第05章不定積分

1、第四章不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 一、原函數(shù)與不定積分1、 原函數(shù)：若,則稱(chēng)為在上的一個(gè)原函數(shù).例如：，是的原函數(shù).、原函數(shù)性質(zhì)(1)原函數(shù)存在定理：設(shè),則存在上的原函數(shù).(2)若為在上的原函數(shù)，則都是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).(3)若和都是的原函數(shù)，則,.證明：.(4) 設(shè)為在上的原函數(shù),則在上全體原函數(shù)為.3、不定積分：函數(shù)在上的全體原函數(shù)稱(chēng)為在上的不定積分,記作.其中： (1)稱(chēng)為積分號(hào)； (2) 稱(chēng)為被積函數(shù)； (3)稱(chēng)為被積表達(dá)式. (4)稱(chēng)為積分變量.顯然,若為在上的原函數(shù),則 ,為任意常數(shù).例1 求解: 例2 求解: 例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜

2、率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解:設(shè)曲線為根據(jù)題意知 于是又 所求曲線方程為4、積分曲線：函數(shù)原函數(shù)的圖形稱(chēng)為的積分曲線. 注：的不定積分是一簇積分曲線.5、導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系(1) .(2) .(3) .(4) .可見(jiàn)：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.二、基本積分表1、問(wèn)題提出例： 啟示：能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論：既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.2、基本積分表 (為常數(shù))；證明： 三、不定積分的性質(zhì)1、.證明：,.2、.（是常數(shù),）.證明：,.例4 例5 .例6 . 例7 .例8 .例9 .例10 . 例11 . 例12 .第二節(jié) 換

3、元積分法 一、第一類(lèi)換元法1、問(wèn)題提出問(wèn)題：如何求 ？分析：,.解法：令, 由于,而 , .2、第一類(lèi)換元法定理：設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式.證明：,.例1 .例2 .例3 .例4 .例5 .例6 , .例7 .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13 . 其中：.例14 .例15 .注意到：.二、第二類(lèi)換元法1、問(wèn)題提出問(wèn)題：如何求 ？解法：如果令,那么 .2、第二類(lèi)換元法(1) 定理：設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式.其中是的反函數(shù).證明：.(2)三角代換一般規(guī)律：當(dāng)被積函數(shù)中含有 , 可令 ； , 可令 ； , 可令 .例16 . () 其中：

4、.例17 . () 其中：. 同時(shí)： . () 其中：.總之： . ()(3)倒代換當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換:.例18 三、基本積分表(續(xù))；.例19 .例20 .例21 .第三節(jié) 分部積分法一、分部積分法1、問(wèn)題提出由于,那么,從而.2、分部積分公式 或 證明：,.例1 .例2 .3、與的選擇要求(1) 易求出；(2) 比容易積出. 一般地： 被積函數(shù)為、與時(shí),選擇.例如：(1) .而(2). 顯然, 比更難積出. 例3 .例4 .例4 . 二、間接計(jì)算方法例5 .例6 .例7 , , .解：(1) ;(2) 由于 , 那么 , .例8 .第四節(jié) 有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分1、有

5、理函數(shù)的化簡(jiǎn)(1) 有理函數(shù)：, 其中,都是非負(fù)整數(shù),及都是實(shí)數(shù), 并且,.(2) 假定分子與分母之間沒(méi)有公因式 若, 稱(chēng)為真分式； 若, 稱(chēng)為假分式.(3) 利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如 2、真分式()的化簡(jiǎn)(可以證明)(1) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi), 多項(xiàng)式可分解為 其中 .(2) 例如 . . . ，那么 ??；取；取. .，即 .3、有理函數(shù)的積分(1) 有理函數(shù)積分可以化成一個(gè)多項(xiàng)式的積分和一個(gè)真分式的積分；(2) 真分式的積分可歸結(jié)為以下四種類(lèi)型的積分： ； , ； ；其中：，. , . (3) 定理：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).例1 .例2 .例3 .例4 .二、可化為有理函數(shù)的積分1、三角函數(shù)有理式的積分, 其中：為的有理式. 而 稱(chēng)為萬(wàn)能代換.證明：由于 , 那么 , 從而, 且,那么.例5 2、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)有理式的積分, 其