河北省近五年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜述

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載河北省近五年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜述河北省中考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題的命制，從 1996年至2001年的近五年來(lái)呈現(xiàn)出一個(gè)規(guī) 律：都是幾何圖形運(yùn)動(dòng)型的綜合題，并且由運(yùn)動(dòng)的幾何圖形來(lái)看，類型各異，頗具特色。一、單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型例1 (1999年河北省中考?jí)狠S題)如圖1-1 ,正方形OABC勺頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA力3425與AB邊所在直線的解析式分別為：y=0x和丫=-3乂+了。口 E分別為邊O3口 AB的中點(diǎn)，P為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合)，連結(jié)DE和CP其交點(diǎn)為 Q(1)求證：點(diǎn)Q為COP勺外心；(2)求正方形OABC勺邊長(zhǎng)；(3)當(dāng)。Q與AB相外切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：(1) .

2、= E分別為正方形OAB價(jià)OC AB的中點(diǎn)，才4DE/ OA氣3 '總.Q也是CP的中點(diǎn)。飛耳卜又; CP是RtzXCOP勺斜邊，困L圖片2點(diǎn)Q為COP勺外心。4上25由方程組P'W 不x = 4解得2 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4 , 3)。過(guò)點(diǎn)A作AF，ox軸，垂足為點(diǎn)F。.OF=4 AF=3由勾股定理，得OA=±* =5。如圖1-2,當(dāng)COP勺外接圓。Q與AB相切時(shí), .圓心Q在直線DE±,且DEL AB,.E為。Q與AB相切的切點(diǎn)。又; AE和APO別是。Q的切線與割線 .AU=AP AO5v OA=5 AE=5. .( )2=AP 5,5 .AP廿5 = 15

3、當(dāng)。Q與AB相切時(shí)，OP=51 百作PHLox,垂足為H。v PH/ AF, OP _ OH _ PH. F ，P*OF .OH=OP* AFPH= ，9點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3, 1）二、雙點(diǎn)互動(dòng)型例2 （1997年河北省中考?jí)狠S題）已知：如圖2-1，在直角梯形ABC時(shí),AD/ BC / B=90° , AB=8厘米，AD=24E米，BC=26厘米，AB為。0的直徑。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以 1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)。P、Q分別 從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。求：（1）t分別為何值

4、時(shí)，四邊形PQC3平行四邊形、等腰梯形？（2）t分別為何值時(shí)，直線 PQ與。0相切、相交、相離？歸f工解：（1）AD/ BC（ 0） 只要QC=PD四邊形PQCM平行四邊形。此時(shí)，有3t=24-t ,圖zt解，得t=6o即當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形PQCM平行四邊形。同理，只要PQ=CDPAQC 四邊形PQC為等腰梯形。過(guò)P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn)（如圖2-2）,則由等腰梯形的性質(zhì)可知:EF=PD QE=FC=21 .2= 3t（24-t）解得t=7；t=7秒時(shí)，四邊形PQC師等腰梯形。F BAPDEJZ-2圖 2-3 設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與。0相切于點(diǎn)G（如圖2-3）,過(guò)P作PHI

5、BC垂足為H。 貝U PH=AB BH=AP即 PH=8 HQ=26-3t-t=26-4t 。由切線長(zhǎng)定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t由勾股定理，得pQ=pH+hQ, 即（26-2t） 2=82+（26-4t） 2 化簡(jiǎn)整理，得3t2-26t+16=0解，得 t 1= 2 , t 2=82即t= ?秒或t=8秒時(shí)，直線PQ與。0相切。%2.t=0（秒）時(shí)，PQ與。0相交；當(dāng)t=7=83（秒）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，P點(diǎn)尚未運(yùn)動(dòng)到D 點(diǎn)，但也停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí) PQ也與。0相交。2.當(dāng)t=4或t=8時(shí)，直線PQ與。0相切；22當(dāng)0<t< 4或8<t083時(shí)，直線P

6、Q與。0相交；2當(dāng)G <t <8時(shí)，直線PQ與。0相離。三、直線平移型例3 （2000年河北省中考?jí)狠S題）在如圖3-1所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸 上，四邊形OABC；平行四邊形，OA=2 /AOC=60 ,以O(shè)A為直徑。P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)D在y軸 上，DM始終與y軸垂直且與AB邊相交的動(dòng)直線，設(shè)DM與AB邊的交點(diǎn)為MR M在線段AB 上，但與A、B兩點(diǎn)不重合），點(diǎn)N是DMt BC的交點(diǎn)設(shè)OD=i（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）設(shè)BMN勺外接圓。G的半徑為R,請(qǐng)彳用t表示R及點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）當(dāng)。G與。P相切時(shí)，求直角梯形 OAMDJ面積。圖3T圖上 2解：（1）連結(jié)AG. O

7、A為OP的直徑，./ ACO=90又. OA=2 /AOC=60, a OC=1 AC=7點(diǎn)A的坐標(biāo)為（曲,1）又OAB平行四邊形，: AB' OC點(diǎn)B的坐標(biāo)為（右,2）（2） . DMLy 軸，且 AB/ OC . . DML AB丁. / NMB=90.OG的圓心G為BN的中點(diǎn)。£又/ B=/ AOC=60 ,. BM= BN=R而點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)二點(diǎn)D的縱坐標(biāo)工，BM=2t ,. R=2-t過(guò)點(diǎn)G作GH/ y軸，交x軸于點(diǎn)H,交DMT點(diǎn)F;過(guò)點(diǎn)G作GK/ x軸，交AB于點(diǎn)K（如圖 3-2)。 1 1根據(jù)垂徑定理，得到：FM= MN KM= BM設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)

8、為(x, y) v NM(2-t)1 94.x=DM、N5-了 (2-t尸 t,1 1 1y=OD+ BM=t+2 (2-t)=1+ 9 t。 g 1.二點(diǎn)G的坐標(biāo)為(丁 t , 1+入)。(3)連結(jié)GP過(guò)點(diǎn)P作PEE/ x軸，交GHT點(diǎn)E 由pn ge根據(jù)勾股定理得：GP=：e -當(dāng)。G與。P外切時(shí)，PG=R+1=3-t o88解得t= 5,經(jīng)檢驗(yàn)t= $是原方程的根。83此時(shí)，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC= 83.止匕時(shí)，OD=t3 , AM=1-MB=, DM=AC=,.直角梯形OAM的面積為：QD+AM lllx 昭益S= 2, DM= 2=1。四、點(diǎn)線共動(dòng)型例4 (

9、2001年河北省中考?jí)狠S題)如圖4-1 ,在菱形ABCm,AB=1Q / BAD=60。點(diǎn)M 從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著 AD4向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0&t &10)。D C D C圖4T圖燈2(1)點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)。在點(diǎn)M移動(dòng)過(guò)程中，線段MN1否一定可以將菱形分割成面 積相等的兩部分？并說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)N從點(diǎn)B(與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著B(niǎo)C邊向點(diǎn)C移動(dòng), 在什么時(shí)刻，梯形ABNM勺面積最大？并求出面積的最大值；（3）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同）以每秒a（a >2）個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著射線 BC方向 （可以超越C點(diǎn)）

10、移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MP/ AB,交BC于點(diǎn)P。當(dāng)zMP陣zABC時(shí)，設(shè) MPNf菱形 ABCDM疊部分白面積為S,求出用t表示S的關(guān)系式，并求出S=0時(shí)a的值。解：（1）MN一定能在某一時(shí)刻將菱形ABC盼割成面積相等的兩部分。對(duì)于中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任一直線均能將圖形分割成面積相等的兩部分。而且菱形 是中心對(duì)稱圖形（如圖4-2所示）。在點(diǎn)M由A到D的移動(dòng)過(guò)程中，一定存在一個(gè)時(shí)刻，使得線段MN±菱形的中心。（2）過(guò)B作Bn AD 垂足為E（如圖4-3）。在 RtzXABE中，BE=10sin60° =5百. AM=t BN=2t,115由S 梯形 ABN=2 （t+2t） X5

11、 鳳亍 t。V2t<10, /.t<5二當(dāng)t=5時(shí)，S梯形ABN最大。15,行75一最大面積為：3 X5= 2 。 ABC是腰長(zhǎng)為10的等腰三角形。當(dāng)4AB四 ABC時(shí)（如圖4-4）MP=10 PN=BC=10 且 MP=PN . NC=PNPC=BC-PC=PBBP=AM=t .PC=10t , NC=t過(guò)P作PGL DC垂足為G 立在 RtAPGOt, PG=PCsin60 二 三 （10-t）。 設(shè) MNft DC于 F,. DC/ MP 且 MP=PN ./ NFCW NMP =MNP .FC=NC=i.重疊部分MPCF1梯形，. . S=1 （t+10） X ?。?0-t

12、尸- 彳 12+25出 皂當(dāng) S=0,即-4 12+25在=0 時(shí)，解得 3=10, t2=-10（舍去）. BN=at,且 BN=PN+PB=10+t at=10+t 。將 t=10 代入 at=10+t ,解得a=2。五、點(diǎn)圓齊動(dòng)型例5 (1998年河北省中考?jí)狠S題)如圖5-1所示，一11輪船以20浬/時(shí)的速度由西向東航 行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以 40浬/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心 20如,浬 的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到A處時(shí)，測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn) A正南方向(1)若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪船最初 遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；

13、若不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)現(xiàn)輪船自A處立即提高航速，向位于東偏北 30°方向，相距60浬的D港駛?cè)ァ槭古_(tái)風(fēng)到來(lái)之前，到達(dá)D港，問(wèn)船速至少應(yīng)提高多少(提高的船速取整數(shù)，E=3.6)?解：(1)設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為 t小時(shí)，此時(shí)，輪船位于C處，臺(tái) 風(fēng)中心移到E處，連結(jié)CE(如圖5-2)。WJ有 AC=20t, AE=AB-BE=100-40t EC=2酒。在 RtzXAEC中，AC+AE=EC,(20t) 2+(100-40t) 2=(20 M)2。整理，得t2-4t+3=0 . =(-4) 2-4x1X3=4> 0,途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。解，得 t1 = 1, t

14、2=3o 最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為1小時(shí)。(2)設(shè)臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心至M點(diǎn)。過(guò)D作DF,AB,垂足為F,連 結(jié)DM在 RtzXADF中，AD=6Q / FAD=60 , . DF=3/，F(xiàn)A=3Q又(30 白)2+(130-40t) 2=(20 加)2,整理，得 4t2-26t+39=013-12 +而解之，得 t1=&, t2=4。13-臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港的時(shí)間為-小時(shí)。1”而 的二.輪船從A處用 4 小時(shí)到D港的速度為60+4=25.5。因此，為使臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港之前輪船到D港，輪船至少應(yīng)提速6浬/時(shí)。連續(xù)五年的中考?jí)狠S題都以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為命題背景，并非純屬巧合。大概主要原

15、因 是命題者看中了這種題目的綜合性強(qiáng)、對(duì)思維能力的要求高這一頗具選拔性的功能；而在動(dòng) 中求靜的辨證統(tǒng)一思想，又成為體現(xiàn)數(shù)學(xué)中辯證法的很好素材。由此可見(jiàn)，無(wú)論從此類題目 的命題形式、還是考查意圖上，把它放在最后一道壓軸題的位置，都是恰如其分的。,BC=16, DC = 12, AD = 21o 動(dòng)點(diǎn) P 從動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒(05河北).如圖12,在直角梯形 ABCD中，AD/BC, /C = 90° 點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)， 1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P, Q分別從點(diǎn)D, C同時(shí)出 發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)

16、動(dòng)的時(shí)間 為t (秒)。(1)設(shè) BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以B, P, Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三 角形？(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn) O,且2AO=OB時(shí)，求 / BQP的正切值；(4)是否存在時(shí)刻t,使得PQXBD?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(06河北).如圖13,在RtABC中，/ C=90° , AC=12, BC= 16,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿 AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng).P, Q分別從點(diǎn)A, C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止

17、運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PCQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱的圖形是 PDQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒).(1)設(shè)四邊形PCQD的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式;(2) t為何值時(shí)，四邊形 PQBA是梯形？(3)是否存在時(shí)刻t,使得PD/AB?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)通過(guò)觀察、畫(huà)圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t,使得PDXAB?若存在，請(qǐng)估計(jì)t的值在3<t<4);括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)(0WtW1； 1vtw2; 2vtw3;若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.(07 河北).如圖 16,在等腰梯形 ABCM, AD/ BC AB=D(=50,At=75 ,BG135.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線

18、段 BAADDC以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā) 沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)， 過(guò)點(diǎn)Q向上作射線QKL BC交折線段CDDAABT點(diǎn)E.點(diǎn) P、Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn) P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t >0).(1)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值，并指出此時(shí) BQ的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí)，t為何值能使 PQ/ DC ?(3)設(shè)射線QK掃過(guò)才形ABCD勺面積為S,分別求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD DA上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；(不 必寫(xiě)出t的取值范圍)(4) PQE!歸否成為直角三角形？若能，寫(xiě)出t的取值范圍；若

19、不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(08 河北).如圖 15,在 RtzXABC 中，/C =90，, AB = 50, AC = 30, D, E, F 分別是 AC, AB, BC 的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線 DE -EF -FC -CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)； 點(diǎn)Q從點(diǎn)B出 發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)， 過(guò)點(diǎn)Q作射線QK 1 AB ,交折線BC -CA于點(diǎn)G .點(diǎn)P, Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P繞行一周回到點(diǎn) D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn) P, Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒 (t >0).(1) D, F兩點(diǎn)間的距離是;(2)射線QK能否把四邊形 CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出 t的值.若不能，說(shuō)明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF - FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線 QK上時(shí)，求t的值；(4)連結(jié)PG ,當(dāng)PG / AB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.(09河北)如圖16,在RtABC中，/ C=90°, AC = 3, AB = 5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng) 的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) A后立刻以原來(lái)的速度沿 AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單 位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-BC-CP