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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類(lèi))試題 序號(hào): 姓名: 學(xué)院: 第 考場(chǎng)專(zhuān)業(yè): 學(xué)號(hào): 考試日期: 2010年10月10日 題號(hào)一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分15156676877878 100得分注: 本卷共七頁(yè), 十二道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.得分評(píng)閱人 一、填空題(每題3分,共15分) 1、 . 2、= . 3、設(shè),且,則= . 4、微分方程滿(mǎn)足的特解是 .5、已知曲面上點(diǎn)處的切平面平行于平面,則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 . 專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)二、單項(xiàng)選擇題(每題3分,共15分) 得分評(píng)閱人 1、設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,則在處可導(dǎo)的一個(gè)充分條
2、件是( ) (A)存在. (B)存在. (C) 存在. (D) 存在.2、設(shè)在內(nèi),則函數(shù)( ) (A)在內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)單調(diào)增加. (B) 在內(nèi)單調(diào)減少,在內(nèi)也單調(diào)減少. (C) 在內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)單調(diào)減少. (D) 在內(nèi)單調(diào)增加,在內(nèi)也單調(diào)增加.3、 設(shè),則當(dāng)時(shí),( ) (A)與是等價(jià)無(wú)窮小. (B) 是比低階的無(wú)窮小. (C) 與是同階但非等價(jià)的無(wú)窮小. (D) 是比高階的無(wú)窮小.4、 已知,則( ) (A) 不存在,存在. (B) 都存在.(C) 存在,不存在. (D) 都不存在5、 設(shè)級(jí)數(shù)在處收斂,則此級(jí)數(shù)在處 ( ) (A) 條件收斂. (B) 絕對(duì)收斂. (C) 發(fā)散. (D) 收
3、斂性不確定. 得分評(píng)閱人 三、(本題滿(mǎn)分6分) 計(jì)算. 得分評(píng)閱人 四、(本題滿(mǎn)分6分) 計(jì)算. 得分評(píng)閱人 五、(本題滿(mǎn)分7分) 設(shè)二元函數(shù)是由方程所確定,求. 得分評(píng)閱人 六、(本題滿(mǎn)分6分) 求滿(mǎn)足方程的可微函數(shù). 得分評(píng)閱人 七、(本題滿(mǎn)分8分) 設(shè)在空氣中自由落下的冰雹均勻地融化,每秒融化千克,空氣阻力和冰雹速度成正比。若冰雹的初始質(zhì)量為千克,初速度為零,試求冰雹運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間的關(guān)系. 得分評(píng)閱人 八、(本題滿(mǎn)分7分) 設(shè)函數(shù),判別級(jí)數(shù)的斂散性. 得分評(píng)閱人 九、(本題滿(mǎn)分7分) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求證至少存在一點(diǎn)使得. 得分評(píng)閱人 十、(本題滿(mǎn)分8分) 求球面被平面
4、與所夾部分的面積. 得分評(píng)閱人 十一、(本題滿(mǎn)分7分)求,其中為常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的一段弧. 得分評(píng)閱人十二、(本題滿(mǎn)分8分) 注:科技學(xué)院考生只作第1題, 其他考生只作第2題。 1.計(jì)算,其中區(qū)域. 2.計(jì)算曲面積分,其中為上半球面的上側(cè),. 南昌大學(xué)第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(理工類(lèi))試題答案 一、1、3. 2、. 3、24 . 4、. 5、. 二、1、D. 2、D. 3、C. 4、A. 5、B.三、 解 令,則 =2原式=四、 解 當(dāng)時(shí),存在正整數(shù)使,因此,=五、解 由得.方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得 上述方程兩邊再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得將,代入得=0六、 解 令,則=原方程可化為兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ()再對(duì)求導(dǎo)得求解此微分方程得由()得,代入上式得因此七、解 在秒時(shí)刻,冰雹的質(zhì)量為,速度為,受阻力為,為比例系數(shù),根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得化簡(jiǎn)得解得,由得,于是八、解 ,令,則=,. 由于,因此,由收斂得收斂九、證 ,介于與之間 相加得,(1)不妨設(shè),由在內(nèi)連續(xù)得在上連續(xù),設(shè)在上的最大值和最小值分別為和,則,由介值定理得至少
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