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1、第三章1、 已知是n階正定Hermite矩陣,在n維線性空間中向量定義內(nèi)積為(1) 證明在上述定義下,是酉空間;(2) 寫出中的Canchy-Schwarz不等式。2、 已知,求的標(biāo)準(zhǔn)正交基。提示:即求方程的基礎(chǔ)解系再正交化單位化。3、 已知試求酉矩陣,使得是上三角矩陣。提示:參見教材上的例子4、 試證:在上的任何一個(gè)正交投影矩陣是半正定的Hermite矩陣。5、 驗(yàn)證下列矩陣是正規(guī)矩陣,并求酉矩陣,使為對(duì)角矩陣,已知,6、 試求正交矩陣,使為對(duì)角矩陣,已知,7、 試求矩陣,使(或),已知,8、 設(shè)n階酉矩陣的特征根不等于,試證:矩陣滿秩,且是Hermite矩陣。反之,若是Hermite矩陣,
2、則滿秩,且是酉矩陣。 證明:若,觀察知為的特征值,矛盾,所以矩陣滿秩。,要,只要故由知為H的特征值。由Hermite矩陣只能有實(shí)數(shù)特征值可得,即滿秩。9、 若分別是實(shí)對(duì)稱和實(shí)反對(duì)稱矩陣,且,試證:是酉矩陣。證明:10、 設(shè)均是實(shí)對(duì)稱矩陣,試證:與正交相似的充要條件是與的特征值相同。證明:相似矩陣有相同的特征值。與正交相似與的特征值相同。若與的特征值相同,又均是實(shí)對(duì)稱矩陣。所以存在正交陣Q,P使其中為正交陣。11、 設(shè)均是Hermite矩陣,試證:與酉相似的充要條件是與的特征值相同。證明:同上一題。12、 設(shè)均是正規(guī)矩陣,試證:與酉相似的充要條件是與的特征值相同。同上13、 設(shè)A是Hermite
3、矩陣,且,則存在酉矩陣,使得14、 設(shè)A是Hermite矩陣,且,則存在酉矩陣,使得。15、 設(shè)A為正定Hermite矩陣,B為反Hermite矩陣,試證:與的特征值實(shí)部為0。證:A為正定Hermite矩陣,為滿秩的。,是反Hermite矩陣,反Hermite矩陣的特征值實(shí)部為0,所以的特征值實(shí)部為0。16、 設(shè)均是Hermite矩陣,且A正定,試證:與的特征值都是實(shí)數(shù)。證明:同上題。,是Hermite矩陣,Hermite矩陣的特征值為實(shí)數(shù),所以的特征值是實(shí)數(shù)。17、 設(shè)A為半正定Hermite矩陣,且,試證:。證明:A的特征值為,矩陣的行列式等于特征值之積。特征值為,18、 設(shè)A為半正定He
4、rmite矩陣,B是正定Hermite矩陣,試證:。證明:,為滿秩的。為半正定Hermite矩陣,由上題,19、 設(shè)A為正定Hermite矩陣,且,則。證明:存在,。又,20、 試證:(1)兩個(gè)半正定Hermite矩陣之和是半正定的;(2)半正定Hermite矩陣與正定Hermite矩陣之和是正定的。提示:考查21、 設(shè)A是正定Hermite矩陣,B是反Hermite矩陣,試證:AB是可逆矩陣。提示:A為正定Hermite矩陣,為滿秩的。是反Hermite矩陣,特征值實(shí)部為0,,所以22、 設(shè)A,B是n階正規(guī)矩陣,試證:A與B相似的充要條件是A與B酉相似。證明:充分性,酉相似相似。 必要性,A
5、,B是n階正規(guī)矩陣,又A與B相似, 與的特征值相同,可設(shè),23、 設(shè),試證:總存在,使得是正定Hermite矩陣,是負(fù)定Hermite矩陣。提示:A的特征值為,則的特征值為24、 設(shè)A是正定Hermite矩陣,且A還是酉矩陣,則。提示:25、 設(shè)A、B均為正規(guī)矩陣。且,則與均為正規(guī)矩陣。提示:用定理,可以同時(shí)酉對(duì)角化。 26、 設(shè),試證:是酉矩陣。提示:27、 設(shè)A為n階正規(guī)矩陣,為A的特征值,試證:的特征值為。提示:,所以的特征值為28、 設(shè),試證:(1)和都是半正定的Hermite矩陣;(2)和的非零特征值相同。提示:(1) (2),特征值的重?cái)?shù)也相同,參見P19129、 設(shè)A是正規(guī)矩陣,試證:(1)若(為自然數(shù)),則;(2)若,則;(3)若,則。30、 設(shè),求證以下三條件等價(jià):(1)為正規(guī)矩陣(2)(3)解:(1)(2)由。(2)(3),由(2)(1),由31、設(shè),則A
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