數(shù)學(xué)建模雨中行走

1、摘要夏天日益臨近，天氣情況也逐漸變幻莫測。我們常常遇到過這樣的問題，我們走在大街上，突然下起大雨，目的地離我們不遠(yuǎn)，所以我們并不準(zhǔn)備避雨。這是我們就遇到一個(gè)問題，是按照正常速度前行，還是大步奔跑地前進(jìn)，以減少身上的淋雨量。按照常理，我們大多數(shù)人都會(huì)奔跑前行。但是，這樣果真能夠減少被淋濕的程度嗎？1. 問題重述一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡單事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨時(shí)間。但如果考慮將與方向的

2、變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2. 建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度。3. 模型假設(shè)即符號說明（1） 把人體視為長方體，身高h(yuǎn)米，寬度w米，厚度d米。淋浴總量用C升來記。（2） 降雨大小用降雨強(qiáng)度I（cm/h）來描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視為一常量。（3） 風(fēng)速保持不變。（4） 你一定速度v(m/s)跑完全程D米。4. 模型建立與計(jì)算（1） 不考慮雨的方向，此時(shí)你的前后

3、左右和上下都將被淋雨。淋雨面積：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的時(shí)間：t=Dv （秒）降雨強(qiáng)度：I（厘米/時(shí)）=0.01I（米/時(shí)）=0.01I3600（米/秒）淋雨量：C=0.01ISt3600（米3）=10DIS3600（升）（模型中D，I，S為參數(shù)，而v為變量）結(jié)論：淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。若取參數(shù)D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m時(shí)，則有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 則計(jì)算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。從而可以計(jì)算被淋的雨水總量S=2.041升。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你

4、在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因是不考慮降雨的方向的假設(shè)，是問題過于簡單化。（2） 考慮降雨方向，若記雨滴下速度為r（米/秒），雨滴的密度為，1，l表示在一定時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。 d w 雨滴下落的反方向 H,h v 人前進(jìn)的方向所以，I=r因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量 C1 = Dwdr sinvD/v表示在雨中行走的時(shí)間，wd表示頂部面積, r sin表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量 C2

5、= Dwh(cos+v)v總淋雨量（基本模型）C=C1+C2= wDv (drsin+h(rcos+v)取參數(shù)r=4m/s, I=3600×2cm/s, =1.39×10-6 ，計(jì)算得C=6.95×10-6v(0.8sin+6cos+1.5v)可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。這樣問題轉(zhuǎn)化為給定， 如何選擇v，使得C最小。情形1 =90度 C=6.95×10-4(0.8/v+1.5)結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)林雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6m/s的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得C=11.3×10-4m3=1.13升情形2

6、=60度 C=6.95×10-4(1.5+(43+3)/v)結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6m/s的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得C=1.47升情形3 90<<180度時(shí)此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。 C=6.95×10-4(0.8sin+6cos)/v+1.5)令=+30度，則0<<90，計(jì)算得C=6.95×10-4(0.8cos-6sin)/v+1.5)當(dāng)從0到90度時(shí)，C可能取負(fù)值，這是不可能的。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因是我們給出的基本模型是針對雨從你的前面落到身上的情形。因此這種情況要另行討論。當(dāng)行走

7、速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即rr sin,這時(shí)，雨滴將淋到背上，而淋在背上的雨水量是 Dwh(rsin-v)v淋雨總量為C=Dw(drcos+hrsin-v)v當(dāng)v=sin時(shí)，C取到最小值。 C=Drsin wdrcos再次帶入數(shù)據(jù)，得 C=6.95×10-4(0.8cos)/(4sin)結(jié)果表明：當(dāng)行走的速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以=30度的角從背后落下，你應(yīng)該以v=4sin30=2m/s的速度行走，此時(shí)淋雨量為 C=6.95×10-4（0.83/2)/2m3=0.24升這就意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒有淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平速度，即v>rsin ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是Dwh(rsin-v)v淋浴總量為C=Dw(drcos+hv-rsin)v =Dw(dcos-rsin)/v+h/r)當(dāng)dcos-rsin>0, v盡可能大，C才可能小。當(dāng)dcos-rsin<0, v盡可能小，C才可能小。而當(dāng)v>rsin, 所以v要趨于rsin，C才可能最小。