f分布t分布與卡方分布

1、 §1.4 常用的分布與其分位數(shù)1. 卡平方分布卡平方分布、t分布與F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中常用的分布。當(dāng)X1、X2、Xn相互獨(dú)立且都服從N(0,1)時(shí)，Z=的分布稱為自由度等于n的分布，記作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，稱為Gamma函數(shù)，且=1，=。分布是非對(duì)稱分布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立，且Y(n)，Z(m)，則Y+Z(n+m)。證明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，再根據(jù)分布的定義以與上述隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，令 Y=X+X+X，Z=X+X+X， Y+Z= X+X

2、+X+ X+X+X，即可得到Y(jié)+Z(n+m)。2. t分布若X與Y相互獨(dú)立，且 XN(0,1)，Y(n)，則Z = 的分布稱為自由度等于n的t分布，記作Z t (n)，它的分布密度 P(z)=。請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時(shí)，t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3. F分布若X與Y相互獨(dú)立，且X(n)，Y(m)，則Z=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作ZF (n, m)，它的分布密度p(z)=請(qǐng)注意：F分布也是非對(duì)稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當(dāng)ZF

3、(n, m)時(shí)，F(xiàn) (m ,n)。4. t分布與F分布的關(guān)系若Xt(n)，則Y=XF(1,n)。證：Xt(n)，X的分布密度p(x)=。 Y=X的分布函數(shù)F(y) =PY<y=PX<y。當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)(y)=0，p(y)=0；當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)(y) =P-<X<=2， Y=X的分布密度p(y)=，與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度一樣，因此Y=XF(1,n)。為應(yīng)用方便起見，以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量

4、的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用的需要，有三種不同的稱呼，即分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)，它們的定義如下：當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F(x)，實(shí)數(shù)滿足0 <<1時(shí)，分位數(shù)是使PX< x=F(x)=的數(shù)x，上側(cè)分位數(shù)是使PX >=1-F()=的數(shù)，雙側(cè)分位數(shù)是使PX<1=F(1)=0.5的數(shù)1、使PX>2=1-F(2)=0.5的數(shù)2。因?yàn)?-F()=，F(xiàn)()=1-，所以上側(cè)分位數(shù)就是1-分位數(shù)x 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以雙側(cè)分位數(shù)1就是0.5分位數(shù)x 0.5，雙側(cè)分位數(shù)2就是1-0.5分位數(shù)x1-0.5。2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)記作u，0

5、.5分位數(shù)記作u0.5，1-0.5分位數(shù)記作u 1-0.5。當(dāng)XN(0,1)時(shí)，PX< u=F 0,1(u)=，PX<u0.5= F0,1 (u0.5)=0.5，PX<u1-0.5= F0,1 (u1-0.5)=1-0.5。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)=0.5時(shí)，u=0；當(dāng)<0.5時(shí)，u<0。 u=-u1-。如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù)的分位數(shù)，則先查出 u 1-，然后得到u=-u1-。論述如下：當(dāng)XN(0,1)時(shí)，PX< u= F0,1 (u)=，PX< u1-= F0,1 (u1-)=1-，PX> u1-=1- F0,1

6、(u1-)=，故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，u=-u1-。例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。又因?yàn)镻|X|< u1-0.5=1-，所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)分別是u 1-0.5和-u1-0.5。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常用的上側(cè)分位數(shù)有：=0.10，u 0.90=1.282；=0.05，u 0.95=1.645；=0.01，u 0.99=2.326；=0.025，u 0.975=1.960；=0

7、.005，u 0.995=2.576。3）卡平方分布的分位數(shù)記作(n)。(n)>0，當(dāng)X(n)時(shí)，PX<(n)=。例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05 (4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4）t分布的分位數(shù)記作t(n)。當(dāng)Xt (n)時(shí)，PX<t (n)=，且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對(duì)稱性，也有t(n)=-t1-(n)，論述同u=-u1-。例如，t0.95(4)=2.132，t 0.975(4)=2.776，t 0.995(4)=4.604，t 0.005(4)

8、=-4.604，t 0.025(4)=-2.776，t 0.05(4)=-2.132。另外，當(dāng)n>30時(shí)，在比較簡略的表中查不到t(n)，可用u作為t(n)的近似值。5）F分布的分位數(shù)記作F(n , m)。F(n , m)>0，當(dāng)XF (n , m)時(shí)，PX<F(n , m)=。另外，當(dāng)較小時(shí)，在表中查不出F(n, m)，須先查F1-(m, n)，再求F(n, m)=。論述如下：當(dāng)XF(m, n)時(shí)，PX< F 1-(m, n)=1-，P>=1-，P<=，又根據(jù)F分布的定義，F(xiàn)(n, m)，P<F(n, m) =，因此 F(n, m)= 。例如，F(xiàn)0.

9、95(3,4)=6.59，F(xiàn) 0.975(3,4)=9.98，F(xiàn) 0.99(3,4)=16.7，F(xiàn) 0.95(4,3)=9.12，F(xiàn) 0.975(4,3)=15.1，F(xiàn) 0.99(4,3)=28.7，F(xiàn) 0.01(3,4)=，F(xiàn) 0.025(3,4)=，F(xiàn) 0.05(3,4)=。課練習(xí) 1. 求分位數(shù)0.05(8)，0.95(12)。 2. 求分位數(shù)t 0.05(8)，t 0.95(12)。 3. 求分位數(shù)F0.05(7,5)，F(xiàn)0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 5. 由t 0.95(4)=2.132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。 6. 若X(4)，PX<0.711=0.05，PX<9.49=0.95，試寫出有關(guān)的分位數(shù)。 7. 若XF(5,3)，PX<9.01=0.95，YF(3,5)，Y<5.41=0.95，試寫出有關(guān)的分位數(shù)。8. 設(shè)X、X、X相互獨(dú)立且都服從N(0,0.09)分布,試求P>1.44。習(xí)題答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1.960為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)0.05分位數(shù)