必修五正弦定理和余弦定理

1、一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 通過實(shí)例，感受正弦定理、余弦定理來源于實(shí)際，服務(wù)于實(shí)際。2. 掌握正、余弦定理，并會(huì)初步運(yùn)用兩個(gè)定理解三角形。3. 理解兩個(gè)定理的證明方法。4. 認(rèn)識(shí)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況，正確作答。5. 通過對(duì)定理的探究，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，培養(yǎng)歸納概括的能力。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：正、余弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用。本小節(jié)內(nèi)容通過實(shí)例提出問題，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在探究過程中運(yùn)用了由特殊到一般的方法，這種方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法之一，要逐步學(xué)會(huì)善于運(yùn)用這種方法去探索數(shù)學(xué)問題，提

2、高創(chuàng)造能力。難點(diǎn)：公式的靈活運(yùn)用以及解的討論。在解三角形的過程中，一方面要認(rèn)真分析題目的已知條件，另一方面要深刻理解兩個(gè)定理的本質(zhì)，才有可能合理選擇定理；當(dāng)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可根據(jù)三角形的邊角關(guān)系或幾何方法對(duì)解進(jìn)行討論。三、考點(diǎn)分析：解三角形問題，可以較好地考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，恒等變換，邊角轉(zhuǎn)化，正弦、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，是三角，函數(shù)，解析幾何和不等式等知識(shí)的交匯點(diǎn)，在高考中容易出綜合題。一、正弦定理1. 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即。2. 正弦定理的變形變形（1）：；變形（2）：；變形（3）：，；變形（4）：；變形（5）：。3. 正弦定理的應(yīng)

3、用（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角；（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊及其他兩角。二、余弦定理1. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 2. 余弦定理的變形（1）定理的特例：是指當(dāng)某一內(nèi)角取特殊值時(shí)的特殊形式。主要有：（勾股定理及其逆定理）；。（2）定理的推論：，。3. 余弦定理的應(yīng)用：（1）已知三邊，求三角；（2）已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩角。 知識(shí)點(diǎn)一：正弦定理例1：在中，（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求。思路分析：這三個(gè)小題看似相同，其實(shí)大相徑庭，雖然都是已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)

4、角，但結(jié)果卻是一個(gè)一解，一個(gè)兩解，第（3）小題無解，下面我們來逐個(gè)分析。解答過程：（1）根據(jù)正弦定理，得。，而，。（2）根據(jù)正弦定理，得。，而，為銳角或鈍角，或。（3）根據(jù)正弦定理，得，無解。解題后的思考：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形用正弦定理，其結(jié)果可能有一解、兩解或無解。例2：在ABC中，已知，求，及ABC的面積S。思路分析：已知兩角實(shí)際上第三個(gè)角也是已知的，故用正弦定理可以很方便的求出其他邊的值。解答過程：依正弦定理：，代入已知條件，得，又，（或因?yàn)镃A，ABC為等腰三角形，所以。解題后的思考：三角形的面積公式（1）（分別表示上的高）。（2）。（3）。（為外接圓半徑）（4）。其中為三

5、角形的內(nèi)切圓半徑，為三角形周長(zhǎng)的一半。例3：在ABC中，若··成立，試判斷這個(gè)三角形的形狀。思路分析：條件中既有邊又有角，統(tǒng)一條件是首要任務(wù)。解答過程：由正弦定理，得：··，··，即，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可知、必都為銳角。所以AB，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：由已知條件確定三角形的形狀，主要通過兩個(gè)途徑：化角為邊，通過代數(shù)式變形求出邊與邊之間的關(guān)系?；厼榻?，利用三角恒等變形找出角與角之間的關(guān)系。一般情況下，利用三角恒等變形計(jì)算量會(huì)小一些。例4：在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，證明：。思路分析：條件中既有邊又

6、有角，條件需統(tǒng)一，另外ABC中，內(nèi)角和為。解答過程：由正弦定理得：。=。所以，。解題后的思考：由于不等式兩邊一邊是代數(shù)式，一邊是三角式，故通過正弦定理來把邊全化為角，把證明轉(zhuǎn)化為三角恒等變形的問題。知識(shí)點(diǎn)二：余弦定理例5：已知中，試求角、和邊。思路分析：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形可用正弦定理或余弦定理，現(xiàn)用余弦定理來解。解答過程：設(shè)邊，由余弦定理，得。整理得，。（1）當(dāng)時(shí)，。（2）當(dāng)時(shí)，。綜合上兩種情況：或。解題后的思考：用余弦定理解決此類問題，是設(shè)量解方程的思想，也是經(jīng)常用的方法。例6：已知中，求中各角的度數(shù)。思路分析：雖然此題三邊都不確定，但它們的比例一定，所以可設(shè)，用余弦定理解決。

7、解答過程：令，利用余弦定理，。用同樣的方法可得，。因此，。解題后的思考：已知三角形三邊的比，或已知三邊的長(zhǎng)度，都可用余弦定理解決，只是已知三邊的比時(shí)，可引用參數(shù)，但在解題時(shí)可將分子分母中的參數(shù)約掉。例7：在中，是方程的兩個(gè)根，且，試求邊的長(zhǎng)。思路分析：本題已知的是兩邊和它們所對(duì)的兩角的關(guān)系，在這種情況下往往可能不需要求出它們各自的值，通?？梢钥紤]整體代入的方法。解答過程：由題意，得。解題后的思考：因?yàn)榻夥匠探M分別求出和的值比較麻煩，所以將的值直接代入，巧妙而簡(jiǎn)潔，通常稱為整體代入法，要注意這種解題技巧的運(yùn)用。 解三角形的幾種基本類型（1）已知一邊和兩角（設(shè)為），求另一角及兩邊，求解步驟：；由正

8、弦定理得：；由正弦定理得：。（2）已知兩邊及其夾角（設(shè)為），解三角形的步驟：由余弦定理得：；由正弦定理求中較小邊所對(duì)的銳角；利用內(nèi)角和定理求第三個(gè)角。（3）已知兩邊及一邊的對(duì)角（設(shè)為），解三角形的步驟：先判定解的情況；由正弦定理，求；由內(nèi)角和定理，求；由正弦定理或余弦定理求邊。注：已知和，用正弦定理求時(shí)解的各種情況：（4）已知三邊，解三角形的步驟：由余弦定理求最大邊所對(duì)的角；由正弦定理求其余兩個(gè)銳角。 一、預(yù)習(xí)新知正弦定理和余弦定理在實(shí)際測(cè)量中有許多應(yīng)用，下面介紹它們?cè)跍y(cè)量距離、高度、角度等問題中的一些應(yīng)用。在這些應(yīng)用問題中，測(cè)量者借助于經(jīng)緯儀與鋼尺等測(cè)量角和距離的工具進(jìn)行測(cè)量。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)

9、可以考慮，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件？應(yīng)該注意到，例題及習(xí)題中的一組已知條件，常隱含著對(duì)于這類測(cè)量問題在某一種特定情境和條件限制下的一個(gè)測(cè)量方案。在這種情境與條件限制下，別的方案中的量可能無法測(cè)量出來，因而不能實(shí)施別的測(cè)量方案。請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)必修5 第一章 第二節(jié) 應(yīng)用舉例。二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥通過預(yù)習(xí)，請(qǐng)總結(jié)正余弦定理可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的哪些問題。（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題1. 在ABC中，若，則等于（ ）A. B. C. D. 2. 若為ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（ ）A. B. C. D. 3. 在ABC中，角均為銳角，且，則ABC的形狀是（ ）A. 直角三

10、角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形 4. 等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長(zhǎng)為（ ）A. B. C. D. 5. 在中，若，則等于（ ）A. B. C. D. 6. 邊長(zhǎng)為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（ ）A. B. C. D. 二、填空題7. 在ABC中，則的最大值是_8. 在ABC中，若_9. 在ABC中，若_10. 在ABC中，若，則_11. 在ABC中，則的最大值是_三、解答題12. 在ABC中，若則ABC的形狀是什么？13. 在ABC中，求證：14. 在銳角ABC中，求證：。一、選擇題1. C 解析：，2. A 解析：3. C 解析：都是銳角，則4. D 解析