控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系1設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)應(yīng)完成哪些工作？控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定性分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定性分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定量分析控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律定量分析控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與綜合控制對(duì)象控制對(duì)象和和控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)的的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系2第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程2.2 2.2 線性系統(tǒng)的頻域模型線性系統(tǒng)的頻域模型2.3 2.3

2、 方框圖與信號(hào)流圖方框圖與信號(hào)流圖2.4 2.4 狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式2.5 2.5 控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系控制系統(tǒng)不同模型間的關(guān)系小小 結(jié)結(jié)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系3本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)簡(jiǎn)單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫(xiě)；簡(jiǎn)單物理系統(tǒng)的微分方程的列寫(xiě)；非線性模型的線性化方法；非線性模型的線性化方法；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)矩陣的概念；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的變換與化簡(jiǎn)；結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖的變換與化簡(jiǎn)； 狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式；狀態(tài)空間與狀態(tài)空間表達(dá)式；控制系統(tǒng)不同模型形式及其之間的轉(zhuǎn)換?？刂葡到y(tǒng)不同模型

3、形式及其之間的轉(zhuǎn)換。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系42.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程dttduCtitutRidttdiLtuccr)()()()()()( 例例2.1.12.1.1研究研究RLCRLC電路，試找出輸出電壓電路，試找出輸出電壓u uc c(t)(t)隨輸入隨輸入電壓電壓u ur r(t)(t)變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。解解R R、C C、L L以及初以及初始始u uc c(0)(0)確定時(shí)確定時(shí), ,已已知知u ur r(t)(t)就可以確就可以確定定u uc c(t)(t)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc

4、 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系52.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程例例2.1.22.1.2如圖：由質(zhì)量為如圖：由質(zhì)量為mm的木塊、彈性系數(shù)為的木塊、彈性系數(shù)為K K的的彈簧和阻尼系數(shù)為彈簧和阻尼系數(shù)為B B的系統(tǒng)，試找出木塊的的系統(tǒng)，試找出木塊的位移位移x(t)x(t)與外力與外力F(t)F(t)之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( ) ( )ddx tf tBdt22( )( )( )( )d x tdx tmBKx tf tdtdt22( )( )( )( ) sdd x tf tf tf tmdt( )( )sf tKx t解解mm、K K、B B以及初

5、以及初始始x(0)x(0)確定時(shí)確定時(shí), ,已已知知f(t)f(t)就可以確定就可以確定x(t)x(t)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系62.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)電樞電路，取電樞電壓電樞電路，取電樞電壓u ua a為輸入量為輸入量, ,電動(dòng)機(jī)角電動(dòng)機(jī)角速度速度m m為輸出量為輸出量, ,討論討論它們之間的關(guān)系。它們之間的關(guān)系。aaaaaaEtiRdttdiLtu )()()(電樞回路電壓平衡方程：電樞回路電壓平衡方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：電磁轉(zhuǎn)矩方程：ammtiCM)( 電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程：電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程

6、：)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 例例2.1.32.1.3解解電樞反電勢(shì)電樞反電勢(shì))(tCEea 是電樞電流產(chǎn)生的電動(dòng)是電樞電流產(chǎn)生的電動(dòng)轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)矩是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)mMmC是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩(t)McJm:Jm:電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；量；fm:fm:電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的黏電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的黏性摩擦系數(shù)；性摩擦

7、系數(shù)；2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系72.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 注意觀察三個(gè)示例的微分方程注意觀察三個(gè)示例的微分方程 可以通過(guò)求解得到可以通過(guò)求解得到ur(t)uc(t)，f(t)x(t)之間內(nèi)在運(yùn)之間內(nèi)在運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。動(dòng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系、分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。 進(jìn)而改造系統(tǒng)進(jìn)而改造系統(tǒng)-選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)腞、L、C和和m、B、K得得到希望的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。到希望的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 許多表面上看來(lái)似乎毫無(wú)共同之處的控制系統(tǒng)，其許多表面上看來(lái)似乎毫無(wú)共同之處的控制系統(tǒng)，其物理背景可能完全一樣，物理背景可能完全一樣， 可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)可以

8、用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表示，我們可以不單獨(dú)地去研究具體系統(tǒng)而只分析表示，我們可以不單獨(dú)地去研究具體系統(tǒng)而只分析其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即它們具有相同的其數(shù)學(xué)表達(dá)式，即它們具有相同的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。這類(lèi)。這類(lèi)系統(tǒng)被稱為系統(tǒng)被稱為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)。2.1.32.1.22.1.1例例例)()()()()()()()()()()()()()()()(222222tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLtftKxdttdxBdttxdmtutudttduRCdttudLCcacaammemmammamammarccc2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系

9、82.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制控制系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號(hào)），對(duì)系統(tǒng)施加控制（即輸入控制信號(hào)），從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時(shí)間的變化規(guī)律從而得到系統(tǒng)輸出量（即受控量）隨時(shí)間的變化規(guī)律（即輸出響應(yīng)信號(hào)）。（即輸出響應(yīng)信號(hào)）?？刂葡到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，根據(jù)描述系統(tǒng)特性的物理學(xué)定律，如機(jī)械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫(xiě)出。如機(jī)械，電氣，熱力，液壓等方面的基本定律寫(xiě)出。展示系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各變量之間的相互關(guān)系，既定展示系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。性又定量地描述整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)

10、程。 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，表達(dá)式，是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。靜態(tài)模型：靜態(tài)模型：在靜態(tài)條件下（即變量不隨時(shí)間變化），描述變?cè)陟o態(tài)條件下（即變量不隨時(shí)間變化），描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程量之間關(guān)系的代數(shù)方程(組組)。動(dòng)態(tài)模型：動(dòng)態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程(組組)。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系92.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法解析法 依據(jù)描述系統(tǒng)

11、運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律來(lái)得依據(jù)描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律來(lái)得到微分方程的方法。到微分方程的方法。實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 基于系統(tǒng)輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立數(shù)基于系統(tǒng)輸入輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的方法。學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)域模型時(shí)域模型微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)頻域模型復(fù)頻域模型傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、頻率特性。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系102.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 問(wèn)題：從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都問(wèn)題：從嚴(yán)格意義上講，絕大多數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都不是線性模型（

12、即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實(shí)上，不是線性模型（即系統(tǒng)并非是線性系統(tǒng)）。事實(shí)上，任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)任何一個(gè)元件總是存在一定程度的非線性。即使假設(shè)具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。具有線性的特性，也是局限在一定的范圍內(nèi)。幾幾種種常常見(jiàn)見(jiàn)的的非非線線性性2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系112.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程兩類(lèi)非線性系統(tǒng)兩類(lèi)非線性系統(tǒng)具有具有連續(xù)變化連續(xù)變化的非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)：動(dòng)態(tài)：y(n)=f(t;y,y(1),y(n-1),x,x(1),x(m) 靜態(tài)：靜態(tài)：y=f(x)本質(zhì)本質(zhì)非線性系統(tǒng)非線性

13、系統(tǒng) 2),(1),(2),;(1),;(21)()1(2)()1(1)(條條件件條條件件靜靜態(tài)態(tài)：條條件件條條件件動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)：xtfxtfyxxyyytfxxyyytfynnnnn2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系122.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 非線性微分方程的求解很困難。非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下在一定條件下，近，近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的分析大為簡(jiǎn)化。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿性的分析大為簡(jiǎn)化。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問(wèn)題，有很大的實(shí)際意義。地解決許多工程

14、問(wèn)題，有很大的實(shí)際意義。線性化的方法線性化的方法忽略忽略弱弱非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)：如果元件的非線性因素較弱或者不：如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。就可以忽略。 臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)法臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)法(小偏差法，切線法，增量線性化法小偏差法，切線法，增量線性化法)：適用前提適用前提假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過(guò)程中，各個(gè)元假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過(guò)程中，各個(gè)元件的輸入和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。件的輸入和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)

15、信息工程學(xué)院自動(dòng)化系132.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程202200)(!21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxx0yyy 0 xxx 0 xdxdyk 忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫(xiě)成：忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫(xiě)成：A(x0,y0)平衡點(diǎn)，函數(shù)在平平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開(kāi)成臺(tái)勞數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)：xky其中：其中：非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系142.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程平均斜率法平均斜率法：如果一非線性

16、元件輸入輸出關(guān)系如下圖：如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如下圖所示，此時(shí)不能所示，此時(shí)不能臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)法臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)法，可用平均斜率法得，可用平均斜率法得線性化方程為線性化方程為 ：kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1其中：其中：2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系152.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程注意：注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性（本質(zhì)非線性對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性（本質(zhì)非線性)不能作線性化處不能作線性化處理，一般用理，一般用相平面法相平面法及及描述函數(shù)法描述函數(shù)

17、法進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。(此部分此部分超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教超出本課程的內(nèi)容，可參考非線性控制的章節(jié)或教材。材。)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系162.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程例例2.1.42.1.4 水位自動(dòng)控制系統(tǒng)水位自動(dòng)控制系統(tǒng)輸入量為輸入量為Q1 ,輸出量為水位輸出量為水位H，求水箱的微分方程。，求水箱的微分方程。水箱的橫截面積為水箱的橫截面積為C，R表示流阻。表示流阻。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系17RHQ 2根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：根

18、據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有：R 1其中其中 為比例系數(shù)。為比例系數(shù)。水箱的線性化微分方程水箱的線性化微分方程: :整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為整理得水箱的標(biāo)準(zhǔn)線性化微分方程為: :22002001()2HQQHHQRH RRHR 02其中：其中：顯然這個(gè)式子為非線性關(guān)系顯然這個(gè)式子為非線性關(guān)系, , 在工作點(diǎn)在工作點(diǎn) 附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)。取一次項(xiàng)得：展開(kāi)。取一次項(xiàng)得：2.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程解解在在 時(shí)間中，水箱內(nèi)流體變化量時(shí)間中，水箱內(nèi)流體變化量 . .則：則：dtCdH12()CdHQQ dt010120()()HCd HHQQQdtR注意：

19、注意： 是常數(shù)；是常數(shù)； 。0H1020QQ1d HHCQdtR 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系182.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程說(shuō)明說(shuō)明 本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。本質(zhì)非線性系統(tǒng)一般不可線性化。 多變量情況處理類(lèi)似。多變量情況處理類(lèi)似。 工作點(diǎn)不同，所得線性化方程的線性化系工作點(diǎn)不同，所得線性化方程的線性化系數(shù)不同，即線性化方程不同。數(shù)不同，即線性化方程不同。 非線性系統(tǒng)的線性化方程只在非線性系統(tǒng)的線性化方程只在工作點(diǎn)附近工作點(diǎn)附近才成立才成立 。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系192.2 線性

20、系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換2.2.2 2.2.2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2.2.3 2.2.3 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)數(shù)問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 1）微分方程求解比較困難，不利于工程實(shí)現(xiàn)；）微分方程求解比較困難，不利于工程實(shí)現(xiàn)； 2）有時(shí)分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時(shí)不必求解方程；）有時(shí)分析控制系統(tǒng)的性質(zhì)時(shí)不必求解方程； 是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？是否有更方便的形式描述系統(tǒng)？2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系202.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 拉氏變換法是

21、一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)間域的高階微分方程變數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問(wèn)題，把時(shí)間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。 )( ) s ( tfF 簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 時(shí)域函數(shù)時(shí)域函數(shù)f f( (t t)( )(原函數(shù)原函數(shù)) )復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù)F(s)(F(s)(象函數(shù)象函數(shù)) ) js s s為復(fù)頻率為復(fù)頻率2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程

22、學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系212.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 ) s (21)( )() s (0dseFjtfdtetfFstjcjcst 正變換正變換反變換反變換 )( )()( )( SFtftfSF1簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫(xiě)寫(xiě)正變換正變換反變換反變換象函數(shù)象函數(shù)F F(s) (s) 用大寫(xiě)字母表示用大寫(xiě)字母表示, ,如如I I(s)(s)，U U(s)(s)。原函數(shù)原函數(shù)f f(t) (t) 用小寫(xiě)字母表示，如用小寫(xiě)字母表示，如 i i(t), (t), u u(t)(t)。1 12 2象函數(shù)象函數(shù)F F(s) (s) 存在的條件：存在的條件： dtetfst0)(為為收收斂斂因因子子t

23、es 拉氏變換的定義拉氏變換的定義t t 0 0 , f, f( (t t)=0)=02022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系222.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型如果存在有限常數(shù)如果存在有限常數(shù)MM和和c c使函數(shù)使函數(shù)f f( (t t) )滿足：滿足：), 0 )( tMetfctdtMedtetftct 00)s (s)(CM s則則 總可以找到一個(gè)合適的總可以找到一個(gè)合適的s s值使上式積分為值使上式積分為有限值，即有限值，即f f( (t t) )的拉氏變換式的拉氏變換式F(s)F(s)總存在。總存在。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化

24、系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系232.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換 (1)(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)單位階躍函數(shù)的象函數(shù))()(ttfdtettsFst0)()()( s1 (2)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)單位沖激函數(shù)的象函數(shù))()(ttf 1)()()(0dtettsFst (3)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)ate)t (f asdteeesFstatat1)(0 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系242.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型(4)(4)正正弦弦函數(shù)的象函數(shù)函數(shù)的象函數(shù)ttfsin)(220sin

25、sin)(sdte ttsFst (5)(5)余弦函數(shù)的象函數(shù)余弦函數(shù)的象函數(shù)ttfcos)(2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系252.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì))()()()(2211sFtfsFtf , 若(s)FA(s)FA2211 )t(f)t(f2211AA 則則時(shí)間比例性質(zhì)（相似定理）時(shí)間比例性質(zhì)（相似定理）則),()( 若sFtf：( )()tL fFS其中其中為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系262.2 線性系統(tǒng)的

26、復(fù)頻域模型微分性質(zhì)微分性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì)時(shí)域?qū)?shù)性質(zhì))(ss 0)()(fFdttdf則)()( sFtf若：頻域?qū)?shù)性質(zhì)頻域?qū)?shù)性質(zhì))()(s Ftf設(shè)：ss ddFttf)()(則：)0()0()0()()()1()1(21nnnnnnffsfssFsdttfd)()(sFsdttfdnnn則：則：如果：如果：0)0()0()0()1()1( nfff2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系27積分性質(zhì)積分性質(zhì))()(sFtf 設(shè)設(shè)：)(1)(0sFsdttf t 則：則：延遲性質(zhì)延遲性質(zhì))()(sFtf 設(shè)設(shè)：)()(00sFettf st 則則：)

27、()(tfeLSFt 頻域延遲頻域延遲時(shí)域延遲時(shí)域延遲在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。在時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的衰減變換。時(shí)間信號(hào)時(shí)間信號(hào)f(t)f(t)在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。復(fù)數(shù)域有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)平移。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系28)(lim)(lim)0(0SSFtffst )(lim)(lim)(0SSFtffst 初值定理初值定理f f( (t t) )和和 的拉氏變換存在，的拉氏變換存在， 也存在，也存在，則則dttdf)

28、( )limsSF S終值定理終值定理存在時(shí)存在時(shí))(limtft f f( (t t) )和和 的拉氏變換存在，的拉氏變換存在， ，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，SF(S)SF(S)在包含在包含jj軸軸的右半平面是解析的（即的右半平面是解析的（即tt時(shí)，時(shí)，f(t)f(t)為常數(shù)），為常數(shù)），則則dttdf)(時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系292.2

29、線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.12.2.1)()()()()(0)(0)1(1)(tubtubtyatyatymmnnn 已知微分方程如下，試求已知微分方程如下，試求初值皆為零時(shí)初值皆為零時(shí)輸輸出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。出量的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。解解)()()()()(0011sUbsUsbsYasYsasYsmmnnn 01101)()(asasbsbsbsUsYnnnmmmm 0)0()0()0()1()1( nyyy初值皆為零有初值皆為零有由微分性質(zhì)對(duì)微分方程作拉氏變換得：由微分性質(zhì)對(duì)微分方程作拉氏變換得：2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)

30、信息工程學(xué)院自動(dòng)化系302.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型拉普拉斯反變換的求法拉普拉斯反變換的求法(1)(1)按定義按定義dsesFjtfstjcjc)(21)( (2)(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(P28)(P28)f(t)f(t)F(s)F(s)f(t)f(t)F(s)F(s)(t)(t)1 1SintSint1(t)1(t)1/s1/sCostCostt t1/(s+a)1/(s+a)21 sate)(22s)(22ssteatsinteatcos22)( as22)(asas2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京

31、科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系31)()()()(2sFsFsFsFn1 )()()()(21tftftftfn (4)(4)把把F(S)F(S)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合部分分式部分分式展開(kāi)法展開(kāi)法(3)(3)利用拉氏變換的性質(zhì)利用拉氏變換的性質(zhì)的原函數(shù)。的原函數(shù)。求求其原函數(shù)為其原函數(shù)為已知：已知：)(sin)(,)(22asFttfssF 解解由延遲性質(zhì)知：由延遲性質(zhì)知：tetfeasFatat sin)()(1 思考思考的原函數(shù)的原函數(shù)22)()s ( asasF2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.22.2.22022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息

32、工程學(xué)院自動(dòng)化系32為為真真分分式式，設(shè)設(shè))(sFmn 利用部分分式可將利用部分分式可將F F(s)(s)分解為：分解為：象函數(shù)的一般形式：象函數(shù)的一般形式：)( ssss) s (U) s (Y) s (011011mnaabbbFnnnmmmm nnpskpskpsksF 2211)(tpntptpnekekektf 2121)(待定常數(shù)待定常數(shù)nUppn0) s (1 個(gè)個(gè)單單根根分分別別為為有有若若1)( ps)( ps)( ps)( ps2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系332.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型、n、i

33、 pssFkipsii321)( 待定常數(shù)的確定：待定常數(shù)的確定：方法方法1 1方法方法2 2) s (U)ps)(s (Ylimpisiik ) s (U) s (Y)ps)(s (Ylimp isi)p(U)p(Yii 求極限的方法求極限的方法2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系342.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型6554)(2 ssssF例例2.2.32.2.3求如下象函數(shù)的原函數(shù)。求如下象函數(shù)的原函數(shù)。解解3s2s21 KK33s5s421 SK72s5s43s2 K解法解法1 16s5s5s4) s (2 F)(7)(3)(32tetetftt

34、 35s25s4)p(D)p(NK2s111 75s25s4(pD)p(NK3s222 )解法解法2 2原函數(shù)的一般形式：原函數(shù)的一般形式：tpnntptpnepDpNepDpNepDpNtf)()()()()()()(221121 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系352.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元,設(shè)：設(shè)： jj21pp)()(2) s (D)s)(s () s (N) s (D) s (N) s (112221sDsNssBsAjjF ) s (D) s (N)(s)(K)(sK11222221

35、sBKKAK 221, 222112212221121arccosarccos)()sin()(cossin)(KKKtftKKetfteKteKtfttt 其中：有有共共軛軛復(fù)復(fù)根根若若0) s (U 22022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系362.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.42.2.4解解)(52)(2tfssssF的的原原函函數(shù)數(shù)求求 jp,的的根根： ss22222)1(12)1(1 ssstetetftt2sin212cos)( ).cos(. tet2222)1(1152)( ssssssF)0()4 .632sin(118. 1

36、 ttet2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系372.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型nnnnnmmmmbbbF)ps (K)ps (K)ps (KpsK )ps (ss) s (11111121121111011 11)(limK11psnpsnsF)p(s 11)()(limK111psnpsnsFpsdsd 11)()!1(1limK11111psnnnpssF)p(sdsdn 其中：其中：具具有有重重根根若若0) s (U 32022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系382.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.5

37、2.2.5解解)()()(tfssssF的的原原函函數(shù)數(shù)求求： )()(sKsKsK sssK)( sssK ssFsdsdK)()( sssdsd)0(344)( tteetftt )()(ssssF2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系392.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 n n = =m m 時(shí)將時(shí)將F F(s)(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和化成真分式和多項(xiàng)式之和nnpsKpsKpsKAsF )(小結(jié)小結(jié): :由由F F(s)(s)求求f( f(t) t)的步驟的步驟 求真分式分母的根，確定分解單元求真分式分母的根，確定分解單元 將真分式展開(kāi)成部分分式

38、，求各部分分式的系數(shù)將真分式展開(kāi)成部分分式，求各部分分式的系數(shù) 對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換)()()(0sDsNAsF 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系402.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.62.2.6解解的的原原函函數(shù)數(shù)求求： sssssF)( sss ss)0()37()()(23 teettftt sssssF)(2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系412.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.2 2.2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（1 1）

39、定義：）定義： 單輸入單輸出單輸入單輸出線性定常線性定常動(dòng)態(tài)對(duì)象的傳動(dòng)態(tài)對(duì)象的傳遞函數(shù)遞函數(shù)G(S)G(S)是是零初值零初值下該對(duì)象的輸出量的拉普拉斯下該對(duì)象的輸出量的拉普拉斯變換變換Y(S)Y(S)數(shù)與輸入量的拉普拉斯變換數(shù)與輸入量的拉普拉斯變換R(S)R(S)之比。之比。 回答本節(jié)開(kāi)始的問(wèn)題回答本節(jié)開(kāi)始的問(wèn)題( )( ) ( )Y SG SR S2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系422.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型RLCRLC電路電路rcuuiRdtdiLcduiCdt取取u ur r為輸入，為輸入，u uc c為輸出，得為輸出，得: :22ccc

40、rd uduLCRCuudtdt拉氏變換得：拉氏變換得： 21crLCsRCsUsUs則傳遞函數(shù)為：則傳遞函數(shù)為：例例2.2.72.2.7解解2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系432.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.82.2.8解解根據(jù)牛頓第二定律，得根據(jù)牛頓第二定律，得 22sdd x tf tftftmdt sftKx t ddx tftBdt取外力取外力f(t)f(t)為輸入；位移為輸入；位移x(t)x(t)為輸出為輸出 2msBsK X sF s 22d x tdx tmBKx tf tdtdt得微分方程：得微分方程：拉氏變換后得：拉氏

41、變換后得：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系442.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 一般有一般有nm nm 。同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時(shí)，可同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時(shí)，可能會(huì)有不同的傳遞函數(shù)。能會(huì)有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外身的動(dòng)態(tài)性能。它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與外部作用等條件無(wú)關(guān)。部作用等條件無(wú)關(guān)。

42、（2 2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)）傳遞函數(shù)的性質(zhì) G(s)G(s)與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系。與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系。G(s)G(s)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換y(t)G(s)(t)u(t)L2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系452.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（3）傳遞函數(shù)的常用表示形式）傳遞函數(shù)的常用表示形式 時(shí)間常數(shù)形式時(shí)間常數(shù)形式根的形式根的形式01110111.)()()(asasasabsbsbsbsDsNsGnnnnmmmm 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系462.

43、2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 212112211221)12()1()12()1()(nllllnkkmjjjjmiisqsqspssssTKsG 212112211221)2()()2()()(nllllnkkmjjjjmiigsspsswswsasKsG 時(shí)間常數(shù)；時(shí)間常數(shù)；，其中其中l(wèi)kjiqpT .;22121nnnmmm 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系472.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型（4）傳遞函數(shù)局限）傳遞函數(shù)局限 G(s) G(s)原則上不反映原則上不反映y(0)0y(0)0時(shí)的系統(tǒng)的全部運(yùn)時(shí)的系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)規(guī)律. . G(s)G

44、(s)只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。只適用于單輸入，單輸出系統(tǒng)。 G(s) G(s)只適用于線性定常系統(tǒng)只適用于線性定常系統(tǒng)由于拉氏變由于拉氏變換是一種線性變換換是一種線性變換. .2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系482.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式：G(s)G(s)的分母多項(xiàng)式的分母多項(xiàng)式D(s)D(s)特征方程特征方程：D(s)=0D(s)=0極點(diǎn)極點(diǎn)/ /特征根特征根：D(s)=0D(s)=0的根的根零點(diǎn)零點(diǎn)：N(s)=0N(s)=0的根的根零極點(diǎn)對(duì)消零極點(diǎn)對(duì)消系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的階數(shù)：max(n,m)max(n,m)，（一般，（

45、一般nmnm）系統(tǒng)的類(lèi)型系統(tǒng)的類(lèi)型放大系數(shù)放大系數(shù)與上述傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要概念：與上述傳遞函數(shù)有關(guān)的幾個(gè)重要概念：系統(tǒng)的放大系數(shù)系統(tǒng)的放大系數(shù) K K根軌跡放大系數(shù)根軌跡放大系數(shù) KgKg零極點(diǎn)圖零極點(diǎn)圖2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系49G(s) G(s) 的零點(diǎn)、極點(diǎn)表示在的零點(diǎn)、極點(diǎn)表示在S S平面上平面上零極點(diǎn)圖零極點(diǎn)圖)22)(3()2()(2ssssKsGgG(s)G(s)G(s)G(s)零極點(diǎn)分布圖零極點(diǎn)分布圖 系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能 G(s)G(s)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技

46、大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系502.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.3 2.2.3 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞將傳遞函數(shù)的概念推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)，傳遞函數(shù)函數(shù)G（s）推廣為傳遞函數(shù)矩陣）推廣為傳遞函數(shù)矩陣G（s）。設(shè)系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)有有p個(gè)輸入量、個(gè)輸入量、q個(gè)輸出量如下圖。個(gè)輸出量如下圖。G(s)u1u2up。y1y2yq。G(s)U(s)Y(s) )()()()()()()()()(G(s)212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsgqpqqpp2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系512.2

47、線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型例例2.2.92.2.9如圖，直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)；如圖，直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)；u ua a是外加的輸入是外加的輸入變量電樞電壓（伏），變量電樞電壓（伏），mm表示電動(dòng)機(jī)的角表示電動(dòng)機(jī)的角轉(zhuǎn)速（弧度轉(zhuǎn)速（弧度/ /秒），為輸出量。討論它們之秒），為輸出量。討論它們之間的關(guān)系。間的關(guān)系。2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系522.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型由例由例2.1.32.1.3系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：)()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamm

48、a 解解)()()()()()()()(2sMRssMLsUCsCCfRssJRfLssJLcacaammemmammamamma )()()()(1)(2sMsURsLCCCfRsJRfLsJLscaaaeemmamamamam 拉氏變換得：拉氏變換得：整理得：整理得：2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系53 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)21crrRxxKxR )()(sKXsXrcKsXsXsWrc)()()( 控制系統(tǒng)通常由若干個(gè)控制系統(tǒng)通常由若干個(gè)基本部件基本部件組合而成，這些基本部件組合而成，這些基本部件稱為典型環(huán)節(jié)。稱為典型環(huán)節(jié)。 包括：包括：比例環(huán)

49、節(jié)比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)和和延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)。（1 1） 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系54比例環(huán)節(jié)的比例環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)KsXsXsWrc)()()(ssXr1)(當(dāng) 時(shí)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系55 一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)

50、節(jié)( )1( )( )1crXsW sXsTsssXr1)(當(dāng) 時(shí)，01/( )( )( )(1)(1/)1/crAAKK TXsW s Xss Tss sTssT00(1)sK TAsKs sTKTsTssTKATs/11)/1()/1(/11( )(1/ )cX sKssT微分方程是一階的微分方程是一階的, ,且輸出響應(yīng)需一定且輸出響應(yīng)需一定的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。其中其中T T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系56慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階

51、躍響應(yīng)11( )(1/)cXsKssT/( )(1),0t Tcx tKet求拉氏反變換得求拉氏反變換得 2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系57 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)( )1( )( )crUsKW sUssTs其中其中K=K=1 1/T /T ， T T為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示積分的快慢程度。為積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示積分的快慢程度。積分環(huán)節(jié)的積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系58 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)sKsUsUsW

52、rc)()()(其中其中K K為微分環(huán)節(jié)的為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，表示微分時(shí)間常數(shù)，表示微分速率的大小。速率的大小。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型 理想微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（又稱比例微分環(huán)節(jié)、實(shí)用微分環(huán)節(jié)）實(shí)用微分環(huán)節(jié)） 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系59 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)這種環(huán)節(jié)包括有這種環(huán)節(jié)包括有兩個(gè)儲(chǔ)能元件兩個(gè)儲(chǔ)能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時(shí)，兩種儲(chǔ)能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其兩種儲(chǔ)能元件的能量相互交換。在階躍函數(shù)作用下，其暫態(tài)響應(yīng)可能作周期性的變化。暫態(tài)響應(yīng)

53、可能作周期性的變化。 222( )2nnnW sss式中：式中：n 自然振蕩角頻率自然振蕩角頻率 阻尼比阻尼比由二階微分方程描述的系統(tǒng)。由二階微分方程描述的系統(tǒng)。2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系60當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為：當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換為：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)。時(shí)，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)。1因式分解得：因式分解得：222( )(2)ncnnXss ss2221( )2ncnnsXssss振蕩環(huán)節(jié)的振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：輸出量為輸出量為 ：22(

54、 )1sin(1)1ntcnex tt 21arctan2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系61 延遲延遲/ /時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型帶鋼厚度檢測(cè)環(huán)節(jié)帶鋼厚度檢測(cè)環(huán)節(jié) ()cdh th t vl ()crxtx tsrcesXsXsW)()()(寫(xiě)成一般形式寫(xiě)成一般形式 : :零初始條件下，拉氏變換為零初始條件下，拉氏變換為 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 例例)()(sXesXrsc 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系62時(shí)滯環(huán)節(jié)的輸出量時(shí)滯環(huán)節(jié)的輸出量 ()cd

55、h th t 232311( )112!3!W sssss時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)srcesXsXsW)()()( 對(duì)于對(duì)于時(shí)滯時(shí)間很小時(shí)滯時(shí)間很小的時(shí)滯環(huán)節(jié)，常把它展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，的時(shí)滯環(huán)節(jié)，常把它展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并略去高次項(xiàng)，得：并略去高次項(xiàng)，得：時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)在一定條在一定條件下可近件下可近似為慣性似為慣性環(huán)節(jié)！環(huán)節(jié)！2.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系632.2 線性系統(tǒng)的復(fù)頻域模型2.2.4 2.2.4 典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型元部件及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)元部件名稱元部件名稱傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)

56、電位器電位器測(cè)速電機(jī)測(cè)速電機(jī)電加熱爐電加熱爐單容水槽單容水槽雙容水槽雙容水槽KsG )(KssG )(1)( TsKsG1)( TsKsGseTsKsG 1)(1)()(21221 sTTsTTKsG（2 2） 典型元部件典型元部件(有純延遲有純延遲)(也可有延遲，略也可有延遲，略)2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系642.3 方框圖與信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含方框和一些信號(hào)流向線組成，它包含4種基本單元。種基本單元。2.3.1 2.3.1 系統(tǒng)動(dòng)

57、態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 1）信號(hào)線）信號(hào)線 2）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）引出點(diǎn)（或測(cè)量點(diǎn)）3）比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）比較點(diǎn)（或綜合點(diǎn)）4）方框（或環(huán)節(jié)）方框（或環(huán)節(jié)）2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系652.3 方框圖與信號(hào)流圖+_ _+_ _+_ _Ka11C s21C s21R1R( )R s( )C s1( )U s1( )Us1( )U s1( )I s1( )I s2( )Is2( )Is2( )Is( )C s(b)1( )i t2( )it1( )u t( )c t( )r t1R2R1C2C(t)iR(t)ur(t)111(t)dti(t)i

58、C1(t)u2111(t)iRc(t)(t)u221(t)dtiC1c(t)222022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系662.3 方框圖與信號(hào)流圖+_ _+_ _+-11C s21R21C s11R( )R s( )C s1( )i t2( )it1( )u t( )c t( )r t1R2R1C2C思考思考:將兩部分電路分開(kāi)分將兩部分電路分開(kāi)分別討論然后在結(jié)合到一起別討論然后在結(jié)合到一起結(jié)果和前面得到的是否相結(jié)果和前面得到的是否相同同?2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系672.3 方框圖與信號(hào)流圖速度控制

59、系統(tǒng)速度控制系統(tǒng)例例2.3.12.3.12022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系682.3 方框圖與信號(hào)流圖解解（1）比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié)）比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器環(huán)節(jié) 0rrUsIsR 1111111kkcUsUssIss RRC s式中：式中：00014TR C111RC式中：式中：rufu2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系692.3 方框圖與信號(hào)流圖式中式中10cRKR 110111kCrfsUsKUUssT s整理得整理得 2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化

60、系702.3 方框圖與信號(hào)流圖（2）速度反饋的傳遞函數(shù)）速度反饋的傳遞函數(shù) fsfUsK n s式中：式中： 為速度反饋系數(shù)為速度反饋系數(shù) sfK2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系712.3 方框圖與信號(hào)流圖（3）電動(dòng)機(jī)及功率放大裝置）電動(dòng)機(jī)及功率放大裝置 dskUsK Us 1dedddUsC n sIsRT s edzmdCIsIsTsn sRdtdnJCiCidtdiLiRnCummzmdddddedemdmmdddCCRJTRLT,2022-3-5北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系北京科技大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化系722.3 方框圖與信號(hào)流圖（