極坐標(biāo)系與參數(shù)方程一輪復(fù)習(xí)你值得擁有

1、極坐標(biāo)系與參數(shù)方程 知識(shí)梳理1、 極坐標(biāo)1、極坐標(biāo)定義：是平面上一點(diǎn)，表示的長(zhǎng)度，是，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì),叫極徑，叫極角；一般地，。2、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式： 或，的象限由點(diǎn)所在象限確定.二、常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程1、圓的極坐標(biāo)方程（1）圓心在極點(diǎn)，半徑為的圓的極坐標(biāo)方程是 ；（2）圓心在極軸上的點(diǎn)處，且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程是 ；（3）圓心在點(diǎn)處且過(guò)極點(diǎn)的圓O的極坐標(biāo)方程是 。2、直線的極坐標(biāo)方程（1）過(guò)極點(diǎn)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程是 ；（2）過(guò)點(diǎn)，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 ；三、常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程直線圓橢圓雙曲線拋物線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為圓心在點(diǎn)，半徑為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸分別為中

2、心在原點(diǎn)，長(zhǎng)短軸分別為第一節(jié) 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮、平移變換【知識(shí)點(diǎn)】定義1：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。定義2： 在平面內(nèi)，將圖形F上所有點(diǎn)按照同一個(gè)方向，移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，稱為圖形F的平移。若以向量表示移動(dòng)的方向和長(zhǎng)度，我們也稱圖形F按向量平移在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圖形F上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，向量，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.則有：即有： ，在平面直角坐標(biāo)系中，由所確定的變換是一個(gè)平移變換。 因?yàn)槠揭谱儞Q僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小所以，在平移變換作用下，曲線上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變?！镜淅?】（2014年高考遼寧卷（文）將

3、圓x2y21上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得曲線C.(I)寫(xiě)出C的參數(shù)方程；（II）設(shè)直線l：2xy20與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程練習(xí)：1將點(diǎn)變換為點(diǎn)所用的伸縮變換公式是 （ ） A. B. C. D.2.在同一直角坐標(biāo)系中，將直線變成直線，則滿足圖象變換的伸縮變換公式是_.3.在平面直角坐標(biāo)系中將曲線按照變換得到的曲線的方程為_(kāi)。4.已知曲線.若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為_(kāi)，普通方程為_(kāi)?！镜淅?】把圓先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

4、，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圓，求圓的普通方程。練習(xí)：1. 點(diǎn)先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)是_。2. 拋物線先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_。3. 將曲線先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的曲線的方程是_。第二節(jié) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化【知識(shí)點(diǎn)】 或，的象限由點(diǎn)所在象限確定.練習(xí)一：把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 練習(xí)二：把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） ； 考點(diǎn)二：曲線的極坐標(biāo)

5、方程與直角坐標(biāo)方程的互化練習(xí)一：把下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；(7)直線: ； （8）射線: ；(9) : ；(10) : ；注意：極：直線或射線 直：（或（）或（）練習(xí)二：把下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程: （1）: ； （2）: ；（3）: ；（4）: ；（5）: ；（6）: ；高考再現(xiàn)（2013年高考遼寧卷（文）在直角坐標(biāo)系中以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓,直線的極坐標(biāo)方程分別(I)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo);(II)設(shè)為的圓心,為與交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線的參數(shù)方程為,求的值.2.（2014年高考廣

6、東卷（文）在極坐標(biāo)系中，曲線C1與C2的方程分別為與。以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)3（2014年高考陜西卷（文）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線 sin1的距離是_4. （2015年高考湖南卷（文）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為_(kāi). 第三節(jié) 參數(shù)方程與普通方程互化【知識(shí)點(diǎn)】常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程直線圓橢圓雙曲線拋物線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為圓心在點(diǎn)，半徑為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸分別為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)短軸分別為把參數(shù)方程化為普通方程的常用方法：（1）代入法：利用解

7、方程的技巧求出參數(shù)，然后代入消去參數(shù)；（2）三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)，如平方關(guān)系；（3）整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去。練習(xí)一：把下列曲線的直角坐標(biāo)（普通）方程化為參數(shù)坐標(biāo)方程（1）， ；（2）， ；（3）， ； （4）， ；（5）， ；（6）直線的傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，則： ； （7）直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則： ；練習(xí)二：把下列參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程（普通方程）（1）（：參數(shù)）， ；（2） ；（3）（：參數(shù)）， ；（4）（：參數(shù)）， ；（5）（：參數(shù)）， ；（6）（：參數(shù)）， ；（7）（：參數(shù)）， ；（8）（：參數(shù)）， ；高考再現(xiàn)1 （2013年高考廣東卷（文）已知曲

8、線的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線的參數(shù)方程_。 （2013年高考湖南（文11）在平面直角坐標(biāo)系中,若直線(s為參數(shù))和直線(t為參數(shù))平行,則常數(shù)a的值為_(kāi) （2013年高考陜西卷（文15）圓錐曲線 (t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_4. （2014年高考湖南卷（文）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為_(kāi)5（2013年高考課標(biāo)卷（文） 已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.()把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;()求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)().6（2014年高考新課標(biāo)卷2（文）在直角坐標(biāo)系xOy中，以

9、坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為，.(I)求C的參數(shù)方程；（II）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)7. （2015年高考廣東卷（文）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 第四節(jié) 極坐標(biāo)和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一：曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題常用參數(shù)方程和三角恒等變換的知識(shí)解決。步驟：（1）利用曲線的參數(shù)方程把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離；（3）利用輔助

10、角公式（其中），把第（2）步求出的距離的右邊化為（）的模式。（4）利用三角函數(shù)的有界性求出距離的最值?！镜淅?】 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為。（I）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。變式：若把曲線的參數(shù)方程改為，設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到的距離的最大值。練習(xí)：1（2014年高考新課標(biāo)卷1（文）已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(I)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程、直線l的普通方程；（II）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|

11、的最大值與最小值2. (2015年高考陜西卷（文）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為.(I)寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程；(II)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)二：標(biāo)準(zhǔn)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義【知識(shí)梳理】若（：參數(shù)）已是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，即，且和曲線(圓、橢圓、拋物線)交于兩點(diǎn)，則:把中的代入曲線的直角坐標(biāo)方程， 整理 ()，其中，； 為方程()的兩根（即兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為）,；由的幾何意義，得:公式1: 長(zhǎng)度之積: ； 公式2: 長(zhǎng)度之和:()；或()；公式3: 弦長(zhǎng)； 但若是和圓可不用此公式,而用更簡(jiǎn)單； 說(shuō)

12、明：上述公式中的兩條線段為所過(guò)的點(diǎn)分別和曲線兩交點(diǎn)的連線段 ； 公式4:線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)。【典例】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的值 .練習(xí)：1.已知過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求,；2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，交橢圓于兩點(diǎn)。如果點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，求直線的方程。3. （2014年高考江蘇卷（文）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)考

13、點(diǎn)三：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題求曲線的極坐標(biāo)方程的方法和步驟：建、設(shè)、限、代、化(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)是一曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；(4)證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程【典例】（2013年高考課標(biāo)卷（文）已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與,為的中點(diǎn).()求的軌跡的參數(shù)方程;()將到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離表示為的函數(shù),并判斷的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).練習(xí)：1.已知曲線的參數(shù)方程為，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線。（）求曲線的普通方程；（）若點(diǎn)A在曲線上，點(diǎn)B（3，0），當(dāng)點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程。 2.在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑。（）求圓的極坐標(biāo)方程；（）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。3.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，自極點(diǎn)作直線與曲線相交于點(diǎn)，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)滿足若點(diǎn)的軌跡為曲線，方程（為參數(shù)）表示的軌跡為曲線（）求曲線的極坐標(biāo)方程；（）若曲線與交于點(diǎn)、，求、兩點(diǎn)間的距離考點(diǎn)四：應(yīng)用的幾何意義表示兩點(diǎn)間的距離極坐標(biāo)系下的兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)，由余弦定理可得，特別地，當(dāng)時(shí)，【典例】(2015年高考新課標(biāo)