江西省研究生數(shù)學(xué)建模競賽題

1、雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計(jì) 采用鋼筋混凝土雙曲拋物面(馬鞍面)薄殼作為屋蓋, 具有利于排水、防止?jié)B漏、減輕自重、節(jié)約材料、受力性能較好、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點(diǎn), 可以用于廠房、商場、影劇院等民用建筑. 下面是一個單塊雙曲拋物面薄殼屋蓋及其制作過程的大致的示意圖 其數(shù)學(xué)表示由下面兩個曲面和以及平面 圍成的空間區(qū)域構(gòu)成.其中的參數(shù), 例如, 可以是 把直徑為6 mm(或5mm)預(yù)應(yīng)力鋼筋沿中斷面的拋物線 的臨近處從原點(diǎn)(0,0,0)往左右兩邊沿馬鞍面的兩族直母線配筋, 然后再澆注混凝土或樹脂. 示意圖見圖1. 注意: 做本題時有一些工程術(shù)語我們無需詳細(xì)了解. 圖1 馬鞍面薄殼配筋示意圖a

2、) 配筋特征圖; b) 預(yù)應(yīng)力鋼筋投影在x y平面上的布置圖; c) 預(yù)應(yīng)力鋼筋布置側(cè)面圖.圖中, 1. 幾何軸線; 2. 預(yù)應(yīng)力鋼筋; 3. 受壓鋼筋; 4. 鋼筋網(wǎng); 5. 構(gòu)造鋼筋. : 預(yù)應(yīng)力鋼筋分布寬度;: 通過原點(diǎn)的直母線位置.圖2 張拉臺座及胎模示意圖1. 鋼橫梁(錨固面); 2. 兩端混凝土邊梁; 3. 中間混凝土邊梁; 4. 邊梁之間的聯(lián)接法蘭; 5. 邊梁聯(lián)接處錨固在地里; 6. 角鋼拉條; 7. 素混凝土墊層; 8. 預(yù)應(yīng)力鋼筋圖3 馬鞍面薄殼作為廠房屋蓋的示意圖本題用到的參數(shù)、含義以及數(shù)值舉例：為板寬之半 , 稱為翼緣寬度; .為屋蓋長度之半 , 稱為挑檐長度; .為屋

3、蓋的垂直厚度, . 預(yù)應(yīng)力鋼筋的直徑為.1. 就上述單個的雙曲拋物面薄殼屋蓋的配筋問題，用數(shù)學(xué)建模的方法 解決以下問題：1.1. 把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線. 利用雙曲拋物面是直紋面的特點(diǎn), 把預(yù)應(yīng) 力鋼筋安置在兩族直母線處, 即在跨中端面處拋物線 上的點(diǎn) 處安放兩族直母線鋼筋. 并固定(錨固)在過原點(diǎn) 的直母線與平面 ()相交的點(diǎn)處與該直母線垂直 的錨固面上. 請回答: a. 能安排多少根過點(diǎn)的直母線鋼筋. 寫出這些空間直線的方程, 并 圖示之. b. 寫出錨固面的方程, 并寫出直母線和錨固面的交點(diǎn)的表示式.c. 求出直母線之間的交點(diǎn)的表示式.d. 求出直母線和錨固面的法線之間的夾角,

4、以便在錨固面上適當(dāng)打孔以固定直母線 鋼筋. e. 根據(jù)前面的數(shù)據(jù)以及, 具體計(jì)算a d.f. 編制一個可以包括不等距安置直母線鋼筋的通用程序(軟件). 1.2 如果圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能簡化為直線, 請回答a. 圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的中心軸線應(yīng)該安置在臨近的哪些點(diǎn)處. 寫出這些 中心軸線的方程, 并圖示之. b. 寫出這些中心軸線和錨固面的交點(diǎn)的表示式.c. 要求這些圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能相交. 它們的中心軸線在x-y平面上的垂直投影是可以相交的, 寫出交點(diǎn)的表示式. 計(jì)算沿這些交點(diǎn)垂直方向的兩根圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離, 要盡可能小(最好為零). d. 編制一個通用的程序(軟件).2. 雙曲拋物面薄殼屋蓋的造型設(shè)計(jì). 由于制作技術(shù)的飛速發(fā)展, 我們可以暫且不考慮制作問題. 請利用幾種雙