第5章 測量誤差的基本知識

1、 第5章 測量誤差的基本知識 本章提要    通過前幾章的學習，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結果含有誤差也有了一定的感性認識。本章集中講述有關測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標準、誤差傳播定律和直接觀測平差。§ 5.1  觀測誤差概述   觀測及觀測誤差 對未知量進行測量的過程，稱之為觀測。測量所獲得的數值稱為觀測值。進行多次測量時，觀測值之間往往存在差異。這種差異實質上表現(xiàn)為觀測值與其真實值(簡稱為真值)之間的差異，這種差異稱為測量誤差或觀測誤差。用代表觀測值，設X代表真值，則有 

2、0;   (5-1)式中就是觀測誤差，通常稱為真誤差，簡稱誤差。一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。例如，同一人用同一臺經緯儀對某一固定角度重復觀測若干測回，各測回的觀測值往往互不相等；同一組人員，用同樣的測距工具，對A、B兩點間的距離重復測量若干次，各次觀測值也往往互不相等。又如，平面三角形內角和的真值應等于180°，但三個內角的觀測值之和往往不等于180°；閉合水準線路中各測段高差之和的真值應為0，但事實上各測段高差的觀測值之和一般不等于0。這些現(xiàn)象在測量實踐中是經常發(fā)生的。究其原因，是由于觀測值中不可避免地含有觀測誤差的緣故。  觀測誤

3、差的來源 測量是觀測者使用某種儀器、工具，在一定的外界條件下進行的。觀測誤差來源于以下三個方面：觀測者視覺鑒別能力和技術水平；儀器、工具的精密程度；觀測時外界條件的好壞。通常我們把這三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度。觀測誤差主要由儀器誤差、觀測者的誤差以及外界條件的影響組成。儀器誤差是指測量儀器構造上的缺陷和儀器本身精密度的限制，致使觀測值含有一定的誤差。觀測者帶來的誤差是由于觀測者技術水平和感官能力的局限，致使觀測值產生的誤差。外界條件的影響是指觀測過程中不斷變化著的大氣溫度、濕度、風力、透明度、大氣折光等因素給觀測值帶來的誤差。一般認為，在測量中人們總希望使每次

4、觀測所出現(xiàn)的測量誤差越小越好，甚至趨近于零。但要真正做到這一點，就要使用極其精密的儀器，采用十分嚴密的觀測方法，付出很高的代價。然而，在實際生產中，根據不同的測量目的，是允許在測量結果中含有一定程度的測量誤差的。因此，我們的目標并不是簡單地使測量誤差越小越好，而是要設法將誤差限制在與測量目的相適應的范圍內。  觀測誤差的分類及其處理方法 根據性質不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即   (5-2)式中：粗差；      系統(tǒng)誤差；      偶然誤差

5、。(1)粗差粗差是一種大級量的觀測誤差，例如超限的觀測值中往往就含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。    粗差產生的原因較多?？赡苡勺鳂I(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數讀錯、讀數被記錄員記錯、照錯了目標等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起的；還有可能是容許誤差取值過小造成的。    在觀測中應盡量避免出現(xiàn)粗差。發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是：進行必要的重復觀測，通過多余觀測條件，采用必要而又嚴密的檢核、驗算等。國家技術監(jiān)督部門和測繪管理機構制定的各類測量規(guī)范，一般也能起到防止粗差出現(xiàn)和發(fā)現(xiàn)粗差的作用。含有粗差的觀測值都不

6、能使用。因此，一旦發(fā)現(xiàn)粗差，該觀測值必須舍棄并重測。盡管我們十分認真、謹慎，粗差有時仍然難免。因此，如何在觀測數據中發(fā)現(xiàn)和剔除粗差，或在數據處理中削弱粗差對觀測成果的影響，乃是測繪界十分關注的課題之一。(2)系統(tǒng)誤差在一定的觀測條件下進行一系列觀測時，符號和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如，水準儀的視準軸與管水準器軸不平行對讀數的影響，經緯儀的豎直度盤指標差對豎直角的影響，地球曲率對測距和高程的影響，均屬系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差在觀測成果中具有累積性。    在測量工作中，應盡量設法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有兩種：一是在觀測方法和觀測程序上采用必要

7、的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響，如角度測量中采取盤左、盤右觀測，水準測量中限制前后視視距差等；另一種是找出產生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進行系統(tǒng)誤差的改正，如對距離觀測值進行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎直角進行指標差改正等。(3)偶然誤差  在一定的觀測條件下進行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號均呈現(xiàn)偶然性，即從表面現(xiàn)象看，誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，這樣的誤差稱為偶然誤差。產生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的，如觀測者的估讀誤差、照準誤差等。不斷變化著的溫度、風力等外界環(huán)境也會產生偶然誤差。粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，

8、并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導地位。從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進行統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個數越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358個三角形的全部內角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內角觀測值之和不一定等于真值180°。由式(51)計算358個三角形內角觀測值之和的真誤差，將真誤差取誤差區(qū)間3，并按絕對值大小進行排列，分別統(tǒng)計在各區(qū)間的正負誤差個數k，將k除以總數n(此處n=358)，求得各區(qū)間的kn，kn稱為誤差出現(xiàn)的頻率，結果列于表5-1。   &

9、#160;偶然誤差的區(qū)間分布    表5-1誤差區(qū)間負誤差正誤差合計個數k頻率k/n個數k頻率k/n個數k頻率k/n034540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01104641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.006091816944332611600.2540.2270.1840.1230.0920.0720.0310.01703669912121515181821212424右側各列的和1810.5051770.4953581.000從

10、表5l中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的個數和頻率相近，最大誤差不超過24。統(tǒng)計大量的實驗結果，表明偶然誤差具有如下特性：特性1  在一定觀測條件下的有限個觀測中，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值特性2  絕對值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。特性3  絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。特性4  當觀測次數無限增多時，偶然誤差平均值的極限為0，即  (5-3)本章此處及以后“  ”表示取括號中下標變量的代數和，即。用圖示方法可以直觀地表示偶然

11、誤差的分布情況。用表5-1的數據，以誤差大小為橫坐標，以頻率kn與區(qū)間的比值為縱坐標，如圖5-1所示。這種圖稱為頻率直方圖。圖51  頻率直方圖  可以設想，當誤差個數，同時又無限縮小誤差區(qū)間，圖5-1中各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線，如圖5-2所示。5-2  正態(tài)分布曲線該曲線稱為誤差分布曲線，是正態(tài)分布曲線。其函數式為：             (5-4)式中：圓周率；自然對數的底；誤差分布的標準差。即正態(tài)分布曲線上任一點的縱坐標均為橫

12、坐標的函數。標準差的大小可以反映觀測精度的高低，其定義為：        (5-5)     在圖51中各矩形的面積是頻率kn。由概率統(tǒng)計可知，頻率kn就是真誤差出現(xiàn)在區(qū)間上的概率P()，記為：          (5-6)式(5-4)和式(5-6)中是誤差分布的概率密度函數，簡稱密度函數。§ 5.2  衡量觀測值精度的標準 為了衡量觀測結果的精度優(yōu)劣，必須建立衡量精度的統(tǒng)一標

13、準。有了標準才能進行比較。衡量精度的標很多種，這里介紹以下主要的幾種。  中誤差 由式(55)定義的標準差是衡量精度的一種標準，但那是理論上的表達式。在測量實踐中觀測次數不可能無限多，因此實際應用中，定義中誤差m作為衡量精度的一種標準：   (5-7)在一組觀測值中，當中誤差m確定后，可以繪出它所對應的誤差正態(tài)分布曲線。在式(54)中，當0時，以中誤差m代替標準差是最大值。因此在一組觀測值中，當小誤差比較集中時，m較小，則曲線的縱軸頂峰較高，曲線形狀較陡峭，如圖53中，表示該組觀測精度較高；的曲線形狀較平緩，其誤差分布比較離散，較大，表明該組觀測精度低。如果令的二

14、階導數等于0，可求得曲線拐點的橫坐標：   (5-8)也就是說，中誤差的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標。  相對誤差 中誤差和真誤差都是絕對誤差。在衡量觀測值精度的時候，單純用絕對誤差有時還不能完全表達精度的優(yōu)劣。例如，分別測量了長度為100m和200m的兩段距離，中誤差皆為±0.02m。顯然不能認為兩段距離測量精度相同。此時，為了客觀地反映實際精度，必須引入相對誤差的概念。相對誤差K是誤差m的絕對值與相應觀測值D的比值。它是一個不名數，常用分子為1的分式表示：      

15、0;                   (5-9)式中當m為中誤差時，K稱為相對中誤差。在上述例中用相對誤差來衡量，就可容易地看出，后者比前者精度高。在距離測量中還常用往返觀測值的相對較差來進行檢核。相對較差定義為：         （5-10）相對較差是相對真誤差，它反映往返測量的符合程度。顯然，相對較差愈小，觀測結果愈可靠。還應該指

16、出，用經緯儀測角時，不能用相對誤差來衡量測角精度，因為測角誤差與角度大小無關。  極限誤差和容許誤差 (1)   極限誤差由偶然誤差的特性1可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。我們知道，標準差或中誤差是衡量觀測精度的一種指標，它不能代表個別觀測值真誤差的大小，但從統(tǒng)計意義上來講，它們卻存在著一定的聯(lián)系。根據式(5-4)和式(5-6)有：      (5-11)表示真誤差落在區(qū)間(-，+)內的概率等于0.683。同理可得：  (5-12)  (5-1

17、3)上列三式結果的概率含義是：在一組等精度觀測值中，真誤差在±范圍以外的個數約占誤差總數的32；在±2范圍以外的個數約占4.5；在±3范圍以外的個數只占0.3。絕對值大于3的真誤差出現(xiàn)的概率很小，因此可以認為±3是真誤差實際出現(xiàn)的極限，即3是極限誤差：        (514)(2)容許誤差測量實踐中，是在極限誤差范圍內利用容許誤差對偶然誤差的大小進行數量限制的。在實際應用的測量規(guī)范中，常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差。  即   (

18、5-15)或      (5-16)前者要求較嚴，后者要求較寬。如果觀測值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認為該觀測值不可靠，應舍去不用，并重測。§ 5.3  誤差傳播定律 在實際測量工作中，有些量往往不是直接觀測值，而是通過其他觀測值間接求得的，這些量稱為間接觀測值。設Z是獨立變量的函數，即      (517)其中函數Z的中誤差為，各獨立變量對應的觀測值中誤差分別為，如果知道了與之間的關系，就可以由各變量的觀測值中誤差來推求函數的中誤差。各變量的觀測值中誤差與其函數的中

19、誤差之間的關系式，稱為誤差傳播定律。 設   (5-18)式中：各獨立變量相應的觀測值； 的偶然誤差。則  (5-19)按泰羅級數展開，有： (5-20)等式右邊第二項就是函數Z的誤差，即  (5-21)又設各獨立變量都觀測了次，則其誤差的平方和為：  (5-22)由偶然誤差的特性4可知，當觀測次數時，上式中的總和趨近于0，又根據式(57)有：               &#

20、160;                                 (5-23)                &

21、#160;                                (5-24)上兩式中               (5-25)或 

22、           (5-26)這就是一般函數的誤差傳播定律，利用它不難導出表5-2所列簡單函數的誤差傳播定律。簡單函數的中誤差傳播公式   表5-2(點擊圖片放大)    誤差傳播定律在測繪領域應用十分廣泛，利用它不僅可以求得觀測值函數的中誤差，而且還可以研究確定容許誤差值以及事先分析觀測可能達到的精度等，下面舉例說明應用方法?！纠?-1】在1：5000地形圖上量得A、B兩點間的距離d=234.5mm，中誤差。求A、B兩點間的實地水平距離D及

23、其中誤差。解 D=Md=5000×234.5/1000=1172.5m，根據表5-2第1式，。距離結果可以寫為D=1172.5m±1.0m?！纠?5-2】對一個三角形觀測了其中、兩個角，測角中誤差分別為按公式求得另一個角。試求角的中誤差。解 根據公式5-2第2式，有：【例 5-3】，觀測值D=225.85m±0.06m，=157°0030±20。求的中誤差。解 根據式(5-26)，有：   =±3.1cm【例5-4】 水準測量中，視距為75m時在標尺上讀數的中誤差(包括照準誤差，氣泡居中誤差及水準尺刻劃誤差)。若以

24、3倍中誤差為容許誤差，試求普通水準測量觀測n站所得高差閉合差的容許誤差。解 普通水準測量每站測得高差，則每站觀測高差的中誤差為：觀測n站所得高差，高差閉合差為已知值(無誤差)。則閉合差的中誤差為：  以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許誤差為：【例 5-5】試用誤差傳播定律分析視線傾斜時視距測量的精度。解 測量水平距離的精度分析根據視距測量原理，有視線傾斜時的視距公式，則：   所以水平距離D的中誤差為：=由于根式內第二項的值很小，為了方便討論可以將其略去。則有：式中：視距離隔的讀數中誤差，因=下絲讀數-上絲讀數，故上、下絲讀數的中誤差。由生理實驗可知，人的

25、肉眼當視角小于1時分辨不出兩個點?？梢娙搜鄣目煞直嬉暯菫?0。當測量儀器的望遠鏡放大倍率為24倍，通過望遠鏡來觀測時，可達到的分辨視角。因此，上、下絲讀數的誤差為，以它作為讀數的中誤差代入上式后可得：于是當很小時，上式可寫為：則相對中誤差為：考慮到其他因素的影響，可以認為視距測量的距離精度可達1/300。測量高差的精度分析根據視距測量的高差主值計算公式，有    則高差主值的中誤差為：根式中前一項，當D=100m時，很小，故略去。于是當角不大時，可將上式改寫為：若，則。即視距測量每100m距離對應的高差主值的中誤差為±3cm，誤差的最大值可達±

26、9cm。§ 5.4  等精度直接觀測平差 除了標準實體，自然界中任何單個未知量(如某一角度，某一長度等)的真值都是無法確知的，只有通過重復觀測，才能對其真值作出可靠的估計。在測量實踐中，重復測量的目的還在于提高觀測成果的測量，同時也為了發(fā)現(xiàn)和消除粗差。重復測量形成了多余觀測，加之觀測值必然含有誤差，這就產生了觀測值之間的矛盾。為了消除這種矛盾，就必須依據一定的數據處理準則，采用適當的計算方法，對有矛盾的觀測值加以必要而又合理的調整，給以適當的改正，從而求得觀測量的最佳估值，同時對觀測進行質量評估。人們把這一數據處理的過程稱作“測量平差”。在相同條件下進行的觀測是等精度觀測，

27、所得到的觀測值稱為等精度觀測值。如果觀測所使用的儀器精度不同，或觀測方法不同，或外界條件差別較大，不同觀測條件下所獲得的觀測值稱為不等精度觀測值。  對一個未知量的直接觀測值進行平差，稱為直接觀測平差。根據觀測條件，有等精度直接觀測平差和不等精度直接觀測平差。平差結果是得到未知量最可靠的估值，最接近其真值，稱為“最或是值”。  求最或是值 在等精度直接觀測平差中，觀測值的算術平均值是未知量的最或是值。設對某量進行了n次等精度觀測，其觀測值為，該量的真值為X，各觀測值的真誤差為。由于真值X無法確知，測量上取n次觀測值的算術平均值為最或是值，以代替真值。即  

28、;                     (5-27)觀測值與最或是值之差，稱為“最或是誤差”，用符號來表示。                       (5-28)當n個最或

29、是誤差相加，有：                              (5-29)即最或是誤差的總和為0。式(5-29)可以用作計算中的檢核，若值計算無誤，其總和必然為0。顯然，當觀測次數時，。5.4.2 評定精度 (1)觀測值中誤差由于獨立觀測中單個未知量的真值X是無法確知的，因此真誤差也是未知的。所

30、以不能直接應用式(57)求得中誤差。但可以用有限個等精度觀測值求出最或是值后，再按公式(528)計算最或是誤差，用最或是誤差計算觀測值的中誤差。其公式推導如下：對未知量經n次等精度觀測，得觀測值，則真誤差         (5-30)最或是誤差如式(5-28)，式(5-28)與式(5-30)相減得：     (5-31)令，則     (5-32)對式(5-32)兩端取平方和：   (5-33)因，又有根據偶然誤差特

31、性4，當時，上式等號右邊的第二項趨近于0，故于是有即    (5-34)式(5-34)是等精度觀測中用最或是誤差計算中誤差的公式。【例 5-6】對某角進行了5次等精度觀測，觀測結果列于表5-3。試求其觀測值的中誤差。等精度直接觀測平差計算       表5-3觀測值最或是誤差+30+1-3-190191解  根據式(5-27)和式(5-28)計算最或是值、最或是誤差，利用式(5-29)進行檢核，計算結果列于表5-3中。觀測值的中誤差為：（觀測值的中誤差） (2)最或是值的中誤差設有某量

32、進行n次等精度觀測，觀測值為，中誤差為m。最或是值的中誤差M的計算公式推導如下：                   (5-35)根據誤差傳播定律，有：        (5-36)所以：              

33、60;                    (5-37)顧及式(5-34)，算術平均值的中誤差也可表達如下：                        &

34、#160;   (5-38)【例 5-7】計算例5-6的最或是值的中誤差。解 利用式(5-37)得 （算術平均值的中誤差）      從公式(537)可以看出，算術平均值的中誤差與觀測次數的平方根成反比。因此增加觀測次數可以提高算術平均值的精度。當觀測值的中誤差時，算術平均值的中誤差M與觀測次數n的關系如圖54所示。由圖可以看出，當n增加時，M減小。但當觀測次數n達到一定數值后(如n10)，再增加觀測次數，工作量增加，但提高精度的效果就不太明顯了。故不能單純以增加觀測次數來提高測量成果的精度，應設法提高觀測值本身的

35、精度。例如，使用精度較高的儀器、提高觀測技能、在良好的外界條件下進行觀測等。§ 5.5  不等精度直接觀測平差 在對某一未知量進行不等精度觀測時，各觀測值的中誤差也不相同，各觀測值便具有不同的可靠性。因此，在求未知量的最可靠估值時，就不能像等精度觀測那樣簡單地取算術平均值，因為較可靠的觀測值，應對最后結果產生較大的影響。不等精度觀測值的可靠性，可用稱為觀測值“權”的數值來表示?！皺唷笔菣嗪廨p重的意思，觀測值的精度愈高，其權愈大。例如，設對某一未知量進行了兩組不等精度觀測，但每組內各觀測值是等精度的。設第一組觀測了4次，其觀測值為；第二組觀測了3次，觀測值為。這些觀測值的可靠

36、程度都相同，每組分別取算術平均值作為最后觀測值，即                  (5-39)對觀測值來說，彼此是不等精度觀測，故最后結果應為：                      (5-40)上式的計算實際是

37、：                                  (5-41)從不等精度觀測平差的觀點來看，觀測值是4次觀測值的平均值，是3次觀測值的平均值，和的可靠性不一樣，可取4、3為其相應的權，以表示、可靠程度的差別。分析式(541)，分子、分母乘以同一常數，

38、最后結果不變。因此，權只有相對意義，起作用的不是它們的絕對值，而是它們之間的比值，權通常用字母表示，且恒取正值。  權與中誤差的關系 一定的中誤差，對應著一個確定的誤差分布，即對應著一定的觀測條件。觀測值的中誤差愈小，其值愈可靠，權就愈大。因此，可以根據中誤差來定義觀測值的權。設n個不等精度觀測值的中誤差分別為，則權可以用下式來定義：                  (5-42)其中可取為任意正常數。前面所舉的例子

39、，和是等精度觀測值，觀測值的中誤差為m，則第1組的算術平均值的中誤差，可以根據式(5-37)得：同理，可得第2組算術平均值的中誤差為：在式(5-42)中分別代入和，得： ： 若取，則、的權分別為。【例 5-8.】 設以不等精度觀測某角度，各觀測值的中誤差分別為。求各觀測值的權。解  由式(5-42)可得：           若取則。若取則。若取=9則p1=4/81 p2=9 p3=9/4選擇適當的值可以使權成為便于計算的數值。【例 5-9】對某一角度進行了n次觀測，求算術平均值的權。

40、解 設一測回角度觀測值的中誤差為m。上式(5-37)，算術平均值的中誤差為。由權的定義并設 ，則一測回觀測值的權為：算術平均值的權為：由例5-9可知，取一測回角度觀測值之權為1，則n個測回觀測值的算術平均值的權為n。故角度觀測的權與其測回數成正比。在不等精度觀測中引入“權”的概念，可以建立各觀測值之間的精密比值，以便更合理地處理觀測數據。例如，設每一測回的觀測值的中誤差為，其權為，并設，則有：                 

41、            (5-43)等于1的權稱為單位權，而使權等于1的中誤差稱為單位權中誤差，一般用(或)表示。對于中誤差為的觀測值，其權為：                             

42、;   (5-44)相應的有中誤差的另一表達式：                            (5-45)  加權平均值及其中誤差 對同一未知量進行了n次不等精度觀測，觀測值為，其相應的權為，則加權平均值為不等精度觀測值的最或是值，計算公式可寫為：    &#

43、160;                      (5-46)  或                                              (5-47)校核計算方式為：                  &#