新高考導數(shù)應用完全解讀 新課標

1、新高考導數(shù)應用完全解讀導數(shù)，既是新教材新增內(nèi)容，也是新高考重點考查的基礎知識考查的基本原則是：重點考查導數(shù)的概念和計算，結(jié)合應用性問題對導數(shù)知識進行考查，不過多地涉及理論探討和嚴格的邏輯證明對導數(shù)的考查有三個層次：第一個層次是主要考查導數(shù)的概念，求導的公式和求導的法則；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關不等式和函數(shù)的單調(diào)性等有機地結(jié)合在一起考查 2002年始，導數(shù)已經(jīng)由在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時必不可少的工具下面精選2004年全國高考試題中的相關內(nèi)容，進行分類導析，

2、以此點津指要，拋磚引玉，供老師、同學們復習參考1考查導數(shù)與函數(shù)交匯例1全國卷·理（19）題已知R,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考查點：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學思想解題切入：直接利用導數(shù)公式簡析：函數(shù)f (x)的導數(shù)：（I）當a=0時，函數(shù)f (x)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù)；（II）當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間（，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù)；（III）當a<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（，+）內(nèi)為減函數(shù)2考查導數(shù)與切

3、線的斜率，與解析幾何交匯例2福建卷·文（21）題如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q（）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；（）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離 考查點：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力解題切入：用導數(shù)求出直線的斜率，再用求軌跡的基本方法展開，注意直線、曲線的弦中點問題“設而不求法”及求最值時的“重要不等式法”的靈活使用簡析：（）點P坐標為（2，2），由  ， 

4、直線l的斜率kl=  直線l的方程為y2=(x2)，即 x+2y6=0（）設過點P的切線斜率k初=x0，當x0=0時不合題意， 直線l的斜率kl =，直線l的方程為 法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx022=0 設Q M是PQ的中點，消去x0，得y=x2+(x0)就是所求的軌跡方程由x0知上式等號僅當時成立，所以點M到x軸的最短距離是法二：設Q則由y0=x02，y1=x12，x=  y0y1=x(x0x1)，   將上式代入并整理，得  y=x2+(x0)就是所求的軌跡方程后續(xù)步驟同法一3考查導數(shù)與函數(shù)、曲線交匯例3天津卷·理（20）題已

5、知函數(shù)在處取得極值（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）過點作曲線的切線，求此切線方程考查點：本小題考查函數(shù)和函數(shù)極值的概念，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及分析和解決問題的能力解題切入：借助導數(shù)知識簡析：（1）依題意，得 令，得故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) 所以，是極大值；是極小值（2）設切點為，因，故切線的方程為，注意到點A（0，16）在切線上，解得所以，切線方程為4考查導數(shù)與函數(shù)、不等式交匯例4 遼寧卷·（22）題 已知函數(shù)   （1）求函數(shù)的反函數(shù)的導數(shù)   （2）假設對任意成立，求實數(shù)m的取值范圍考

6、查點：本小題主要考查反函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基礎知識，導數(shù)的概念和計算，以及運用函數(shù)的性質(zhì)分析問題和解決問題的能力解題切入：利用對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)導數(shù)公式求解簡析：（）yf1（x）ln（exa）（xln a）（x）ln（exa）（）法一：由已知得lnln（exa）mln（exa）ln，即對于xln（3a），ln（4a），恒有em設tex，u（t），v（t），于是不等式化為u（t）emv（t），t3a，4a 當t1t2，t1、t23a，4a時，都是增函數(shù)因此當時，的最大值為的最小值為而不等式成立當且僅當即，于是得 法二：由已知得設于是原不等式對于恒成立等價于 由，注意到故有，從而可均在上單調(diào)

7、遞增，因此不等式成立當且僅當即 5考查導數(shù)與三角函數(shù)、數(shù)列、極限交匯例5全國卷·理（22）題已知函數(shù)的所有正數(shù)從小到大排成數(shù)列 （）證明數(shù)列為等比數(shù)列；（）記是數(shù)列的前n項和，求考查點：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念和性質(zhì)、極限等知識的綜合應用解題切入：對求導之后，令=0，解方程得，易證（）；進而求出，再用錯位相減法求和簡析：（）證明：由得，從而     所以數(shù)列是公比的等比數(shù)列，且首項（）從而 因為，所以6考查導數(shù)的物理意義瞬時速度，與實際問題結(jié)合例6湖北卷·理（16）題某日中午12時整，甲船自A處以16k

8、m/h的速度向正東行駛，乙船自A的正北18km處以24km/h的速度向正南行駛，則當日12時30分時兩船之間距間對時間的變化率是             km/h考查點：變化率，即導數(shù)值解題切入：先求出距離與時間的函數(shù)簡析：以A點為原點，正東、正北方向所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系，t時刻甲位于（16t，0）處，乙位于（0，1824t）處,則兩地間距離s=12時30分時，t=05，則評注 此題不僅考查了方位角的概念，畫圖識圖的能力，列方程解應用題的思想，更

9、重要的是考查了考生對導數(shù)的物理意義及導數(shù)定義的理解，特別是不同的方向設計，使得變化率是一個負值 這要求考生能將物理知識與數(shù)學知識相結(jié)合（意在考查學科交叉能力），要求考生能熟練運用復合函數(shù)的求導法則 從更深的角度分析，它既考查了考生用所學數(shù)學知識處理問題的能力，更考查了考生進入高校后學習的潛能，具有很好的導向作用，為今后高考填空題這塊創(chuàng)新題型的“試驗田”指引了一個新的方向友情提醒：此題易出現(xiàn)結(jié)果為“”的錯誤，要認真區(qū)分的含義；若對S（t）的關系式化簡展開后求導數(shù)，則運算極繁；由于不能真正理解距離對時間的導數(shù)是瞬時速度，而速度是一個向量，許多考生在求出對應的變化率是一個負值后，給出答案時竟然特意將

10、其中的負號舍去，以致痛失4分，實為可惜！此題是由人教版高三數(shù)學教材（選修）第三章復習參考題B組題第6題改編而成7考查導數(shù)與實際問題結(jié)合例7遼寧卷·（20）題甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠 由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關系若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格），   （1）將乙方的年利潤（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；   （2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額（元），

11、在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？考查點：本小題主要考查函數(shù)的概念，運用導數(shù)求函數(shù)最大值、最小值的方法，以及運用數(shù)學知識，建立簡單數(shù)學模型并解決實際問題的能力解題切入：利用已知條件寫出實際年利潤關系式2000st，利用二次函數(shù)求最值或利用導數(shù)求最值，再寫出甲方凈收入st0002t2，化為s的函數(shù)求最值簡析：（）法一：乙方的實際年利潤為：2000sts，故乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t（噸）法二：2000st，由，令0得tt0易知 tt0時，取得最大值因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t0（噸）（）設甲方凈收入為v元，則vst0

12、002t2將t代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關系式v令0，得s20易知s20時，v取得最大值因此甲方向乙方要求賠付價格s20（元/噸）時，獲得最大凈收入相關鏈接：重慶卷·文（20）題某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價格（元/噸）之間的關系式為：,且生產(chǎn)x噸的成本為（元）問該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？（利潤=收入成本）考查點：本小題重點考查函數(shù)導數(shù)的應用答案：3150000元【方略掃描】1應用復合函數(shù)求導法則時，首先要分析所給函數(shù)可以看作由哪些函數(shù)復合而成，或者說，所給函數(shù)能分解成哪些函數(shù)，直至能用求導法則為止2

13、函數(shù)在某點處的切線的斜率k3利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)yf（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果0，則f（x）在這個區(qū)間上為增函數(shù)；如果0，則f（x）在這個區(qū)間上為減函數(shù)應當注意，在區(qū)間內(nèi)0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件；0也只是f（x）在區(qū)間上為減函數(shù)的充分條件，而不是必要條件4利用導數(shù)求函數(shù)極值的步驟：求；求方程0的根；分析在方程根左、右的值的符號；如左正右負，則f（x）在這個根處取得極大值；如左負右正，則f（x）在這個根處取得極小值；如果同正同負，那么f（x）在這個根處無極值5利用導數(shù)求最值的步驟：求f（x）在（a、b）內(nèi)的極值；將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較，其中最大的一個是最大值，最小的