距離為（）A.2 .2B.2 5C.2D.2 3解析 連接 AC,則 AC = 2V2XCCi，W ABCD, .AC2=AC2+CC2=i2,ACi =2y3.答案

16、D4 .在長(zhǎng)方體 ABCD-AiBiCiDi中，與棱 AiBi異面的棱有（）條A.4B.3C.2D.i解析 與AiBi異面的是AD, DDi, BC, CCi, 4條棱.答案 A5 .如果點(diǎn)AC l, l / %則下列結(jié)論成立的是（）A.AC aB.l? aC.A?aD.lAaW?解析 因?yàn)閘 / a,則l與a沒(méi)有公共點(diǎn)，又A C l ,所以A? a.答案 C、填空題6 .在如圖所示的長(zhǎng)方體 ABCD ABCD中，互相平行的平面共有對(duì)，與A A垂直的平面是.解析 平面 ABCD與平面 ABCD平行，平面 ABBA與平面CDDC平行，平面 ADDA與平面BCCB平行，共3對(duì).與AA垂直的平面是平

17、面ABCD,平面 ABCD答案 3 平面ABCD,平面ABCD7 .長(zhǎng)方體有個(gè)面, 條棱, 個(gè)頂點(diǎn).解析 長(zhǎng)方體有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn).答案 6 12 88 .如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，和棱AiBi不相交 的棱有條.解析 不相交包括與AiBi平行的棱，有3條，與AiBi異面的 棱，有4條.答案 7三、解答題9 .如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD ABCD中，如果把它的i2條棱 延伸為直線(xiàn)，6個(gè)面延伸為平面，那么在這i2條直線(xiàn)與6個(gè)平面 中，回答下列問(wèn)題：(i)與直線(xiàn)BC平行的平面有哪幾個(gè)?(2)與直線(xiàn)BC垂直的平面有哪幾個(gè)?(3)與平面BC平行的平面有哪幾個(gè)？(4)與

18、平面BC垂直的直線(xiàn)有哪幾條？解 (i)與直線(xiàn)BC平行的平面有：平面 AD ；平面AC.(2)與直線(xiàn)BC垂直的平面有：平面 AB ；平面CD與平面BC平行的平面有：平面 AD (4)與平面BC垂直的直線(xiàn)有：AB, CD, AB； CDB10 .如圖所示，在長(zhǎng)方體 ABCD-ABCD中，AB= 3 cm, BC =2 cm, BB= 1 cm,求(1)點(diǎn)A到平面BBCC的距離； 直線(xiàn)AD與平面ABCD的距離；(3)平面ABBA與平面CDDC的距離.解(1)點(diǎn)A到平面BBCC的距離為AB= 3 cm.直線(xiàn)AD與平面ABCD的距離為AA= 1 cm.(3)平面ABBA與平面CDDC的距離為 AD=2 cm.能力提升11若a和b是異面直線(xiàn)，b和c是異面直線(xiàn)，則a和c的位置關(guān)系是()A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面解析 結(jié)合長(zhǎng)方體，易知a和c可以平行、相交或異面 答案 D12 .如圖所示的是長(zhǎng)方體的表面展示圖，在這個(gè)長(zhǎng)方體中:直線(xiàn)DM與平面ABQP的位置關(guān)系是怎樣的？(2)平面DCMN與平面ERFG的位置關(guān)系是怎樣的?MF卜 Ah G)(3)線(xiàn)段BC的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到平面APQB的距離嗎？ 解 根據(jù)展開(kāi)圖，折疊得到幾何體