知識(shí)講解 離散型隨機(jī)變量的均值與方差理基礎(chǔ)

1、 離散型隨機(jī)變量的均值與方差【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問題；2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1.定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望要點(diǎn)詮釋：（1）均值（期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值。

2、（3）隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位2性質(zhì)：；若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有；的推導(dǎo)過程如下：的分布列為P于是 )。要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。2.離散型隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱稱為隨機(jī)變量的方差，式中的是隨機(jī)變量的期望的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度

3、；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛。3.期望和方差的關(guān)系：4.方差的性質(zhì)：若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，；要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布，則期望方差證明：,2、二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，即則期望方差期望公式證明：，又，3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，且，稱離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，記作：。若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且則期望方差要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變

4、量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。4、超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則期望要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1、求離散型隨機(jī)變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個(gè)值的概率，寫出分布列；P根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出、：.注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用 離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波動(dòng)越大。對(duì)于兩個(gè)

5、隨機(jī)變量和，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較和的大小。和相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較和，方差值大時(shí)，則表明比較離散，反之，則表明比較集中品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望、方差）有關(guān)【典型例題】類型一、離散型隨機(jī)變量的期望例1某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E8.9，則y的值為_【思路點(diǎn)撥】分布列中含有字母x、y,應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出x、y的值，再利用期望的定義求解；【解析】x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化簡(jiǎn)得7x10y5.4.

6、由聯(lián)立解得x0.2，y0.4.【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，舉一反三：【變式1】某一離散型隨機(jī)變量的概率分布如下，且E（）=1.5，則ab為（ ）0123P0.1ab0.1 A0.1 B0 C0.1 D0.2【答案】B由分布列的性質(zhì)知：0.1+a+b+0.1=1，a+b=0.8又E（）=00.1+1a+2b+30.1=1.5，即a+2b=1.2解得a=0.4，b=0.4，ab=0【變式2】隨機(jī)變量的分布列為024P0.40.30.3，則E(54)等于()A13B11 C2.2 D2.3【答案】A 由已知得：E()00.420.340.

7、31.8，E(54)5E()451.8413.【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤(rùn)是200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元【答案】A節(jié)日期間預(yù)售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)，則期望的利潤(rùn)：51.6(500)5002.53.4450，E3.4E4503.4340450706.期望利潤(rùn)為706元【變式

8、4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，且（），則 ；【答案】；由分布列的概率和為1，有，又，即，解得，故。例2. 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響 （1）求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的概率分布和數(shù)學(xué)期望； （2）求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X0）的概率 【思路點(diǎn)撥】本題顯然為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的問題，因此求各個(gè)情況的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答對(duì)0道題得300分，答對(duì)1道題得100200=100分，答對(duì)2道題得210010

9、0=100分，答對(duì)3道題得300分；（2）總分不為負(fù)分包括100分和300分兩種情況 【解析】（1）X的可能取值為300，100，100，300 P（X=300）=0.23=0.008。 P（X=100）=0.220.8=0.096， P（X=100）=0.20.82=0.384， P（X=300）=0.83=0.512 所以X的概率分布為X300100100300P0.0080.0960.3840.512 E（X）=(300)0.008+(100)0.096+1000.384+3000.512=180 （2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為 P（X0）=P（X=100）+P（X=300）=0.

10、384+0.512=0.896 【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表舉一反三：【變式1】 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望【答案】因?yàn)椋浴咀兪?】一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望【答案】設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3當(dāng)時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則當(dāng)時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則當(dāng)時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，

11、試驗(yàn)停止，則當(dāng)時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則分布列為0123p【變式3】某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)他所收租車費(fèi)為()求租車費(fèi)關(guān)于行車路程的關(guān)系式；()若隨機(jī)變量的分布列為15161718P0.10.50.30.1求

12、所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)期望()已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?【答案】()依題意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 （元）故所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘 例3若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！舅悸伏c(diǎn)撥】3次有放回的抽取就是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，取出二等品的件數(shù)這一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布?！窘馕觥坑深}知一次取出二等品的概率為，有放回地抽取3件，可以看作3

13、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即取出二等品的件數(shù)，所以，.【總結(jié)升華】 在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值舉一反三： 【變式1】 英語考試有100道選擇題，每個(gè)題有4個(gè)選項(xiàng)，選對(duì)得1分，否則得0分，學(xué)生甲會(huì)其中的20道，學(xué)生乙會(huì)其中的80道，不會(huì)的均隨機(jī)選擇，求甲、乙在這次測(cè)驗(yàn)中得分的數(shù)學(xué)期望【答案】設(shè)甲、乙不會(huì)的題的得分分別為隨機(jī)變量X和Y，由題意知XB（80，0.25），YB（20，0.25）， E（X）=800.25=20，E（Y）=200.25=5故甲、乙的數(shù)學(xué)期望成績(jī)分別為40分和85分【變式2】 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊

14、中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的數(shù)學(xué)期望【答案】 甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由題意，。，?！咀兪?】 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望 【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則, 由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生

15、甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是： 類型二、離散型隨機(jī)變量的方差例4. 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布如下表，試求E（X）和D（X）X101P12qq2 【思路點(diǎn)撥】 由概率分布的性質(zhì)求出q的值后，再計(jì)算E（X），D（X）【解析】 由概率分布的性質(zhì)，得：，得。，。 【總結(jié)升華】求隨機(jī)變量的方差，應(yīng)先明確隨機(jī)變量的概率分布。然后利用均值與方差的定義列式計(jì)算 舉一反三： 【變式1】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X12nP 求D(X）。 【答案】 本題考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定義求之也可直接利用公式D（X）=E（X2

16、）E（X）2來解解法一：，D。解法二：由解法一可求得。又，D。 【變式2】 1已知隨機(jī)變量的分布列如下表：101P （1）求E（），D（），； （2）設(shè)=2+3，求E（），D（）【答案】（1）；，。（2），。例5. 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為p=0.6 （1）求一次投籃時(shí)，投中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差； （2）求重復(fù)5次投籃時(shí)，投中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差【思路點(diǎn)撥】（1）投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布；（2）重復(fù)投籃5次的投中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布 【解析】（1）X服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下：X01P0.40.6 所以E（X）=p=0.6，D（X）=p（1p）=0.24 （2）由

17、題設(shè)，YB（5，0.6） 所以E（Y）=np=50.6=3， D（Y）=np（1p）=50.60.4=1.2【總結(jié)升華】對(duì)于兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可直接運(yùn)用公式計(jì)算舉一反三：【變式1】籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球三次得分的期望和方差?！敬鸢浮苛P球三次可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即罰球三次得分，所以.【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為X,求X的分布列,期望和方差.【答案】類型三、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用例6. 甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別記為X1和X2，它們的概率分布分別為X

18、1012X2012P0.1a0.4p0.20.2b （1）求a，b的值； （2）計(jì)算X1和X2的數(shù)學(xué)期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況 【思路點(diǎn)撥】 本題考查分布列的性質(zhì)、期望與方差的求法及對(duì)期望與方差的理解（1）可直接由分布列的性質(zhì)列式求解（2）利用定義求期望與方差【解析】 （1）由分布列的性質(zhì)知，0.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1，即a=0.5，b=0.6。（2）E（X1）=00.1+10.5+20.4=1.3，E（X2）=00.2+10.2+20.6=1.4，D（X1）=(01.3)20.1+(11.3)20.5+(21.3)20.4=0.41，D（X2）=(01.

19、4)20.2+(11.4)20.2+(21.4)20.6=0.64。 由上述計(jì)算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點(diǎn)，但乙的穩(wěn)定性不如甲 【總結(jié)升華】離散型隨機(jī)變量的期望與方差分別反映了隨機(jī)變量的取值的平均水平和波動(dòng)大小（或離散程度）舉一反三：【變式1】A、B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示：?jiǎn)柲囊慌_(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好. A機(jī)床B機(jī)床次品數(shù)10123次品數(shù)10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10【答案】 E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0

20、.44.它們的期望相同，再比較它們的方差.D1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）20.04=0.6064,D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）20.04+（3-0.44）20.10=0.9264.D1 D2 故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 【變式2】有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1 2001 4001 6001 800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1 0001 4001 8002 200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可