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1、第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動,在時刻質(zhì)點(diǎn)的位失為,速度為,速率為,至()時間內(nèi)的位移為,路程為,位失大小的變化量為(或稱),平均速度為,平均速率為。(1)根據(jù)上述情況,則必有( B )(A)(B),當(dāng)時有(C),當(dāng)時有(D),當(dāng)時有(2)根據(jù)上述情況,則必有( C )(A) (B)(C) (D)1-2 一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時位于位失的端點(diǎn)處,對其速度的大小有四種意見,即(1);(2);(3);(4)下述判斷正確的是( D )(A)只有(1)(2)正確;(A)只有(2)正確(A)只有(2)(3)正確;(A)只有(3)(4)正確1-3 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動,表示位置矢量,表示速度,表示加速度,表示
2、路程,表示切向加速度。對下列表達(dá)式,即(1);(2);(3);(4)下述判斷正確的是( D )(A)只有(1)(4)是對的;(A)只有(2)(4)是對的(A)只有(2)是對的;(A)只有(3)是對的1-4一個質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動時,則有( B )(A)切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B)切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C)切向加速度可能不變,法向加速度不變(D)切向加速度一定改變,法向加速度不變1-5有一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,其運(yùn)動方程為x=6t2-2t3 (SI制),試求:(1) 第二秒內(nèi)的平均速度;(2) 第三秒末的速度;(3) 第一秒末的加速度;(4) 質(zhì)點(diǎn)作什么類型的運(yùn)動?解:(1
3、)先求出質(zhì)點(diǎn)在第二秒內(nèi)的位移。由運(yùn)動方程可知 t=1s,x1=612-213=4mt=2s,x2=622-223=8m 第二秒內(nèi)的平均速度為: (2)把位移對時間求導(dǎo),即得質(zhì)點(diǎn)的速度 把t=3s代入上式,可得第三秒末的速度為 (3)把速度對時間求導(dǎo),即得質(zhì)點(diǎn)的加速度 把t=1s代入上式,可得第一秒末的加速度為 a=12-121=0m/s2 (4)質(zhì)點(diǎn)作變加速直線運(yùn)動。1-6已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為(SI制)。(1) 求出,和時質(zhì)點(diǎn)的位矢;(2) 求出末和末的速度; (3) 求出加速度。解:(1)時 m,時 m (2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的速度m/s:時 m/s, 時 m/s (3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度m/s2
4、1-7一質(zhì)點(diǎn)沿y軸作直線運(yùn)動,其速度大小,單位為SI制。質(zhì)點(diǎn)的初始位置在y軸正方向10處,試求:(1)時,質(zhì)點(diǎn)的加速度;(2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。解:根據(jù)題意可知,時,(1) 質(zhì)點(diǎn)在時的加速度為(2) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程y為,兩邊積分 ,因此 1-8某質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上作加速運(yùn)動,加速度。在零時刻的速度為零,位置矢量。試求:(1) 時刻的速度和位矢;(2) 質(zhì)點(diǎn)在平面上的軌跡方程。解:(1)時刻的速度為,積分得 因此 ; 時刻的位矢為積分得,因此(2)由的表達(dá)式可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程 消去兩式中的,便得軌跡方程 1-9一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度,在t=0時,其速度為零,位置矢量為。求:(1)在任意時刻的速度和位
5、置矢量;(2)質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖。解:(1)由可得: 兩邊積分:注意到:可得: 又由可得兩邊積分:注意到:可得:(2)由運(yùn)動學(xué)方程可得其分量式為: 消去 t ,得 ,它為直線方程,如左圖所示。這里由 可得: 1-10一汽艇以速率沿直線行駛。發(fā)動機(jī)關(guān)閉后,汽艇因受到阻力而具有與速度 成正比且方向相反的加速度,其中為常數(shù)。求發(fā)動機(jī)關(guān)閉后,(1) 在時刻汽艇的速度;(2) 汽艇能滑行的距離。解:本題注意根據(jù)已知條件在計算過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q。(1)因為, 可得,所以,積分得 ,即: (2)因為 ,所以 ,發(fā)動機(jī)關(guān)閉后汽艇能滑行的距離為。 如利用進(jìn)行計算,的積分上下限
6、取與0,可得同樣結(jié)果。想一想其合理性。1-11一物體沿X軸作直線運(yùn)動,其加速度,是常數(shù)。在時,。(1)求速率隨坐標(biāo)變化的規(guī)律;(2)求坐標(biāo)和速率隨時間變化的規(guī)律。解:本題注意變量變換。(1) 因為,所以 得,即 (2)因為,所以可得 又因為 ,所以,可得 1-12潛水艇在下沉力不大的情況下,自靜止開始以加速度豎直下沉(A,為恒量),求任一時刻的速度和運(yùn)動方程。解:以潛水艇開始運(yùn)動處為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下為正方向。按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的加速度的定義式有 根據(jù)題目的初始條件,積分 可得潛水艇在任意時刻的速度為 再根據(jù)速度的定義式 得 積分 得潛水艇在任意時刻的位置坐標(biāo),即運(yùn)動方程為 1-13已知質(zhì)點(diǎn)作半徑為的
7、圓周運(yùn)動,其角位置與時間的關(guān)系為(其中的單位為,的單位為)。試求:(1)當(dāng)時,角速度和角加速度;(2)當(dāng)時,切向加速度和法向加速度。解:(1)質(zhì)點(diǎn)的角速度及角加速度為,當(dāng)時, , (2)質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度為,當(dāng)時,1-14一球以30m.s-1的速度水平拋出,試求5s鐘后加速度的切向分量和法向分量。解:由題意可知,小球作平拋運(yùn)動,它的運(yùn)動方程為 將上式對時間求導(dǎo),可得速度在坐標(biāo)軸上的分量為 因而小球在t時刻速度的大小為故小球在t時刻切向加速度的大小為由因為小球作加速度a=g的拋體運(yùn)動,所以在任意時刻,它的切向加速度與法向加速度滿足:且互相垂直。由三角形的關(guān)系,可求得法向加速度為:代入數(shù)
8、據(jù),得 , 在計算法向加速度時,可以先寫出它的軌跡方程,再算出曲率半徑和速度大小,最后算出法向加速度。但是這樣計算是相當(dāng)復(fù)雜的。在本題中,已經(jīng)知道總的加速度和切向加速度,可以利用它們?nèi)咧g的關(guān)系求解。1-15如圖所示,一卷揚(yáng)機(jī)的鼓輪自靜止開始作勻角加速度轉(zhuǎn)動,水平絞索上的點(diǎn)經(jīng)3s后到達(dá)鼓輪邊緣點(diǎn)處。已知m,鼓輪的半徑為m。求到達(dá)最低點(diǎn)時的速度與加速度。解:點(diǎn)的加速度也為卷揚(yáng)機(jī)邊緣的切向加速度,由以及可得:m.s-2 設(shè)到達(dá)最低點(diǎn)的速度為,于是 : m.s-1方向為沿點(diǎn)的切向方向向左。 m.s-2m.s-2,1-16一質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)以順時針方向沿半徑為2m的圓形軌道運(yùn)動。此質(zhì)點(diǎn)的角速度與運(yùn)動的時間的平方成正比,即(SI制)。式中為常數(shù)。已知質(zhì)點(diǎn)在第2秒末的線速度為32m/s,試求0.50s時質(zhì)點(diǎn)的線速度和加速度。解:由已知, 所以,當(dāng), m/s,m/s2, m/s2 m/s2,1-17一無風(fēng)的雨天,以20ms-1勻速前進(jìn)的汽車中一乘客看見窗外雨滴和垂線成角下降。求雨滴下落的速度。(設(shè)雨滴看作勻速下降)解:十分簡單的一個相對運(yùn)動問題。分清合速度和分速度即可。 m.s-1 1-18一人能在靜水中以1.10的速度劃船前進(jìn)。今欲橫渡一寬為,水流速度為0.55的大河。(1)他若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河面到達(dá)正對岸的
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