圓與函數(shù)整合中考題

1、2012濰坊如圖，三角形 ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點 A在圓外，AB AC分別交圓于E、D兩 點，連結(jié)EG BD.(1)求證：A AB3 AACB(2)若A BEC與A BDC勺面積相等，試判定三角形ABC的形狀.2012威海20.如圖，AB為。的直徑，弦 CDXAB ,垂為點E。K為Ac上一動點，AK、DC的延長線 相交于點F,連接CK、KD。(1)求證：/ AKD= / CKF;(2)若，AB=10 , CD=6,求 tan/CKF 的值?！敬鸢浮拷猓?1)證明：連接AD。.一/CKF是圓內(nèi)接四邊形 ADCK的外角,/ CKF= / ADC 。. AB 為。的直徑，弦 cdxab,

2、Ad Ac 。/ ADC= / AKD 。/ AKD = / CKF 。(2)連接OD。.AB為。的直徑， AB=10OD=5。,.弦 CD，AB, CD=6, DE=3o在 RtODC 中，OE JOD2DE 4。. . AE=9。_ AE 9 _在 RtAADE 中，tan ADE 3。 DE 3 Z CKF= Z ADE , tan CKF 3。11. （2011蕪湖）如圖，已知直線PA交。O于A、B兩點，AE是。的直徑. 上一點，且 AC平分/ PAE,過 C作CDLPA,垂足為 D.點C為。O求證：CD為。的切線；(2)若DC + DA = 6,。的直徑為10,求AB的長度.解(1)

3、證明：連接OC,.點 C 在。O 上，OA=OC, ./ OCA= ZOAC. . CDXPA,CDA= 90°, ./ CAD+ / DCA=90°. AC 平分 / PAE, ./ DAC= / CAO./ DCO = / DCA + / ACO = / DCA + / CAO = / DCA + / DAC = 90°.又點C在。O上，OC為。的半徑， .CD為。O的切線.(2)解：過O作OFLAB,垂足為F,/ OCD = / CDA = / OFD = 90°, 四邊形OCDF為矩形，.OC=FD , OF = CD. . DC + DA=6,

4、設(shè) AD=x,貝U OF = CD = 6 x. .OO 的直徑為 10, .-.DF = OC=5,AF=5-x.在RtAAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5 x)2+(6 x)2=25,化簡彳導(dǎo):x2-11x+18=0,解得x=2或x= 9.由 AD<DF ,知 0<x<5,故 x= 2. . AD=2, AF = 5-2= 3.OFLAB,由垂徑定理知，F(xiàn)為AB的中點， AB=2AF=6.2012大連26.如圖15,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-J3,0)、B(J3,0)、C(0,3)三點，線段BC與拋物線 的對稱軸l相交于點D。設(shè)拋物線的頂點為

5、P,連接PA、AD、DP,線段AD與y軸相交 于點E。(1)求該拋物線的解析式；(2)在平面直角坐標系中是否存在點Q,使以Q、C、D為頂點的三角形與 ADP全等？若存在，求出點 Q的坐標，若不存在，說明理由；(3)將/ CED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，邊 EC旋轉(zhuǎn)后與線段 BC相交于點M,邊ED旋轉(zhuǎn)后與 對稱軸l相交于點N,連接PM、DN,若PM=2DN ,求點N的坐標(直接寫出結(jié)果)。1 22.3 八26、(1) y x x 33 3(2) Qi(0,7)；Q2(3.3,4)03(3 2);Q4( 2.3,1)(3)如圖，做EFL于點F,由題意易證明 PMD EMD , CME DNEPM=EM=E

6、N= 2DN ,由題意 DF= 1, EF= V3 , NF= 1-DN在RtAEFN中_ 2 2_ 2EN EF NF22 , 4DN2 3 1 DN 解得 DNP3.c 13 17137.13 GN 2 -. NH,3,-)333(1)求拋物線解析式及頂點坐標；(2)設(shè)點E ( x, y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形.求平行四邊形 OEAF的面積S與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；當平行四邊形 OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形 OEAF是否為菱形？是否存在點E,使平行四邊形 OEAF為正方形？若存在，求出點 E的坐標；若

7、不存 在，請說明理由.12. （2011某江）在如圖的直角坐標系中，已知點 A（1,0）、B（0, 2）,將線段AB繞點A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°至AC.求點C的坐標；1 C（2）若拋物線y= 2X2+ax+2經(jīng)過點C.求拋物線的解析式；在拋物線上是否存在點P（點C除外）使 ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點 P的坐標；若不存在，請說明理由.解過點C作CDx軸，垂足為D,在4ACD 和 ABAO 中，有 / CAD + / BAO= 90 ； / ABO+ / BAO= 90 ； . . / CAD = /ABO.又/ADC = /AOB=90°,

8、 CA=AB, /.A ACDA BAO,，CD = OA=1, AD = BO11- 1=- 2X 32+ 3a+2,解得 a = 2.1 1拋物線的解析式為y= jx2+ ；x+ 2.解法一：i）當A為直角頂點時 ，延長CA至點P1,使AP1 = AC=AB,則4ABP1是以AB為直 角邊的等腰直角三角形.過點 P1 作 PEx 軸， AP1 = AC, /EAP=/DAC, / P1EA = / CDA = 90°,EP1AA DCA,AE= AD = 2, EP = CD = 1, .可求得 P1 的坐標為（一1,1）.經(jīng)檢驗點P1在拋物線上，因此存在點P1滿足條件；ii）當

9、B為直角頂點時，過點 B作直線 UBA,在直線l上分別取BP2=BP3=AB,得到 以AB為直角邊的等腰 RtABP2和等腰RtA ABP3.# PzFy軸，同理可證 BPzFABO, .P2F=BO=2, BF=OA=1,可得點P2的坐標為（ 2, 1）,經(jīng)檢驗P2在拋物線上，因此存在點P2滿足條件.同理可得點P3的坐標為（2, 3）,經(jīng)檢驗P3不在拋物線上，故不存在滿足條件的點綜上，拋物線上存在點Pi（1,1）, P2（ 2, 1）兩點，使得 4ABP1和4ABP2是以 AB為直角邊的等腰直角三角形.解法二：,，一入一， 一，11,i）當點A為直角頂點時，易求出直線AC的解析式為y=2x

10、+ 2，由11y= ?x+ 2,y= - 2x2+ 2x+2,解之可得P1（1,1）（已知點C除外）.作 PEx 軸于 E,則 AE=2, P1E=1,由勾股定理有 AP1="JaE2+P1E2 =V5. . AB =®，AP1 = AB, .P1AB是以AB為直角邊的等腰直角三角形；ii）當B點為直角頂點時，過 B作直線l/AC交拋物線于點P2和點P3,易求出直線l的 解析式為：11y=-2x-2，y=-2x2,由1 1）y=- 2x2+2x+2,解得 x1=- 2 或 x2=4., P2（2, 1）, P3（4, - 4）.作P2F，y軸于F,同理可求得BP2= V5=

11、 AB,.P2AB是以AB為直角邊的等腰直角 三角形.作P3HLy軸于H,可求得BP3 = 22+42 = 2寸5 w AB,. ABP3不是等腰直角三角形， ，點P3不滿足條件.綜上，拋物線上存在點P1（- 1,1）, P2（ - 2, 1）兩點，使得 AABP1 AABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形.13. （2011襄陽）如圖，在平面直角坐標系 xOy中，AB在x軸上，AB=10,以AB為直徑的。O'與y軸正半軸交于點 C,連接BC、AC, CD是。O'的切線，ADLCD于點D, 1tanZ CAD =-,拋物線 y= ax2 + bx+c 過 A、B、C 二點.求

12、證：/ CAD =/ CAB;(2)求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點 E是否在直線CD上，并說明理由；(3)在拋物線上是否存在一點P,使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點P的坐標(不寫求解過程)；若不存在，請說明理由.解(1)證明：連接O' C.CD 是。O'的切線，O' CXCD.ADXCD, .O' C/AD, ./O' CA=/CAD. O' C=O' A,./O' CA=/CAB. ./ CAD= / CAB.(2). AB 是。O'的直徑，. ./ACB=90 °. .OCXAB, ./ C

13、AB= / OCB,CAOA BCO,OC_ OB , , _ _ _ OA OC即 OC2=OA OB.1 . tan/ CAO = tanZ CAD =Q, .OA=2OC.X/AB=10, -OC2=2OCX(10-2OC). .OC>0, .OC = 4, OA=8, OB=2. A(-8,0), B(2,0), C(0,4). 拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點，_14a+2b+c= 0,a= 4,由題意得 64a-8b+c=0,解之得 b=_3,c= 4,c= 4.y= - ：x2 |x+ 4.設(shè)直線DC交x軸于點F,易證AOCADC,AD = AO = 8. O&#

14、39; C/ AD,.FO' CA FADO F O' CAF = AD .5 + BF10+BFBF = 103，設(shè)直線DC16F(5,0).的解析式為y=kx+m,m= 4,則16-k+ m= 033k-3k4即 4m = 4.y= /+ 4.由 y=-4x2-|x12 25+ 4=- 4(x+3)2+,得頂點E的坐標為E(-3, 25). 25 33-25將E( 3, 丁)橫坐標代入直線 DC的解析式y(tǒng)=-4x+ 4中，右邊=4X(-3)+4= .拋物線的頂點E在直線CD上.(3)存在.Pi(-10, 6), P2(10, 36).28.如圖1,拋物線y=ax2+bx+3

15、與x軸相交于點 A (-3, 0), B (-1, 0),與y軸相交于點C, OO1為ABC的外接圓，交拋物線于另一點D.(1)求拋物線的解析式；(2)求cos/ CAB的值和。01的半徑；(3)如圖2,拋物線的頂點為 P,連接BP, CP, BD, M為弦BD中點，若點N在坐標平 面內(nèi)，滿足 BMNBPC,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.求出點N的坐標.BC= " 32 屈.【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)如答圖1所示，由4 AOC為等腰直角三角形，確定/ CAB=45 ° ,從而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定 BO1C為等腰直角三角形，從

16、而求出半徑的 長度；(3)如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點D坐標，進而求出點 M的坐標和線段 BM的長度；點B、P、C的坐標已知，求出線段 BP、BC、PC的長 度；然后利用 BMN sbpc相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段 BN和MN的長度；最后利用兩點間的距離公式，列出方程組, 【解答】解：(1) ,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點 A (-3, 0), B (-1, 0),.9a 3b 3 0 ?a b 3 0解得 a=1, b=4,，拋物線的解析式為：y=x2+4x+3 .(2)由(1)知,拋物線解析式為:y=x2+4x+3 ,令 x=0,得 y=3, C (0, 3),OC=OA=3，則4AOC為等腰直角三角形，/ CAB=45 ° ,2 cos/ CAB=.在RtABOC中，由勾股定理得：如答圖1所示，連接O1B、O1B,由圓周角定理得：/ BOiC=2 / BAC=90. BO1C為等腰直角三角形，O O1 的半徑 O1B=2 bc= J5 .(3)拋物線 y=x2+4x+3= (x+2) 2-1,，頂點P坐標為(-2, -1),對稱軸為x= -2. 又 A (-3, 0), B (-1, 0),可知點 A、B 如答圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：D、點C (0, 3)關(guān)