202X版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步第5節(jié)垂直關(guān)系課件文北師大版

1、第第5節(jié)垂直節(jié)垂直關(guān)系關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.知 識 梳 理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的_一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直.任何(2)判定定理與性質(zhì)定理lalbab平行ab如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，那么該直線與此平面垂直(線線垂直線面垂直)相交2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的_所成的_叫作這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是_

2、 ；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角.(2)范圍：_.射影銳角直角3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作_的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范圍：0，.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直.兩個半平面直二面角垂直于棱(2)判定定理與性質(zhì)定理垂線ll 交線alal 微點提醒1.兩個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平

3、面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.基 礎(chǔ) 自 測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.()解析(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯

4、誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤.(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P40例3改編)已知直線a，b和平面，且ab，a，則b與的位置關(guān)系為()A.b B.bC.b 或b D.b與相交答案C3.(必修2P42A5改編)已知P為ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，有下列結(jié)論：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確的是()A. B.C. D.解析如圖，因為PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面

5、PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正確.答案A4.(2019安徽江南十校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是()A.且m B.mn且nC.mn且n D.mn且解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確.答案C5.(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A.A1EDC1 B.A1EBDC.A1EBC1 D.A1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A1B1BC1.又B1CBC1，

6、且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E 平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C6.(2018安陽二模)已知a，b表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，下列說法錯誤的是()A.若a，b，則abB.若a，b，ab，則C.若a，ab，則bD.若a，ab，則b或b解析對于A，若a，則a，又b，故ab，故A正確；對于B，若a，ab，則b 或b，存在直線m，使得mb，又b，m，.故B正確；對于C，若a，ab，則b 或b，又，所以b 或b，故C錯誤；對于D，若a，ab，則b或b，故D正確.答案C考點一線面垂直的判定與性質(zhì)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且MC2M

7、B，求點C到平面POM的距離.(1)證明因為APCPAC4，O為AC的中點，由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足為H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)(，a，la，l l).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【訓(xùn)練1】 (20

8、19南寧二中、柳州高中聯(lián)考)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB側(cè)面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.(1)求證：BC1平面ABC；(1)證明AB平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，ABBC1，在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，又AB，BC 平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.證明(1)平面PAD底面AB

9、CD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA 平面PAD，PA底面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點，ABDE，且ABDE.四邊形ABED為平行四邊形.BEAD.又BE 平面PAD，AD 平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，而且ABED為平行四邊形.BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD，CD 平面ABCD，PACD，且PAADA，PA，AD 平面PAD，CD平面PAD，又PD 平面PAD，CDPD.E和F分別是CD和PC的中點，PDEF.CDEF，又BECD且EFBEE，CD平面BEF，又CD 平面PCD，平面BEF平面PCD.規(guī)律方法1.證明平面和平面垂直

10、的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.(1)求證：平面SBD平面SAD；(1)證明設(shè)BCa，則CDa，AB2a，由題意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，所以ABDABCCBD45，因為AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD 平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD 平面SBD，所以平面SBD平面SAD.作SHAD，交AD的延長線于點H，由(1)知BD平面SAD，因為SH 平面SAD，所以BDSH

11、.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH為三棱錐SBCD的高，由BD平面SAD，SD 平面SAD，可得BDSD，在等腰三角形SBA中，考點三平行與垂直的綜合問題多維探究角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 (2018北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.(1)求證：PEBC；(2)求證：平面PAB平面PCD；(3)求證：EF平面PCD.證明(1)因為PAPD，E為AD的中點，所以PEAD.因為底面ABCD為矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以ABAD.又因為

12、平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因為PAPD，且PAABA，所以PD平面PAB.又PD 平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，因為ABCD為矩形，且E為AD的中點，所以DEFG，DEFG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EFDG.又因為EF 平面PCD，DG 平面PCD，所以EF平面PCD.規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.角度2平行與垂直關(guān)

13、系中的探索性問題【例32】 如圖，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積；解(1)由題知AB1，AC2，BAC60，由PA平面ABC，可知PA是三棱錐PABC的高.(2)在平面ABC內(nèi)，過點B作BNAC，垂足為N.在平面PAC內(nèi)，過點N作MNPA交PC于點M，連接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM 平面MBN，所以ACBM.規(guī)律方法1.求條件探索性問題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.2.涉及

14、點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.角度3空間位置關(guān)系與幾何體的度量計算【例33】 【例33】 (2019湖北六市聯(lián)考)如圖，在RtABC中，ABBC3，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EFBC，將AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小為60.(1)求證：EFPB；(2)當(dāng)點E為線段AB的靠近B點的三等分點時，求四棱錐PEBCF的側(cè)面積(1)證明因為在RtABC中，ABBC3，所以BCAB.又因為EFBC，所以EFAB，翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有EFPE，EFBE，又因為PEBEE，P

15、E，BE 平面PBE，所以EF平面PBE，所以EFPB.(2)解因為EFPE，EFBE，所以PEB是二面角PEFB的平面角，所以PB2BE2PE2，所以PBBE，所以PB，BC，BE兩兩垂直，又EFPE，EFBE，所以PBE，PBC，PEF均為直角三角形規(guī)律方法1.本題的綜合性較強(qiáng)，屬于翻折問題，其關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化情況根據(jù)翻折的過程，把翻折前后一些線、面位置關(guān)系中沒有變化和發(fā)生變化的量準(zhǔn)確找出來，應(yīng)用到求解中2第(1)問證明線線垂直，這類問題的一般是通過證明線面垂直來證明第(2)問的解決過程中要清楚二面角PEFB的平面角是哪一個，并且利用這個角的大小找出四棱錐中各線、面的位置

16、關(guān)系，確定各側(cè)面三角形的形狀，即可求四棱錐的側(cè)面積(1)求證：AC平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點M，使EA平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因為ACFB，BCFBB，BC，F(xiàn)B 平面FBC，所以AC平面FBC.(2)解因為AC平面FBC，F(xiàn)C 平面FBC，所以ACFC.因為CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.(3)解線段AC上存在點M，且點M為AC中點時，有EA平面FDM.證明如下：連接CE，與DF交于點N，取AC的中點M，連接M

17、N.因為四邊形CDEF是正方形，所以點N為CE的中點所以EAMN.因為MN 平面FDM，EA 平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點M，且M為AC的中點，使得EA平面FDM成立考點四線面角、二面角的概念及應(yīng)用【例4】 (1)(2018全國卷)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_規(guī)律方法(1)解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)線面角、二面角的定義找出或做出這個角，利用線面角或二面角的大小計算幾何體中的相關(guān)的量(2)找出或做出線面角和二面角的平面角都要根據(jù)其定義，恰當(dāng)?shù)乩脠D形中的垂直關(guān)系如(1)題中圓錐的軸線與底面垂直，(2)題中PM與AB，CM與AB垂直思維升華1.證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性質(zhì)：，l，a ，ala；2.證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ，a.3.轉(zhuǎn)化思想：三種垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化易錯防范1.證明線面垂直時，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件.2.面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視.3.面面垂直的性質(zhì)定理在使用時