《固體物理》課件：ssp102

1、一、倒格矢一、倒格矢設(shè)正格子的基矢為設(shè)正格子的基矢為 ，正格子的坐標(biāo)面，正格子的坐標(biāo)面a1a2，a2a3，a3a1各有其對應(yīng)的晶面族，設(shè)各有其對應(yīng)的晶面族，設(shè)a1a2，a2a3，a3a1面的面間距分別為面的面間距分別為d3，d1，d2，作面，在，作面，在op上截取一段上截取一段op=b3使使，同樣對于，同樣對于a2a3面，有，對于面，有，對于a3a1面，面，有，得出的三個矢量有，得出的三個矢量 就是倒格就是倒格子空間的三個基矢。有了倒格子空間的三個基子空間的三個基矢。有了倒格子空間的三個基矢，就可以給出倒格子空間中任何一個倒格點矢，就可以給出倒格子空間中任何一個倒格點的位矢。的位矢。 1.6

2、倒格子空間倒格子空間1a2a3a 21aaop 332db112db222db1b2b3b P1a2a3a3b1b2b因為因為 所組成的平行六面體就是原胞，原所組成的平行六面體就是原胞，原胞的底面就是胞的底面就是a1a2面，高就是面，高就是a1a2 面的面間距面的面間距d3，正格子原胞的體積為正格子原胞的體積為所以所以又因為與的方向一致，所以又因為與的方向一致，所以 1a2a3a 213213)sin(aadaad213322aadb3b21aa )(2213aab )(2321aab)(2132aab)(2213aab可以證明，倒格矢與正格子空間的基矢滿足下列關(guān)系可以證明，倒格矢與正格子空間

3、的基矢滿足下列關(guān)系ijjiba22)(232111aaaba0)(213121aaaba如：如：把由三個倒格矢確定的平行六面體在三維空把由三個倒格矢確定的平行六面體在三維空間中平移，可得到由許多倒格點構(gòu)成的倒格子間中平移，可得到由許多倒格點構(gòu)成的倒格子空間，在倒格子空間中任一倒格點的位置可以空間，在倒格子空間中任一倒格點的位置可以用倒格矢表示：用倒格矢表示：（h1，h2，h3為整數(shù)）為整數(shù)）332211hKbhbhbh二、幾個關(guān)系二、幾個關(guān)系除除2 因子外，正格子原胞的體積和倒格子原胞的因子外，正格子原胞的體積和倒格子原胞的體積互為倒數(shù)。體積互為倒數(shù)。321131213323321133233

4、211332321)2()()()()2()()()()2()(2)(2()(2)(*aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbCBABCACBA)()()(.正格子晶面族正格子晶面族(h1h2h3)和倒格矢和倒格矢 正交。正交。 332211hKbhbhbh1a2a3aABCO1133OA,OChaha3311OCOACAhaha0)()(CA3311332211hahabhbhbhKh0)()(CB3322332211hahabhbhbhKh所以倒格矢所以倒格矢 與晶面族與晶面族(h1h2h3)正交。正交。332211hKbhbhbh3. 倒格矢倒格矢 的長度正比于晶面族的長度正比

5、于晶面族(h1h2h3)面間距的面間距的倒數(shù)。倒數(shù)。 ABC面是晶面族面是晶面族(h1h2h3)中最靠近原點的晶面，該中最靠近原點的晶面，該晶面族的面間距就等于原點到晶面族的面間距就等于原點到ABC面的距離，由于面的距離，由于該晶面族的法線可以用該晶面族的法線可以用 表示，表示， 所以由平面方程得：所以由平面方程得：hKhKhh13322111hh11K2K)(KK321321hhhhhhdhbhbhbhahad4. 由由對于該面上的格點對于該面上的格點代入得：代入得：321hhKKhhhdX2Kh321hhhhdKR332211alalalR1.7 晶體的對稱性、對稱操晶體的對稱性、對稱操作

6、作 一些晶體在外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性，如立方、一些晶體在外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性，如立方、六角等對稱。晶體的對稱性不僅表現(xiàn)在幾何外形上，六角等對稱。晶體的對稱性不僅表現(xiàn)在幾何外形上，而且也反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)上，如立方晶系而且也反映在晶體的宏觀物理性質(zhì)上，如立方晶系的介電常數(shù)張量，由于其立方對稱性，而可以看成的介電常數(shù)張量，由于其立方對稱性，而可以看成一個簡單的標(biāo)量。六角晶系具有雙折射現(xiàn)象也是晶一個簡單的標(biāo)量。六角晶系具有雙折射現(xiàn)象也是晶體宏觀物理性質(zhì)具有對稱性的體現(xiàn)。晶體所具有的體宏觀物理性質(zhì)具有對稱性的體現(xiàn)。晶體所具有的宏觀對稱性是不同的，如何描述晶體的對稱性？宏觀對稱性是不同的，如

7、何描述晶體的對稱性？ 先通過分析簡單幾何圖形的對稱性，得到先通過分析簡單幾何圖形的對稱性，得到描述對稱性的方法。描述對稱性的方法。 這些圖形的對稱性可以從圖形的旋轉(zhuǎn)中來分析。這些圖形的對稱性可以從圖形的旋轉(zhuǎn)中來分析。圓可以繞通過中心的軸轉(zhuǎn)任意角度而與自身圓可以繞通過中心的軸轉(zhuǎn)任意角度而與自身重合；重合；正方形可以繞中心軸轉(zhuǎn)正方形可以繞中心軸轉(zhuǎn) 而與自身重合；而與自身重合；等腰梯形和不規(guī)則四邊形則只有繞中心軸轉(zhuǎn)等腰梯形和不規(guī)則四邊形則只有繞中心軸轉(zhuǎn) 才能與自身重合。才能與自身重合。23,22 因此，考查圖形的旋轉(zhuǎn)可以具體的顯示出圓、正方形和等腰梯因此，考查圖形的旋轉(zhuǎn)可以具體的顯示出圓、正方形和等

8、腰梯形之間不同程度的對稱性，但還不足以區(qū)別等腰梯形和不規(guī)形之間不同程度的對稱性，但還不足以區(qū)別等腰梯形和不規(guī)則四邊形之間對稱性的差別。則四邊形之間對稱性的差別。 為了進一步顯示等腰梯形和不規(guī)則四邊形之間的差別，可以為了進一步顯示等腰梯形和不規(guī)則四邊形之間的差別，可以考查圖形按一條直線作考查圖形按一條直線作左右反射后發(fā)生的變化左右反射后發(fā)生的變化。 圓對任意直徑作反射不改變；圓對任意直徑作反射不改變； 正方形對于對邊中心連線和對角線作反射不改變；正方形對于對邊中心連線和對角線作反射不改變； 等腰梯形只有對兩底中心連線作反射不變；等腰梯形只有對兩底中心連線作反射不變； 不規(guī)則四邊形則不存在任何左右

9、對稱的線。不規(guī)則四邊形則不存在任何左右對稱的線。總之，總之，通過考查物體在一定幾何變換下的不變性可以概括物體通過考查物體在一定幾何變換下的不變性可以概括物體的對稱性。的對稱性。對稱操作對稱操作：一個物體在某一正交變換下不變，稱這個：一個物體在某一正交變換下不變，稱這個變換為物體的一個對稱操作。變換為物體的一個對稱操作。（正交變換：保持兩點間距離不變的變換。正交變換：保持兩點間距離不變的變換。）立方晶系的對稱操作：立方晶系的對稱操作： (1) 繞立方軸轉(zhuǎn)繞立方軸轉(zhuǎn) ，有，有3個軸，共個軸，共9個對稱操作；個對稱操作；(2)繞面對角線轉(zhuǎn)動繞面對角線轉(zhuǎn)動 ，有，有6個軸，共個軸，共6個對稱操作；個對

10、稱操作；(3)繞立方體對角線轉(zhuǎn)繞立方體對角線轉(zhuǎn) ，有，有4個軸，共個軸，共8個對稱個對稱操作；操作；(4) 不動；不動； 共共24個對稱操作。個對稱操作。每個操作加上中心反演又為每個操作加上中心反演又為24個對稱操作，共個對稱操作，共48個個對稱操作。對稱操作。一、對稱操作一、對稱操作23,234,32二、對稱操作的變換關(guān)系二、對稱操作的變換關(guān)系zyxaaaaaaaaazyx333231232221131211zzyxyyxxcossinsincoszyxzyx1000cossin0sincos在三維空間中，正交變換可以寫為在三維空間中，正交變換可以寫為1.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角角zzy

11、yxxzyxzyx100010001. 中心反演中心反演3. 對稱面，反射（反映）對稱面，反射（反映）如以如以xy面為對稱面面為對稱面zzyyxxzyxzyx100010001 一個孤立的幾何圖形，繞某一軸轉(zhuǎn)動一角度與一個孤立的幾何圖形，繞某一軸轉(zhuǎn)動一角度與自身重合，這個度數(shù)的大小由幾何圖形本身決定。自身重合，這個度數(shù)的大小由幾何圖形本身決定。 對于晶體中粒子的分布，通常用結(jié)晶學(xué)原胞來對于晶體中粒子的分布，通常用結(jié)晶學(xué)原胞來反映其對稱性，由于晶胞必須在三維空間中不間斷反映其對稱性，由于晶胞必須在三維空間中不間斷無空隙的緊密排列來構(gòu)成晶體，晶胞所具有的旋轉(zhuǎn)無空隙的緊密排列來構(gòu)成晶體，晶胞所具有的

12、旋轉(zhuǎn)角度就不是任意的，只有幾種可能。角度就不是任意的，只有幾種可能。晶體的周期性用一定的布喇菲格子晶體的周期性用一定的布喇菲格子來表示，晶體本身經(jīng)歷對稱操作后不變，表征其對稱性的布來表示，晶體本身經(jīng)歷對稱操作后不變，表征其對稱性的布喇菲格子經(jīng)過對稱操作后也是不變的。選擇垂直于轉(zhuǎn)軸的晶喇菲格子經(jīng)過對稱操作后也是不變的。選擇垂直于轉(zhuǎn)軸的晶面，在這個晶面內(nèi)可以選擇基矢面，在這個晶面內(nèi)可以選擇基矢 晶面上所有布喇菲格點可以表示為晶面上所有布喇菲格點可以表示為設(shè)位于原點的格點為設(shè)位于原點的格點為A，由它畫出的達到的格點為，由它畫出的達到的格點為B。 三、晶體轉(zhuǎn)軸的度數(shù)三、晶體轉(zhuǎn)軸的度數(shù)332211ala

13、lal1a2a 2211alal1a繞繞A轉(zhuǎn)動角，使轉(zhuǎn)動角，使B格點轉(zhuǎn)到格點轉(zhuǎn)到B位置，由于轉(zhuǎn)位置，由于轉(zhuǎn)動不改變格子，在動不改變格子，在B必定原來就有一格點，因為必定原來就有一格點，因為B與與A完全等價，所以轉(zhuǎn)動也可以繞完全等價，所以轉(zhuǎn)動也可以繞B進行，設(shè)繞進行，設(shè)繞B轉(zhuǎn)動角，這將使轉(zhuǎn)動角，這將使A轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到A位置，說明位置，說明A處原處原來也有一格點，由圖知與平行，屬來也有一格點，由圖知與平行，屬于同一晶列，所以于同一晶列，所以AB 1aABnAB)cos21 ()cos(2ABABABABABBA整數(shù)整數(shù) 因為必須在因為必須在-1到到1之間取值。之間取值。取值為取值為-1 -1/2 0 1

14、/2 1取值為取值為 cos21cos0 ,3,2,32,n23,2,32,2四、晶體的基本對稱操作四、晶體的基本對稱操作如果每次用到晶體的對稱性問題，都要列舉如果每次用到晶體的對稱性問題，都要列舉其可以旋轉(zhuǎn)的角度，顯然是很不方便的。定義其可以旋轉(zhuǎn)的角度，顯然是很不方便的。定義一種簡單的描述方法。一種簡單的描述方法。1. n度（重）旋轉(zhuǎn)對稱軸度（重）旋轉(zhuǎn)對稱軸如果晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度如果晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度及及其整數(shù)倍后自身重合，則稱該軸為其整數(shù)倍后自身重合，則稱該軸為n度（重）旋度（重）旋轉(zhuǎn)對稱軸轉(zhuǎn)對稱軸。n= 1, 2, 3, 4, 6. n度（重）旋轉(zhuǎn)反演軸度（重）旋轉(zhuǎn)反演軸如果

15、晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度如果晶體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度及其整數(shù)倍后再經(jīng)中心反演晶體能自身重及其整數(shù)倍后再經(jīng)中心反演晶體能自身重合，則稱該軸為合，則稱該軸為n度（重）旋轉(zhuǎn)反演軸。度（重）旋轉(zhuǎn)反演軸。n26, 4, 3, 2, 1n每一種稱為晶體的一個對稱素。每一種稱為晶體的一個對稱素。 晶體的對稱性都是由晶體的對稱性都是由10種對稱素構(gòu)成的，種對稱素構(gòu)成的，把它們組合起來得到把它們組合起來得到32個點群。個點群。6,4,3,2,16,4,3,2,1364,6 , 4 , 3 , 2 , 1mim21cos,但但 與和與和i的效果相同，的效果相同， 與和與和m的效果相同的效果相同.所以也有把這兩個去

16、掉。所以也有把這兩個去掉。共共8個對稱素。個對稱素。100010001100010001100010001i1000100011000100011000100011,.,DCBAEG GBA,GCAB群：一個物體全部對稱操作的集合。群：一個物體全部對稱操作的集合。其中的其中的E,A,B,C,D等都是群的元素，這些元素被等都是群的元素，這些元素被賦予一定的賦予一定的“乘法法則乘法法則”，滿足下列性質(zhì)，滿足下列性質(zhì)(1)集合內(nèi)的任意兩個元素的乘積仍為集合內(nèi)的集合內(nèi)的任意兩個元素的乘積仍為集合內(nèi)的元素。元素。若若 ，則，則這一性質(zhì)稱為這一性質(zhì)稱為“群的封閉性群的封閉性”(2) 存在單位元素存在單位元

17、素E，使得所有元素滿足，使得所有元素滿足AE=A五、群五、群(3) 對任意元素對任意元素A，存在逆元素，存在逆元素A-1，有，有AA-1=E(4) 元素間的元素間的“乘法運算乘法運算”滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律 A(BC)=(AB)C只包含一個旋轉(zhuǎn)軸的點群稱為回轉(zhuǎn)群。只包含一個旋轉(zhuǎn)軸的點群稱為回轉(zhuǎn)群。包含一個包含一個n重旋轉(zhuǎn)軸和重旋轉(zhuǎn)軸和n個與之垂直的二重軸的點群稱為雙個與之垂直的二重軸的點群稱為雙面群。面群。只包含一個旋轉(zhuǎn)反演軸的點群稱為只包含一個旋轉(zhuǎn)反演軸的點群稱為Sn群。群。立方對稱的立方對稱的48個對稱操作組成立方點群，用個對稱操作組成立方點群，用Oh標(biāo)記。標(biāo)記。Oh群中的群中的24個純轉(zhuǎn)動

18、操作組成個純轉(zhuǎn)動操作組成O群。群。正四面體的正四面體的24個對稱操作組成四面體點群，用個對稱操作組成四面體點群，用Td標(biāo)記。標(biāo)記。 Td群中群中12個純轉(zhuǎn)動操作組成個純轉(zhuǎn)動操作組成T群，群，T群加上中心反演組成群加上中心反演組成Th群。群。理論證明由理論證明由10種對稱素只能組成種對稱素只能組成32種不同的點群種不同的點群 晶體的宏觀對稱只有晶體的宏觀對稱只有32個不同類型個不同類型 nC回轉(zhuǎn)群回轉(zhuǎn)群熊夫利符號表示的熊夫利符號表示的32種宏觀對稱類型種宏觀對稱類型符號符號的意義對稱類型符號符號的意義對稱類型 數(shù)目數(shù)目Cn 具有具有n度旋轉(zhuǎn)對稱軸度旋轉(zhuǎn)對稱軸C1,C2,C3,C4,C6 5Ci 對稱心對稱心(i) Ci(S2) 1Cs 對稱面對稱面(m) Cs 1Cnh h表示除表示除n度軸外還有與軸度軸外還有與軸C2h,C3h,C4h,C6h 4垂直的水平對稱面垂直的水平對稱面Cnv v表示除表示除n度軸外還有通過度軸外還有通過C2v,C3v,C4v,C6v 4該軸的鉛直對稱面該軸的鉛直對稱面Dn 具有具有n度旋轉(zhuǎn)軸及度旋轉(zhuǎn)軸及n個與之個與之D2,D3,D4,D6 4垂直的垂直的2度旋轉(zhuǎn)軸度旋轉(zhuǎn)軸Dnh h