微專題16應(yīng)用導數(shù)求參數(shù)的值或范圍-2020高考數(shù)學(理)二輪復習微專題聚焦

1、微專題16應(yīng)用導數(shù)求參數(shù)的值或取值范圍2020高考數(shù)學(理)二輪復習微專題聚焦【考情分析】利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是每年高考的必考內(nèi)容，主要考查已知函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)的值或取值范圍 .試題多以解答題形式呈現(xiàn)，有時出現(xiàn)在選擇 題或填空題中，難度較大.對已知函數(shù)在某個區(qū)間上的包成立問題、存在性問題，求參數(shù)的取值 范圍，題目以解答題形式呈現(xiàn)，屬難題.重點考查考生函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，數(shù)學抽 象及數(shù)學運算的學科核心素養(yǎng).考點一已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【典型例題】【例11已知函數(shù)f(x) ex x2 2ax.若a 1,求曲線y f (x)在點(1, f(1)處的切

2、線方程；若f(x)在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當 a 1 時，f(x) ex x2 2x , f'(x) ex 2x 2 , f '(1)=e,f(1)=e+1, 所求切線方程為y (e 1) e(x 1),即ex-y+1=0.f'(x) ex 2x 2a, = f(x)在R上單調(diào)遞增，f'(x) 0在R上包成立，xa x久在R上包成立. 2xx令 g(x) x 2，則 g(x) 1 ,令 g'(x)=0，得 x=ln 2,22.在(，ln2)上，g'(x) 0,在(ln2,)上，g'(x) 0, ，- g(x)在(

3、，ln 2)上單調(diào)遞增，在(In 2,)上單調(diào)遞減， g(x)maX g(ln 2) ln2 1, .a ln 2 1,實數(shù)a的取值范圍為ln 2 1,).【方法歸納 提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路：由函數(shù)在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增(減)可知f ' (x) >0(f z4(x)1用(0)b上包成立列出不等式(2)利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解包成立問題.對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使f' (X)整個區(qū)間包等于0君f' (X)等于0,則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有f' (x尸則參數(shù)

4、可取這個值【類比訓練】已知函數(shù)f x xlnx 1mx2 x m R . 2(1)若函數(shù)f x在0,上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)略.【解析】(1)由函數(shù)f x在0, 上是減函數(shù)，知f x &0何成立,xlnx12-mx x2f x Inx mx .x 00恒成立可知Inx mx0何成立，則m業(yè) ， x max、幾 lnx1 Inx設(shè)x 一，則 x 2,xx由 x 0 x 0,e ,x 0 x e知,函數(shù) x在0,e上遞增，在e,上遞減,max考點二已知函數(shù)的極值點情況，求參數(shù)的值或取值范圍【典型例題】【例2】設(shè)函數(shù)f (x) ln x 1ax2 bx.2(1)若x 1是f(x

5、)的極大值點，求a的取值范圍；(2)略.【解析】(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0,),則導數(shù)為f'(x) - ax x(ax 1)(x 1)x由 f (1) 0 ,得 b 1 a,1f '(x) - ax a 1 x若 a 0 ,由 f '(x) 0 ,得 x 1.當0 x 1時，f'(x) 0 ,止匕時f(x)單調(diào)遞增;當x 1時，f'(x) 0 ,止匕時f(x)單調(diào)遞減.所以x 1是f (x)的極大值點1若 a 0 ,由 f '(x) 0 ,得 x 1 ,或 x -.a因為x 1是f (x)的極大值點，所以1 1,解得1 a 0a綜合

6、：a的取值范圍是a 1【方法歸納 提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化與化歸思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算掌握已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的 2個要領(lǐng)：(1)列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解).當x 0時，f(x)處一空 x(2)驗證:因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必 須驗證根的合理性.【類比訓練】已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x)的定義域為(e為自然對數(shù)的底數(shù)).1(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a 1) (a 0)上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍;3(2)略.【解析】當x>0時，f (x)f( x)ln(ex)x1 In xx1

7、In x-2-, xx (1 In x) 1(1)當 x>0 時，有 f'(x) -x2f (x) 0 In x 0x0 x 1 , f (x) 0 In x 0 x 1?所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減, 故函數(shù)“*)在乂 1處取得唯一的極值.1 由題思a 0,且a 1 a -,32 解得所求實數(shù)a的取值范圍為(-,1).3考點三已知不等式包成立，求參數(shù)的取值范圍【必備知識】不等式包成立問題中的常用結(jié)論(1) f(x) a恒成立？ f(x)min a,(2)f(x) b 恒成立？ f(x)max b,(3) f(x)g(x)恒成立，構(gòu)造 F(x) f(x

8、) g(x),則 F(x)min 0, xi M, x2 N, f(xi) g(x2)? f(xi)min gdhax.【典型例題】【例3】已知函數(shù)f x lnx ax a R(1)當a 1時，求函數(shù)f x的圖像在點r,f e處的切線方程.1 ,若對于任意x 0, f x ax 2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當a 1時，f x 1nx x.一一，1一，1f e 1ne e ef x 1 f e 1.xe111函數(shù)f x的圖像在點(e，f e )處的切線方程為y 1 e - 1xe 即-1xy0. ee，一 一、._11(2)對于任意x0, fx ax2,恒成立，可轉(zhuǎn)化為1nx 2

9、ax -0包成立.1 1一一令 g x1n x2ax一貝gx-2a x 02 x1右g x1nx2ax20恒成立，則只需滿足g x 0即可.當2a 0,即a 0時，g x 0恒成立g x在(0,)上單調(diào)遞增.1Qg 1 2a 2 0 ,當 x 1,)時，g x 0 ,當a 0時，不滿足條件.1 1當2a 0,即a 0時，令g x 0 即2a 0,解得x 一. x2a,1._,1.當 x 0,一 時，g x 。；當 x , 時，g x 0.1. 1.、，、一 .gx在院上單調(diào)遞增，在(a)上單調(diào)遞減.g xmax g2aIn12a令 g x maxO,即喝3 %解得a12,e .1 ,一一ax

10、2何成立.一 1 一 一 ，、故a 丁時，滿足對于任意x O2 .e綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為看【方法歸納提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.不等式包成立問題解題策略：(分離參數(shù)法)：若f(x)或g(x) W，晅成立，只需滿足f(x)ming(x)max<a!P可,利用導數(shù)方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,從而問題得解.當參數(shù)不宜進行分離時，還可直接建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解，例如，要使不等式f(x) 0 包成立，可求得f (x)的最小值h(a),令h(a) 0即可求出a的取值范圍.【類比訓練11已知函數(shù)f xxex, g x 2ax In x

11、,a R .(1)求f x單調(diào)區(qū)間;(2)若f x g x在1,上恒成立，求a的取值范圍.【解析】(1) f x ex x 1由 f x 0,得 x 1,由 f x 0,得 x ,1f x分別在區(qū)間 1, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間,1上單調(diào)遞減(2)令 h x g xf x 2a lnx x xex,x 1,x 2a由1知f xxex在1,上單調(diào)遞增，xex ee“當 2a e,即a 一時，2a xe 0,2上單調(diào)遞減，h xmaxh 1 2a e令 h X max0,得a2a e,即a e時，存在X01, ，使2a e“ 0當 x 1,Xo 時，h x 0;當 xXo,時，h x 0 h x在x1

12、,x°上單調(diào)遞增，在xx°,上單調(diào)遞減；h(x)max h(x0) 2a(ln x° x0) xpe" a(2ln2a 1)e a , ; 2ln 2a 1 0 2；h(x)max h(x0) 0不能包成立綜上：a , e 22【類比訓練2已知函數(shù)f(x) axlnx bx ax。(1)曲線y f(x)在點(1, f (1)處的切線方程為x y 1 0,求a, b的值；2(2)若 a 0, b 1時，X,& (1,e)都有 .(x1) f(x2)l 3,求 a 的取值范圍. 2x1 x2【解析】(1)由題知 f '(x)a(1In x)

13、2bxa a In x2bx, f '(1) 2b 1所以b1，又有f (1) ba3 ,所以a1 ,即a1,b12221(2)當 a 0,b 時，f'(x) a In x x 0 2f (x)在(1,e)上單調(diào)遞減不妨設(shè)Xx2,則f(x)f(xz),原不等式即為 住治)3x2 X即 f(x1) f (x2) 3x2 3%即 f(x1) 3x1f(x2) 3x2令g(x) f (x) 3x ,則g(x)在(1,e)上為單調(diào)遞增函數(shù)所以有g(shù) '(x) f '(x) 3 aln x x 3 0在(1,e)上包成立3 .3In x - 1a 心,x (1,e),令 h

14、(x) :,x (1e),h'(x) In xIn x(Inx)人313x3令(x) lnx 1, '(x) 0xx x x所以(x)在(1,e)單調(diào)遞減，(x)(e) 3 , h'(x) 0, h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，eh(x) h(e) e 3,所以 a e 3綜上，e 3 a 0.考點四探索存在性問題，求參數(shù)的取值范圍【典型例題】【例4】已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.若f(x)在(-8,+9單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，試說明理由.【解析】(1)f'(

15、x)=3xx1M ,x2N , f (x1) x1M ,x2N , f (x1) x1M ,x2N , f (x1)-a,要使f(x)在(-00,+單調(diào)遞增，只需3x2-a>0(-oo,+9恒成立，即a03x在(-°°,+ 00t包成立，a<0.因此當f(x)在(-8,十二江單調(diào)遞增時,a的取值范圍是(-oo,0.存在.若f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，則對于任意x (-1,1),不等式f'(x)=3x2-a0 0叵成立，即 a>3x,X xC (-1,1)時,3x2v3, ；a3,存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，實數(shù)a的取值

16、范圍是3,+ °°).【方法歸納提煉素養(yǎng)】數(shù)學思想是函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想，核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.解決存在性問題常見的解題策略:g(x2)? f(x1)ming (x2 )min ；g(x2)? f(x1)max g(x2)min ；g(x2)? f(x1)max g(x2)max .【類比訓練】已知函數(shù)f xaIn x x 1 a a R(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間;1 x(2)右存在x 1 ,使f x x 成立，求整數(shù)a的取小值.x2【解析】(1)由題意可知，x 0, f x 141 x 2x a , x xx方程x2 x a 0對應(yīng)白1 4a,1 .當 14a 0,

17、即 a 時，當 x 0, 時，f x 0,4f x在0, 上單調(diào)遞減；當0 a 1時，方程x2 x a 0的兩根為1小4a ,421. 1 4a 1.1 4a且01L，此時，f x在1 1 4a,1 / 4a上f x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞增, 22在 0,114a , 14a,上f x 0 ,函數(shù) f x 單調(diào)遞減;22當a 。時，32a 0, lO1 0, 22此時當x 0,lJlZ , f x 0, f x單調(diào)遞增，2當x 1 1-色，時，f x 0, f x 單調(diào)遞減;2綜上：當a 0時,x 0,T ' f x單調(diào)遞增，當x 1 14a,時，f x 單調(diào)遞減；2當0 a 1時，f

18、 x在1 1 4a ,14a上單調(diào)遞增,42222在0,11 4a上單調(diào)遞減;一 1 .當a -時，f x在0,上單調(diào)遞減；4(2)原式等價于 x 1 a xlnx 2x 1即存在x 1,使a xlnx 2x 1成立. x 1xln x 2x 1設(shè) g x , x 1 ,貝U g xx 1設(shè) h x x In x 2 ,1x1則 h x 1 -0, . h x 在 1, x x又 h 33 1n3 2 11n3 0 , h 4x ln x 2x 1上單調(diào)遞增.ln4 2 2 2ln2根據(jù)零點存在性定理，可知h x在1,上有唯一零點，設(shè)該零點為x0,1n % 2 0 ,即 2 1n x0,xo

19、1 ,3,4 , a Z ,a的最小值為5.做高考真題 提能力素養(yǎng)【選擇題組】1、2019天津卷已知a R,設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a,x &方關(guān)于x的不等式f(x) R上恒成 x - alnx, x > 1.立，則a的取值范圍為()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e【答案】C【解析】由題中選項可知a>0.當 0&a&時，若 x& 1則 f(x)=(x-a)2+2a-a2,可知 f(x)min=f(a)=2a-a?,因為f(x)恒成立，所以f(x)min = 2a- a2>0,解得0&a&1;0 & a &

20、amp; 1,若 x>1,則 f(x)=x-aln x,f(x)=1 -%因為 0Wa01,x>1f 以 f(x)=1 -a>0,所以 f(x)=x-aln x 在(1,+ 091t單調(diào)遞增，所以 f(x)>1-aln 1=1>0. x所以當0& a&時,f(x) 加R上包成立.X03,4 g x min由題意可知h X0X0Xo ln Xo 2xo 1Xo 1當 a>1 時，若 x&1則 f(x)=(x-ay+2a-a2在(-°°,1 止單調(diào)遞減，所以 f(x) min=f(1)=1>0.若 x>1,

21、則 f(x)=x-aln x,f(x)=1 -a,令 f(x)=0，得 x=a.x當 x C (1,a)時,f(x)<0,所以 f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減;當 x C (a,+ ,f(x)>0, 所以f(x)在(a,+江單調(diào)遞增.所以當 x>1 時,f(x)min=f(a)=a-aln a,若 f(x)>恒成立，則 f(x)min=a-aln a 沖0,ln a 0解得 1<a&e.綜上可知，若f(x)方住r上恒成立，則0< aw故選C.【非選擇題組】1、2019北京卷設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a=;若f(

22、x)是R上的 增函數(shù)，則a的取值范圍是.【答案】-1 (-00,0【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，且f(x)的定義域為R,所以f(0)=0,所以e°+ae-0=0，解得a=-1.因為f(x)在R上為增函數(shù)，所以f(x)=ex4>0在R上包成立，即a02x在R上包成立， e又因為e2x>0,所以a<0,P a的取值范圍為(心可2、2019全國卷出已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.討論f(x)的單調(diào)性.(2)是否存在a,b,使彳3f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1*存在，求出a,b的所有值;若不 存在，說明理由.【解析】(1)f(x)=6x 2-2ax=2

23、x(3x-a).令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a.3若 a>0則當 x(-oo,0)j(a，+ o)時,f(x)>0,當 x C (0, 9)時,f(x)<0, 33故胞)在(q,0)(a,+呼單調(diào)遞增，在(0,勺單調(diào)遞減； 33若a=0,f(x)在(-°°,+811調(diào)遞增；若 a<0則當 x (-00 3) u(0,+ 刑,f(x)>0,當 xC。,0)時,f(x)<0,故胞)在(-8,3) ,(0,+單調(diào)遞增，在(| ,0)單調(diào)遞減.(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.(i)當a&CW,由知,f(x)在0,1單調(diào)遞增，所以

24、f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當 b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)當a>3B寸，由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1的最大值為f(0)=b,最小值為 f=2-a+b.此時a,b滿足題設(shè)條件當且僅當 2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)當0<a<3時，由(1)知,f(x)在區(qū)間0,1的最小值為f(；) =：+b,最大值為b或2-a+b. 32 7若-27+b=-1,b=1j® a=33v2,與 0<a<3 矛盾.a3右-

25、2y+b=-1,2-a+b=1則 a=3v3或 a=-3v3或 a=0,與 0<a<3 矛盾.綜上，當且僅當a=0,b=-1或a=4,b=1時,f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1.3、2019浙江卷已知實數(shù)aw豉函數(shù)f(x)=aln x+M + x,x>0.當a=-3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)對任意x C J,+ o)均有f(x)高求a的取值范圍. e2a注:e=2.718 28 為自然對數(shù)的底數(shù).【解析】(1)當 a=-4時,f(x)=-jn x+M + x,x>0.f(x)=-34x1_(，1+x -2)(2 V1+x+1)2 v1+x4x v

26、1+x所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+ 8).由 f(1) 2a，得 0<a=當0<2弓時,f(x) W等價于W-冬詈-2ln x >0.A1.令t=-,則t >6. a設(shè) g(t)=t2森-2tM + x-2ln x,t至，則 g(t)=W(t - V1+ 1)-咚-2ln x.x，R(i)當 xC 1,+ 等時,，1+ JB,則 g(t) > g<2)=8vx-4Vl + x-2ln x. 7x記 p(x)=4由-2v2M + x-ln x,x_(x-1)1+M( vx+2 -1)xv+1 ("+1)(遙+1

27、+ v2x ).2v21 2 vx vx+1 -v2x- vx+1p(x尸 ”F+1 -x=xvx+1故x變化時p'(x),p(x)的變化情況如下x171(7,1)1(1,+ °°)p'(x)-0+p(x)p(7)單調(diào)遞減極小值p(1)單調(diào)遞增所以,p(x) >p(1)=0.因此,g(t) >g(2)=2p(x) >0. 當 xe J, 1)時,g(t) (Mi + 1) =-21nxjx+1). ex/x令 q(x)=2vxin x+(x+1),x 6 昌,1則 q'(x)=+2-+1>0, e 7A/x故q(x)在，J上單

28、調(diào)遞增，所以q(x) 心.,、/日 / 1 2 V7 / 1 2 V7 c由 4,q(7) =-p(y) <-p(1)=0.所以,q(x)<0.因此,g(t) " 1 + 1)=-造>0. x'vx由(i)(ii)知對任意 x C ；,+o),te 2v2,+°°),g g與0任意 x C -2,+o),土勻有 f(x) 提. ee2a綜上所述，所求a的取值范圍是(0, 高.4、2018 北京卷設(shè)函數(shù) f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行，求a;(2)若f(x)在x=

29、2處取得極小值，求a的取值范圍.【解析】(1)因為 f(x)=ax 2-(4a+1)x+4a+3ex,所以 f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex,f(1)=(1-a)e.由題設(shè)知 f(1)=0，即(1-a)e=0,1單彳a a=1,此時 f(1)=3e w0,所以a的值為1.(2)由(1)得 f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex.若 a>2,則當 xC(：,2)時,f(x)<0;當 x (2,+ o< ,f(x)>0.所以f(x)在x=2處取得極小值.11若 a弓則當 xC (0,2)時,x-2<0,ax-1 號x-1<0,所以 f(x)>0, 所以2不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是12，+5、2018 全國卷田已知函數(shù) f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.若 a=0證明:當-1<x<0 時,f(x)<