第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

1、第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1.1 引言工程系統(tǒng)正朝著更加復(fù)雜的方向發(fā)展，這主要是由于復(fù)雜的任務(wù)和高精度的要求所引起的。一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)可能有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出，并且以某種方式相互關(guān)聯(lián)或耦合,可能是時(shí)變的。由于需要滿足控制系統(tǒng)性能提出的日益嚴(yán)格的要求，系統(tǒng)的復(fù)雜程度越來越大，為了分析這樣的系統(tǒng)，必須簡化其數(shù)學(xué)表達(dá)式，轉(zhuǎn)而借助于計(jì)算機(jī)來進(jìn)行各種大量而乏味的分析與計(jì)算,并且要求能夠方便地用大型計(jì)算機(jī)對系統(tǒng)進(jìn)行處理。從這個(gè)觀點(diǎn)來看，狀態(tài)空間法對于系統(tǒng)分析是最適宜的。大約從1960年升始發(fā)展起來。這種新方法是建立在狀態(tài)概念之上的。狀態(tài)本身并不是一個(gè)新概念，在很長一段時(shí)間內(nèi)，它已經(jīng)存在于古典動力學(xué)和其他一

2、些領(lǐng)域中。 經(jīng)典控制理論是建立在系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系或傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)之上的，而現(xiàn)代控制理論以n個(gè)一階微方程來描述系統(tǒng)，這些微分方程又組合成一個(gè)一階向量-矩陣微分方程。應(yīng)用向量-矩陣表示方法，可極大地簡化系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。狀態(tài)變量、輸入或輸出數(shù)目的增多并不增加方程的復(fù)雜性。事實(shí)上，分析復(fù)雜的多輸入-多輸出系統(tǒng)，僅比分析用一階純量微分方程描述的系統(tǒng)在方法上稍復(fù)雜一些。本課程將主要涉及控制系統(tǒng)的基于狀態(tài)空間的描述、分析與設(shè)計(jì)。本章將首先給出狀態(tài)空間方法的描述部分。將以單輸入單輸出系統(tǒng)為例，給出包括適用于多輸入多輸出或多變量系統(tǒng)在內(nèi)的狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式、線性多變量系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式(相

3、變量、對角線、Jordan、能控與能觀測)、傳遞函數(shù)矩陣，以及利用MATLAB進(jìn)行各種模型之間的相互轉(zhuǎn)換。第二章將討論狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的分析方法。第三章將給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。第四章將給出幾種主要的設(shè)計(jì)方法。本章1.1節(jié)為控制系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的引言。1.2節(jié)介紹狀態(tài)空間描述1.3節(jié)討論動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。1.4狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。1.5 介紹系統(tǒng)矩陣的特征值基本性質(zhì).1.6討論用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換問題。1.2控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述是60年代初，將力學(xué)中的相空間法引入到控制系統(tǒng)的研究中而形成的描述系統(tǒng)的方法，它是時(shí)域中最詳細(xì)的描述方法。特點(diǎn)： 1.給出了系統(tǒng)的

4、內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息.2.形式上簡潔,便于用數(shù)字計(jì)算機(jī)計(jì)算. 狀態(tài)的基本概念在介紹現(xiàn)代控制理論之前，我們需要定義狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)向量和狀態(tài)空間。狀態(tài)：動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量(稱為狀態(tài)變量)，只要知道了在時(shí)的一組變量和時(shí)的輸入量，就能夠完全確定系統(tǒng)在任何時(shí)間時(shí)的行為。 狀態(tài)這個(gè)概念決不限于在物理系統(tǒng)中應(yīng)用。它還適用于生物學(xué)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)、社會學(xué)系統(tǒng)和其他一些系統(tǒng)。狀態(tài)變量：動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量是確定動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。如果至少需要n個(gè)變量才能完全描述動態(tài)系統(tǒng)的行為(即一旦給出時(shí)的輸入量，并且給定時(shí)的初始狀態(tài)，就可以完全確定系統(tǒng)的未來狀態(tài))，則這n個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量

5、未必是物理上可測量的或可觀察的量。某些不代表物理量的變量，它們既不能測量，又不能觀察，但是卻可以被選為狀態(tài)變量。這種在選擇狀態(tài)變量方面的自由性，是狀態(tài)空間法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。狀態(tài)向量：如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的行為需要n個(gè)狀態(tài)變量，那么這n個(gè)狀態(tài)變量可以看作是向量X的n個(gè)分量，該向量就稱為狀態(tài)向量。狀態(tài)向量是這樣一種向量，一旦時(shí)的狀態(tài)給定，并且給出時(shí)的輸人，則任意時(shí)間時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)便使可以唯一地確定。狀態(tài)空間：由n個(gè)狀態(tài)變量所張成的n維歐氏空間，稱為狀態(tài)空間。任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點(diǎn)來表示。狀態(tài)空間方程 在狀態(tài)空間分析中，涉及到三種類型的變量，它們包含在動態(tài)系統(tǒng)的模型中。這三種變量是輸入變量、

6、輸出變量和狀態(tài)變量。在后面的分析中我們將會看到，對于一個(gè)給定的系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式不是唯一的。但是，對于同一系統(tǒng)的任何一種不同的狀態(tài)空間表達(dá)式而言，其狀態(tài)變量的數(shù)量是相同的。 動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)常常直接描述了系統(tǒng)中內(nèi)部能量的分配.例如.通常選以下量作為狀態(tài)變量:位置(勢能),速度(動能),電容電壓(電能)和電感電流(磁能).內(nèi)部能量總可以通過狀態(tài)變量計(jì)算出來.通過第二章的系統(tǒng)的分析知,可以把系統(tǒng)的狀態(tài)與系統(tǒng)的輸入和輸出聯(lián)系起來,并在系統(tǒng)的內(nèi)部變量與外部輸入和測量輸出之間建立聯(lián)系.相反,傳遞函數(shù)僅將輸入和輸出聯(lián)系起來,沒有給出系統(tǒng)的內(nèi)部特性.狀態(tài)形式保存了系統(tǒng)內(nèi)部特性的信息,這一點(diǎn)有時(shí)是很重要的.

7、假設(shè)多輸入、多輸出n階系統(tǒng)中, r個(gè)輸入量為和m個(gè)輸出量。n個(gè)狀態(tài)變量為于是可以用下列方程描述系統(tǒng): (1.2.1)輸出方程為: (1.2.2)用向量形式描述,可寫為:狀態(tài)方程: (1.2.3) 輸出方程: (1.2.4)其中 1.3 根據(jù)系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式 1. 不含作用函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 (1.3.1)選取狀態(tài)變量:得到:即狀態(tài)方程為： （1.3.2）輸出方程為： (1.3.3)2. 含作用函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 (1.3.4)方法一：選取狀態(tài)變量為 (1.3.5) 即 (1.3.6)式中， 由下式確定： (1.3.7) (1.3.8) (1.3

8、.9) (1.3.10)方法二：引入中間變量,令 （1.3.11）并將原微分方程分解成如下兩個(gè)方程：選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為： (1.3.12)得系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程 (1.3.13)若,則有 寫成矩陣形式 (1.3.14) (1.3.15)1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式考慮由下式定義的系統(tǒng)： (1.4.1) 式中u為輸入，y為輸出。該式也可寫為 (1.4.2) 下面給出由式（1.4.1）或式（1.4.2）定義的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式之能控標(biāo)準(zhǔn)形、能觀測標(biāo)準(zhǔn)形和對角線形（或Jordan形）標(biāo)準(zhǔn)形。1.4.1 能控標(biāo)準(zhǔn)形 下列狀態(tài)空間表達(dá)式為能控標(biāo)準(zhǔn)形： (1.4.3) (1.4.4)1.4.2 能

9、觀測標(biāo)準(zhǔn)形下列狀態(tài)空間表達(dá)式為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形：1.4.3 對角線標(biāo)準(zhǔn)形考慮分母多項(xiàng)式中只含相異根的情況。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的對角線標(biāo)準(zhǔn)形由下式確定：1.4.4 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形下面考慮分母多項(xiàng)式中含有重根的情況。對此，必須將前面的對角線標(biāo)準(zhǔn)形修改為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。例如，假設(shè)除了前3個(gè)相等外，其余極點(diǎn)相異。于是Y（s）/U(s)因式分解后為： 該式的部分分式展開式為該系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由下式確定： 例1.1 考慮由下式確定的系統(tǒng)：試求其狀態(tài)空間表達(dá)式之能控標(biāo)準(zhǔn)形、能觀測標(biāo)準(zhǔn)形和對角線標(biāo)準(zhǔn)形。解： 能控標(biāo)準(zhǔn)形為： 能觀測標(biāo)準(zhǔn)形為： 對角線標(biāo)準(zhǔn)形為：1.5 系統(tǒng)矩陣的特征

10、值的基本性質(zhì)n×n維系統(tǒng)矩陣A的特征值（特征根）是下列特征方程的根： 1.5.1 n×n維系統(tǒng)矩陣的對角線化如果一個(gè)具有相異特征值的n×n維矩陣A由下式給出：作如下非奇異線性變換x = P z，其中稱為范德蒙(Vandemone)矩陣，這里1，2，···，n是系統(tǒng)矩陣A的n個(gè)相異特征值。將P -1AP變換為對角線矩陣，即P -1AP= 如果矩陣A含有重特征值，則不能將上述矩陣對角線化。例如，3×3維矩陣有特征值1，2，3作非奇異線性變換x = S z，其中得到該式是一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。例1.2 考慮下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)

11、式：可寫為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：式中 矩陣A的特征值為：1 = 1，2 = 2，3 = 3因此，這3個(gè)特征值相異。如果作變換或x = P z 定義一組新的狀態(tài)變量z1、z2和z3，式中P =代入可得將上式兩端左乘P -1，得或者+化簡得，這也是一個(gè)狀態(tài)方程輸出方程可修改為：y = CP z或 注意：由定義的變換矩陣P將z的系統(tǒng)矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)閷蔷€矩陣。由式可看出，3個(gè)純量狀態(tài)方程是解耦的。注意矩陣P -1AP的對角線元素和矩陣A的3個(gè)特征值相同。此處強(qiáng)調(diào)A和P -1AP的特征值相同，這一點(diǎn)非常重要。下面我們將討論線性變換下特征值的不變性。1.5.2 特征值的不變性 為證明線性變換下特性值的不變性，需證明|

12、I - A|和|I P -1AP|的特征多項(xiàng)式相同。由于乘積的行列式等于各行列式的乘積，故注意到行列式|P -1|和|P|的乘積等于乘積|P -1P|的行列式，從而|I-P -1AP| = |P -1P| |I-A| = |I-A|這就證明了在線性變換下矩陣A的特征值是不變的。1.5.3 狀態(tài)變量組的非唯一性前面已闡述過，給定系統(tǒng)的狀態(tài)變量組不是唯一的。設(shè)是一組狀態(tài)變量，可取任意一組函數(shù), 作為系統(tǒng)的另一組狀態(tài)變量，這里假設(shè)對每一組變量都對應(yīng)于唯一的一組的值。反之亦然。因此，如果x是一個(gè)狀態(tài)向量，則也是一個(gè)狀態(tài)向量，這里假設(shè)變換矩陣P是非奇異的。顯然，這兩個(gè)不同的狀態(tài)向量都能表達(dá)同一系統(tǒng)之動態(tài)

13、行為的同一信息。1.6 利用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)模型之間的相互轉(zhuǎn)換本節(jié)將討論系統(tǒng)模型由傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)方程，反之亦然。MATLAB是相當(dāng)有用的，我們首先討論從傳遞函數(shù)向狀態(tài)方程的變換。將閉環(huán)傳遞函數(shù)寫為當(dāng)有了這一傳遞函數(shù)表達(dá)式后，使用如下MATLAB命令：將會給出狀態(tài)空間表達(dá)式。應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)，任何系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式都不是唯一的。對于同一系統(tǒng)，可有許多個(gè)（無窮多個(gè)）狀態(tài)空間表達(dá)式。上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式。1.6.1 傳遞函數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 考慮以下傳遞函數(shù) 對該系統(tǒng)，有多個(gè)（無窮多個(gè)）可能的狀態(tài)空間表達(dá)式，其中一種可能的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 另外一種可能的狀態(tài)

14、空間表達(dá)式（在無窮個(gè)中）為： MATLAB將式（1.6.1）給出的傳遞函數(shù)變換為由式（1.6.2）和（1.6.3）給出的狀態(tài)空間表達(dá)式。對于此處考慮的系統(tǒng)，MATLAB Program 1-1將產(chǎn)生矩陣A、B、C和D。MATLAB Program 1-1Num=0 0 1 0;Den=11456160;A,B,C,D = tf2ss(num,den)A= -14-56 -160 1 0 0 0 1 0B= 1 0 0C= 0 1 0D= 01.6.2 由狀態(tài)空間表達(dá)式到傳遞函數(shù)的變換 為了從狀態(tài)空間方程得到傳遞函數(shù)，采用以下命令： 對多輸入的系統(tǒng)，必須具體化iu。例如，如果系統(tǒng)有3個(gè)輸入，則i

15、u必須為1、2或3中的一個(gè)，其中1表示u1, 2表示u2, 3表示u3。如果系統(tǒng)只有一個(gè)輸入，則可采用或 例1.3 試求下列狀態(tài)方程所定義的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。MATLAB Program 1-2將產(chǎn)生給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所得傳遞函數(shù)為：MTLAB Program 1-2A=0 1 0; 00 1; -5 -25 -5;B=0; 25; -120;C=1 0 0;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)num= 0 -0.0000 25.0000 5.0000den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000%*The same result can be obtain

16、ed by entering the following command*num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num= 0 -0.0000 25.0000 5.0000den= 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000 例1.4 考慮一個(gè)多輸入-多輸出系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)輸出多于一個(gè)時(shí)，MATLAB命令：NUM，den = ss2tf (A,B,C,D,iu)對每個(gè)輸入產(chǎn)生所有輸出的傳遞函數(shù)（分子系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂信c輸出相同行的矩陣NUM）。考慮由下式定義的系統(tǒng)： 該系統(tǒng)有兩個(gè)輸入和兩個(gè)輸出，包括4個(gè)傳遞函數(shù)：Y1（s）/U1(s)、Y2（s）/U1(s)、Y1（s）/U2(s)和Y2（s）/U2(s)（當(dāng)考慮輸入u1時(shí)，可設(shè)u2為零。反之亦然）。解：MATLAB Program 1-3將會產(chǎn)生出四個(gè)傳遞函數(shù)：MATLAB Program 1-3 A=0 1； -25-4；B=1 1；01；C=1 0； 0 1；D=0 0； 0 0NUM,den=ss2tf(A,B,C,D,1)NUM= 0 14 0 0-25