概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題

1、哈工大 2009 年 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 試 題一、填空題（每題3分，共計(jì)15分）1若事件滿足，則_.2. 已知，則都不發(fā)生概率為 . 3設(shè)r. v的概率密度為，對進(jìn)行三次獨(dú)立重復(fù)觀察，用表示事件出現(xiàn)的次數(shù)，則_. 4已知一批零件長度，從中隨機(jī)地抽取9個零件，得樣本均值 則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 5設(shè)相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間的均勻分布，則 .二、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共計(jì)15分） 1設(shè)為兩個事件，且，則一定成立 （A）； （B）；（C）； （D） 【 B 】2設(shè)三個事件兩兩獨(dú)立，則相互獨(dú)立的充分必要條件是 （A）與獨(dú)立；（B）與獨(dú)立；（C）與獨(dú)立；（D）與獨(dú)立.【 C 】 3設(shè)r. v 獨(dú)

2、立同分布，則下列r. v中服從均勻分布的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 【 A 】 4設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為3的泊松分布，且，根據(jù)切比曉夫不等式有： （A）. （B）. （C）. （D）. 【 B 】 5設(shè)是總體的樣本，是樣本均值，是樣本方差，為樣本的二階中心矩，則 【 D 】 （A）. （B）. （C）是的無偏估計(jì). （D）. 三（10分）三個箱子，第一個箱子中有4個黑球，1個白球；第二個箱子中有3個黑球，3個白球；第三個箱子中有3個黑球，5個白球. 現(xiàn)隨機(jī)地取一個箱子，再從這個箱子中取出一個球，求該球是白球的概率？ 解：設(shè)“取出的一個球是白球”，再設(shè)“取到了第箱”，. 3

3、分則由全概率公式有 7分四、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度.解：（1） =，所以，相互獨(dú)立同分布，。利用卷積公式：的概率密度為，使被積函數(shù)不為0的積分區(qū)域： 6分 4分 （2）利用分布函數(shù)方法 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 6分 4分 五、（10分）已知隨機(jī)變量和分別服從和，且和的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，（1）求和（2）求解：（1） = = 5分 （2） 于是 , 故， 5分六、（14分）設(shè)總體的概率密度為，而為來自總體的簡單隨機(jī)樣本.求：（1）未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)；（2）討論上述估計(jì)的無偏性。解：(1)參數(shù)的矩估計(jì): ，所以參數(shù)的矩估計(jì)。 4分參數(shù)的極大似然估計(jì):似然函數(shù)為 求對數(shù) 求導(dǎo)數(shù)，令其為零，得似然方程：解似然方程得：，故參數(shù)的極大似然估計(jì)為。 8分 (2)因?yàn)?，所以是的無偏估計(jì)。 2分七（6分）設(shè)且獨(dú)立，求。解：（1），