空間向量知識點歸納總結-精選.

1、空間向量知識點歸納總結知識要點。1 .空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫 做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示 同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表 示。2 .空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）OAuuuuuuuuurv uuuuurOBOAABab ； BAOA運算律：加法交換律：加法結合律：（a b） cuuu rob aabbaa (b c)數(shù)乘分配律：（a b） a b3 .共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合， 那么這些向量也叫做共

2、線向量或平行向量，a平行于b ,記作a / b。當我們說向量a、b共線（或ab）時，表7K a、b的有向線 段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量 a、b （b中0）, ab 存在實數(shù)入，使a =入b。4 .共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面 向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。rr（2）共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)"丫使3 xyb5 .空間向量基本定理：如果三個向量 a,b,c不共面，那么對空 間任一向量p ,存在一個唯一的有序實數(shù)組x, y,z ,使 p xa

3、yb zc若三向量a,b,c不共面，我們把£6叫做空間的一個基底， a,b,c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的 一個基底。推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存 在唯一的三個有序實數(shù)x,y,z,使OPr xOA yOBu zOCr o6 .空間向量的直角坐標系：(1)空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系O xyz中，對空間任一點A,存在唯一的有 序實數(shù)組(x, y, z),使oA xi yi zk,有序實數(shù)組(x, y,z)叫作向量A在 空間直角坐標系O xyz中的坐標，記作A(x, y,z), x叫橫坐標，y叫 縱坐標，z叫豎坐標。wo

4、rd.(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為 1,r r r這個基底叫單位正交基底，用i,j,k表示。(3)空間向量的直角坐標運算律：rrr r右 a(),2,3), b(bbh),貝Ua b(a14,2b2,3d),r rra b (a bi,a2 b2,a3 坊)， a ( a1，a2, 23)(R),r ra b a1bl a2b2 a3b3 , r ra/b a b© b2©4( R),r ra ba1b1 a2b2 a3b3 0。uuir右 A(x1，yz) , B(x2,y2,z2),貝U AB d xl yz 乙)。一個向量在直角坐標系中的坐標等于

5、表示這個向量的有向 線段的終點的坐標減去起點的坐標。rr(b1,b2,b3),(4)模長公式：右a電鼻向)，b貝 U | a | . a a - ai(5)夾角公式:cos： a b jra br=|a| Iblai2. 22b2b3aha2b2a3b322222a2a3-,hbib22 ° b3(6)兩點間的距離公式：若A(Xi,yi,4), B(X2,y22),貝U | AB | ,AB2 , (X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 Zi)2 ,或 dA,B.(X2 Xi)2 (y2 yi)2 & 乙)27.空間向量的數(shù)量積。r（D空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向

6、量a,b,在空間任取一點O,作OA a,OBr b,則AOB叫做向量a與b的夾角,記作r r a, brra, b ；且規(guī) JE 0 a, brr，顯然有a,bb,a；右rr-,則稱a與b互相垂直，記作：a b o2（2）向量的模：設OA a,則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：1a1。rr（3）向川的數(shù)母積：已知向建 a,b,則iaibicosa,br叫做a,b的數(shù)量積，記作ab,即abr（4）空間向量數(shù)量積的性質:r r|a| |b| cosr ra,b 。r r . r . r r a e | a | cos a, ear a a（5）空間向量數(shù)量積運算律:r rr rr r

7、(a) b(a b) a ( b)。a （交換律）。a （b r） a b a c （分配律）（6）:空間向量的坐標運算：i.向量的直角坐標運算設a(i)(ai bi,a2(3)aibi a2 b2二(ai ,a2, a3), a + b =b2, a3 4)；(ai,2.設 A(xi, yi, zi),3、設r raPbrb = (n,b2,b3)則(aia2,bi,a2 b2, a3 b3)a3)(入 G R)uuuB(X2, y2,Z2),則 ABa (Xi,yi,Zi), b (X2, y2,Z2)b(b 0)；(2)uuuOBuuuOA =(X2Xi, y2yi, Z2XiX2y1y

8、2ZiZ2Zi).0.r4 .夾角公式 設2 =（闞島），b =（bhh）, 則cosa,baibia2b2a3b3：a； a2a；b2b2b325 .異面直線所成角r rcos|cos a,b | =MM|a| |b|x1x2、1、2z1z2|222222：XiyiZiX2y2 Z26.平面外一點p到平面的距離r . 一_.已知AB為平面 的一條斜線，n為平面的一個法向量，A到平面的距離為:uur rd 0|n|【典型例題】例i.已知平行六面體-ABCD ,化簡下列向量表達式，標出化簡結果的向量。/ 、uur uur(1) AB BC ；.ULUT UUT i UUUU AB AD -CC

9、；2/ 、UUin uult uult AB AD AA ;i UUT UULT uuur 3 (AB AD AA)。G在線段MN上，且MG例2.對空間任一點。和不共線的三點A,B,C,問滿足向量式： UUU UUT UUU UUUTOP xOA yOB zOC （其中x y z i）的四點P,A,B,C是否共 面？例3.已知空間四邊形OABC ,其對角線OB,AC , M,N分別是對邊OA,BC的中點，點UUT UUT UULT 1.一OA,OB,OC 表7KUUUL向反OG。例4.如圖，在空間四邊形OABCP, OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5,如OA,ACr135。易錯寫O

10、AC 45o,OAB 60o,求OA與BC的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯, .、uuu uur成 OA, AC45o,切記！例 5.長方體 ABCD A1B1c1D1 中，AB點，F(xiàn)為BC1與B1c的交點，又AF BE空間向量與立體幾何練習題一、選擇題1 .如圖，棱長為2的正方體ABCD ABGD1在空間直角坐標系中，若E,F分別是BC,DDi中點，則EFr的坐標為()A. (1,2, 1) B. _( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)2 .如圖，一ABCD是正方體，BE1=DF1=A曳，4則1與1所成角的余弦值是()A 15B. 1172C.力D

11、.53 .在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是正方形，E為word.uuuPD中點，右PAra，uuuPBr uuir b , PCrc ,r r uuu則BE (1 r 1 r A. -a b1r cB.1 r- a1rb1 r-c222一2221 r 3 r C. 一a -b1r cD.1 r-a1r b3r c222222二、填空題uur uur r4 .右點 A(1,2,3) , B( 3,2,7)，且 AC BC 0,貝 U 點 C 的坐標為.5 .在正方體ABCD ARG)中，直線AD與平面ABCi夾角的余弦值為.三、解答題1、在正四棱柱1BGD中，1與底面所成的角為，4(1)求

12、證BD1面ABiC (2)求二面角Bi AC B的正切值2 .在三棱錐P ABC中，AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , “ D 是 PA 中點，點 E 在 BC 上，且 BE 2CE,(1)求證：AC BD ； (2)求直線 DE 與PC夾角 的余弦猛；(3)求點A到平面BDE的距離 d的值.3 .在四棱錐P中，底面是一直角梯形，/ 90° , 2a,且，底面，與底面成 30°角.(1)若，E為垂足，求證：±(2)求異面直線與所成角的余弦值.4、已知棱長為1的正方體1, E、F分別是BG、CiD的中點.(1)(2)求點A到平面的的距離

13、丘(3)求求證：E、F、D B共面; 直線AD與平面所成的角.word.5、已知正方體一ABGD的棱長為2,點E為棱的中點，求：(1) DE與平面iD所成角的大??；(II)二面角D1 C的大小;【模擬試題】1 .已知空間四邊形 ABCD ,連結AC,BD ,設M ,G分別是BC,CD的 uur uuin uuin中點，化筒下列各表達式，弁標出化徇結果向量：(1)AB BC CD ;uuu i uur uur AB (BD BC)；uuur i uuu umr(3) AG -(AB AC)。2.已知平行四邊形，從平面 uuu uur uur uuu uur uur uur OE kOAOF kO

14、BQG kOC,OH面；平面AC 平面EG。AC外一點O引向量。kODo (1)求證：四點E,F,G,H共DF求BEi與DFi所成角的余弦。3. 如圖正方體 ABCD A1B1C1D1, B1E14. 已知空間三點 A (0, 2, 3), B( 2, 1, 6), C (1, 1, 5)。求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；的坐若向量a分別與向量AB,AC垂直，且a=c,求向量a標。5. 已知平行六面體 ABCD ABCD 中AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的長。3.參考答案1.解：如圖,(1)uuuABuuu AB

15、uuuABuuuu BMuuur AGuurBCuuirCD AC1 uuur (BD2 uuuu MG1 uuur (AB22.uuurBC)uuurAG ；uuurAC)CD uur ABuuirAGADuuur一 BC 2uuuin AM1 uuur -BD。2uuuuMG 。解：（1）證明：二四邊形ABCD是平行四邊形,uuuruuruuuruuuuuuruuu uuurk OC k OA k(OCOA)kACk(AB AD)uuu uuuuuuruuuuuuruuruuun uurk(OB OA OD OA)OFOEOH OEuuiruuurEF EHuuur : EGuuur uu

16、ur OG OE ,二. E,F,G,H 共面； uuu(2)解：: EF/. EF / AB, EG / ACuuurOFuuinOEuuu uuu uuuk(OB OA) k AB ,所以，平面AC平面EG 。解：不妨設正方體棱長為3則 B(1,1,0),E1(1,一 ,1),4uului二 BE11 uuuu(。，4，1), DF1uuur uuur /. AC AB uuur又丁 EG k1,建立空間直角坐標系D(。,。,。)，1(0,-,1),41叫,1),uuuAD ,uuurAC ,uuuuBE1uuuuDF117uuiu uuurBE1 DF10 01 1 )4 415151 O16uuur uuuucos： BE1 ,DF11617 “1715o17uur4.分析：Q ABuur2, 1,3),AC (1,3,2), cos BAC/ = 60設a=r uuur a ACo(x,x 3yy,2zuur uuir| AB | AC |sin60oz),則 a0,|a| ,3uur AB解得 x=y = z= 1 或 x = y = z = (一 1, 一 1, 1 1)o