淺談分塊矩陣的性質及應用

1、淺談分塊矩陣的性質及應用 摘要：本文主要談及分快矩陣的思想在線性代數(shù)的證明。解線性方程組，矩陣得知逆及矩陣的逆，和初等變換中的應用。關鍵詞：分塊矩陣；線性方程組；矩陣的秩及矩陣的逆；初等變換On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of ot

2、her relative matrix rank and elementary matrix. Key words: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩陣得分快是處理問題的一重要方法，把一個告誡矩陣分成若干個地界矩陣，在運算中把低階矩陣當作數(shù)一樣處理，這樣高階矩陣就化作低階矩陣，長能使我們迅速接近問題的本質，從而達到解決問題的目的，使解題更簡潔，思路更開闊，因此本文主要談及分塊矩陣再求行列式的值，解線性方程組，求矩陣的秩及逆等方面的應用。1. 預備知識：1.1分塊矩陣的定義：將分塊矩陣A用若干

3、條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為 A的子塊，一子塊為元素的形式上的矩陣成為分塊矩陣。1.2分塊矩陣的運算：分塊矩陣的加法：設分塊矩陣 A與 B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的得分塊法，有A=，其中與的行數(shù)相同，列數(shù)相同，那么A+B=分塊矩陣與數(shù)的乘法：A=,設A為矩陣，B為矩陣，分塊成 其中，的列數(shù)分別等于，的行數(shù)，那么，其中(i=1s；j=1，r)設，則2. 分塊矩陣的性質及應用：2.1 分塊矩陣的性質：設A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，即A=，其中（i=1，2，s）都是方陣，那么稱A為分塊對角矩陣，分塊矩陣

4、的行列式一般據(jù)有下列性質，由此性質可知，若0()則，并有例：設A= 求解：=，其中，所以2.2 將分塊矩陣與初等變換結合在矩陣運算及球逆矩陣中具有重要作用：現(xiàn)將某個單位矩陣如下進行分塊：對其進行行（列）對換等作用，可得到如下類型一些矩陣：用這些矩陣左乘或右乘任一個分塊矩陣，只要分塊乘法能夠進行，其結果就是對它進行相應的變換，如，適當選擇P可使=0，例如A可逆時，選則，于是上式的右端可成為，其在求逆矩陣方面是非常有用的，例1：，A D可逆，求解：由及易知=例2：，設可逆，D可逆，試證存在，并求解：由，而又端仍可逆故存在再由上題例1可知=23分塊矩陣在證明關于矩陣乘積的秩的定理中的作用：例：設A是

5、數(shù)域P上矩陣，B是數(shù)域P上矩陣，于是秩（）秩（），秩（），即乘積的秩不超過各因子的秩證明：只需證明秩秩，同時秩秩，分別證明這兩個不等式設，令表示的行向量（即對進行分塊）表示AB的行向量，由計算可知，的第個分量和的第的分量都等于，因而即矩陣的行向量組可經(jīng)由B的行向量組線性表示出所以的秩不能超過B的秩，即秩秩同樣，令表示的列向量，表示的列向量，由計算可知，這個式子表明，矩陣的列向量組可由矩陣的列向量組線性表示出，因而前者的秩不僅可能超過后者的秩，這就是說秩秩（注：在此證明中用分塊矩陣的方法，即這就是的一種分塊，按分塊相乘就有很容易看出的行向量是的行向量的線性組合）.分塊矩陣在線性方程組方面的應用對于線性方程組記，為系數(shù)矩陣，為未知向量，為常數(shù)項向量，為增廣矩陣按分塊矩陣記法可記為或此方程也可記為，把系數(shù)矩陣按行分成塊，則可記做 把系數(shù)矩陣按列分成塊，則與相乘的對應按行分成塊，記作 ，即，其都為線性方程組的各種變形形式，在求解過程中變形以更方便快捷例：利用分塊矩陣證明克拉默法則：對于個變量個方程線性方程組如果他的系數(shù)行列式，則它有唯一解，即證明把方程組改寫成矩陣方程，這里為階矩陣，因，故存在，令，有表明是方程組的解向量，由 ，有 ，即，根據(jù)逆矩陣的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩陣公式，有即即結束語：矩陣得分快不算是