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文檔簡介
1、 §1.4 常用的分布與其分位數(shù)1. 卡平方分布卡平方分布、t分布與F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布,它們與正態(tài)分布一起,是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。當(dāng)X1、X2、Xn相互獨(dú)立且都服從N(0,1)時(shí),Z=的分布稱為自由度等于n的分布,記作Z(n),它的分布密度 p(z)=式中的=,稱為Gamma函數(shù),且=1,=。分布是非對(duì)稱分布,具有可加性,即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立,且Y(n),Z(m),則Y+Z(n+m)。證明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨(dú)立且都服從N(0,1),再根據(jù)分布的定義以與上述隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,令 Y=X+X+X,Z=X+X+X, Y+Z= X+X
2、+X+ X+X+X,即可得到Y(jié)+Z(n+m)。2. t分布若X與Y相互獨(dú)立,且 XN(0,1),Y(n),則Z = 的分布稱為自由度等于n的t分布,記作Z t (n),它的分布密度 P(z)=。請(qǐng)注意:t分布的分布密度也是偶函數(shù),且當(dāng)n>30時(shí),t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時(shí),t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3. F分布若X與Y相互獨(dú)立,且X(n),Y(m),則Z=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,記作ZF (n, m),它的分布密度p(z)=請(qǐng)注意:F分布也是非對(duì)稱分布,它的分布密度與自由度的次序有關(guān),當(dāng)ZF
3、(n, m)時(shí),F(xiàn) (m ,n)。4. t分布與F分布的關(guān)系若Xt(n),則Y=XF(1,n)。證:Xt(n),X的分布密度p(x)=。 Y=X的分布函數(shù)F(y) =PY<y=PX<y。當(dāng)y0時(shí),F(xiàn)(y)=0,p(y)=0;當(dāng)y>0時(shí),F(xiàn)(y) =P-<X<=2, Y=X的分布密度p(y)=,與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度一樣,因此Y=XF(1,n)。為應(yīng)用方便起見,以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是,解應(yīng)用問題時(shí),通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下:4. 常用分布的分位數(shù)1)分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量
4、的分布函數(shù)有關(guān),根據(jù)應(yīng)用的需要,有三種不同的稱呼,即分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù),它們的定義如下:當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F(x),實(shí)數(shù)滿足0 <<1時(shí),分位數(shù)是使PX< x=F(x)=的數(shù)x,上側(cè)分位數(shù)是使PX >=1-F()=的數(shù),雙側(cè)分位數(shù)是使PX<1=F(1)=0.5的數(shù)1、使PX>2=1-F(2)=0.5的數(shù)2。因?yàn)?-F()=,F(xiàn)()=1-,所以上側(cè)分位數(shù)就是1-分位數(shù)x 1-; F(1)=0.5,1-F(2)=0.5,所以雙側(cè)分位數(shù)1就是0.5分位數(shù)x 0.5,雙側(cè)分位數(shù)2就是1-0.5分位數(shù)x1-0.5。2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)記作u,0
5、.5分位數(shù)記作u0.5,1-0.5分位數(shù)記作u 1-0.5。當(dāng)XN(0,1)時(shí),PX< u=F 0,1(u)=,PX<u0.5= F0,1 (u0.5)=0.5,PX<u1-0.5= F0,1 (u1-0.5)=1-0.5。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性,當(dāng)=0.5時(shí),u=0;當(dāng)<0.5時(shí),u<0。 u=-u1-。如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù)的分位數(shù),則先查出 u 1-,然后得到u=-u1-。論述如下:當(dāng)XN(0,1)時(shí),PX< u= F0,1 (u)=,PX< u1-= F0,1 (u1-)=1-,PX> u1-=1- F0,1
6、(u1-)=,故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性,u=-u1-。例如,u 0.10=-u 0.90=-1.282,u 0.05=-u 0.95=-1.645,u 0.01=-u 0.99=-2.326,u 0.025=-u 0.975=-1.960,u 0.005=-u 0.995=-2.576。又因?yàn)镻|X|< u1-0.5=1-,所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)分別是u 1-0.5和-u1-0.5。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常用的上側(cè)分位數(shù)有:=0.10,u 0.90=1.282;=0.05,u 0.95=1.645;=0.01,u 0.99=2.326;=0.025,u 0.975=1.960;=0
7、.005,u 0.995=2.576。3)卡平方分布的分位數(shù)記作(n)。(n)>0,當(dāng)X(n)時(shí),PX<(n)=。例如,0.005(4)=0.21,0.025(4)=0.48,0.05 (4)=0.71,0.95(4)=9.49,0.975(4)=11.1,0.995(4)=14.9。4)t分布的分位數(shù)記作t(n)。當(dāng)Xt (n)時(shí),PX<t (n)=,且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似,根據(jù)t分布密度曲線的對(duì)稱性,也有t(n)=-t1-(n),論述同u=-u1-。例如,t0.95(4)=2.132,t 0.975(4)=2.776,t 0.995(4)=4.604,t 0.005(4)
8、=-4.604,t 0.025(4)=-2.776,t 0.05(4)=-2.132。另外,當(dāng)n>30時(shí),在比較簡略的表中查不到t(n),可用u作為t(n)的近似值。5)F分布的分位數(shù)記作F(n , m)。F(n , m)>0,當(dāng)XF (n , m)時(shí),PX<F(n , m)=。另外,當(dāng)較小時(shí),在表中查不出F(n, m),須先查F1-(m, n),再求F(n, m)=。論述如下:當(dāng)XF(m, n)時(shí),PX< F 1-(m, n)=1-,P>=1-,P<=,又根據(jù)F分布的定義,F(xiàn)(n, m),P<F(n, m) =,因此 F(n, m)= 。例如,F(xiàn)0.
9、95(3,4)=6.59,F(xiàn) 0.975(3,4)=9.98,F(xiàn) 0.99(3,4)=16.7,F(xiàn) 0.95(4,3)=9.12,F(xiàn) 0.975(4,3)=15.1,F(xiàn) 0.99(4,3)=28.7,F(xiàn) 0.01(3,4)=,F(xiàn) 0.025(3,4)=,F(xiàn) 0.05(3,4)=。課練習(xí) 1. 求分位數(shù)0.05(8),0.95(12)。 2. 求分位數(shù)t 0.05(8),t 0.95(12)。 3. 求分位數(shù)F0.05(7,5),F(xiàn)0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 5. 由t 0.95(4)=2.132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 6. 若X(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,試寫出有關(guān)的分位數(shù)。 7. 若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95,試寫出有關(guān)的分位數(shù)。8. 設(shè)X、X、X相互獨(dú)立且都服從N(0,0.09)分布,試求P>1.44。習(xí)題答案:1. 2.73,21.0。2. -1.860,1.782。3. ,3.37。4. 1.960為上側(cè)0.025分位數(shù),-1.960與1.960為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)0.05分位數(shù)
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