擴(kuò)散問題的偏微分方程模型數(shù)學(xué)建模

1、第七節(jié) 擴(kuò)散問題的偏微分方程模型物質(zhì)的擴(kuò)散問題，在石油開采、環(huán)境污染、疾病流行、化學(xué)反應(yīng)、新聞傳播、煤礦瓦斯爆炸、農(nóng)田墑情、水利工程、生態(tài)問題、房屋基建、神經(jīng)傳導(dǎo)、藥物在人體內(nèi)分布以及超導(dǎo)、液晶、燃燒等諸多自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域，十分普遍地存在著. 顯然，對這些問題的研究是十分必要的，其中的數(shù)學(xué)含量極大. 事實(shí)上，凡與反應(yīng)擴(kuò)散有關(guān)的現(xiàn)象，大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學(xué)模型來定量或定性地加以解決. 的試題來自實(shí)際，是“真問題數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)處理”的“三合一”準(zhǔn)科研性質(zhì)的一種競賽，對上述這種有普遍意義和數(shù)學(xué)含量高，必須用計(jì)算機(jī)處理才能得到數(shù)值解的擴(kuò)散問題，當(dāng)然成為試題的重要來源，例如，

2、-90，就是這類試題；-90要研究治療帕金森癥的多巴胺（dopamine）在人腦中的分布，此藥液注射后在腦子里經(jīng)歷的是擴(kuò)散衰減過程，可以由線性拋物型方程這一數(shù)學(xué)模型來刻劃. -90要研究單層住宅混凝土地板中的溫度變化，也屬擴(kuò)散（熱傳導(dǎo)）問題，其數(shù)學(xué)模型與-90一樣，也是線性拋物型方程. 本文交代擴(kuò)散問題建模的思路以及如何推導(dǎo)出相應(yīng)的拋物型方程，如何利用積分變換求解、如何確定方程與解的表達(dá)式中的參數(shù)等關(guān)鍵數(shù)學(xué)過程，且以-90題為例，顯示一個(gè)較細(xì)致的分析、建模、求解過程. §1拋物型方程的導(dǎo)出設(shè)是時(shí)刻點(diǎn)處一種物質(zhì)的濃度. 任取一個(gè)閉曲面，它所圍的區(qū)域是，由于擴(kuò)散，從到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)，通過

3、流入的質(zhì)量為.由高斯公式得.（1）其中，分別是沿方向的擴(kuò)散系數(shù). 由于衰減（例如吸收、代謝等），內(nèi)的質(zhì)量減少為，（2）其中是衰減系數(shù). 由物質(zhì)不滅定律，在內(nèi)由于擴(kuò)散與衰減的合作用，積存于內(nèi)的質(zhì)量為.換一種角度看，內(nèi)由于深度之變化引起的質(zhì)量增加為顯然，即由之任意性得（4）方程（）是常系數(shù)線性拋物型方程，它就是有衰減的擴(kuò)散過程的數(shù)學(xué)模型，對于具體問題，尚需與相應(yīng)的定解條件（初始條件與邊界條件等）匹配才能求得確定情況下的解. §2irac函數(shù)物理學(xué)家Dirac為了物理模型之需要，硬是引入了一個(gè)當(dāng)時(shí)頗遭微詞的，使得數(shù)學(xué)與物理學(xué)傳統(tǒng)密切關(guān)系出現(xiàn)裂痕的“怪”函數(shù)：（5）它的背景是清晰的，以一條無

4、窮長的桿子為例，沿桿建立了一維坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為，桿的線密度是，在段，桿子質(zhì)量為，則有.（6）設(shè)此無窮長的桿子總質(zhì)量為，質(zhì)量集中在點(diǎn)，則應(yīng)有或?qū)懗?，其中為如果沿用?）中的算法，則在質(zhì)量集中分布的這種情形有且，于是得.（7）但是，從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，若一個(gè)函數(shù)除某點(diǎn)處處為零，則不論哪種意義下的積分，都必定為零，（7）式豈能成立！但是，函數(shù)對于物理學(xué)而言是如此之有用，以致物理學(xué)家正當(dāng)?shù)鼐芙^放棄它. 盡管當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們大都嘲笑這種函數(shù)，但.irac及其追隨者們在物理領(lǐng)域卻收獲頗豐，Dirac于1933年獲諾貝爾物理獎(jiǎng). 當(dāng)然Dirac也意識(shí)到不是一個(gè)通常的函數(shù)，至于找一種什么辦法來闡明這一符號的合法性

5、，那就是數(shù)學(xué)家的任務(wù)了. 1940年，法國數(shù)學(xué)家許瓦茲（L.Schwartz）嚴(yán)格證明了應(yīng)用的正確性，把函數(shù)置于堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上；1950年，L. Schwartz獲數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)Fields獎(jiǎng). 函數(shù)的重要性質(zhì)有：1）. （8）2）. （9）其中，即摘出了在的值. 3）. （10）4）的導(dǎo)數(shù)是存在的，不過要到積分號下去理解： （11） （12）事實(shí)上，由于在處為零，則形式地用分部積分公式其中，于是有（11）與（12）公式. 5）對于，有. （13）6）. （14）7）. （15）8）付立葉變換 （16） （17） （18）9）拉普拉斯變換 （19） （20）從上面的定義與性質(zhì)看出，Delta函

6、數(shù)與一般可微函數(shù)還是有重大區(qū)別的，我們說它是“廣義函數(shù). ”§3Cauchy問題的解設(shè)擴(kuò)散源在點(diǎn)處，則此擴(kuò)散問題滿足Cauchy問題對（21）（22）進(jìn)行付立葉變換，且令，由于故得常微分方程Cauchy問題得唯一解. （23）對（23）求逆變換，由于，故得（24）如果認(rèn)為經(jīng)過了相當(dāng)長時(shí)間后，擴(kuò)散已經(jīng)終止，物質(zhì)分布處于平衡狀態(tài)，則方程（4）中的，于是有線性橢圓型方程的邊值問題也可以用付立葉變換求解. 當(dāng)然，根據(jù)實(shí)際情況，還可以考慮第二邊條件或第三邊條件等，其中是區(qū)域的邊界，是外法線方向，是實(shí)常數(shù). §4 參數(shù)估計(jì)在Cauchy問題（21）（22）的解（23）中，有四個(gè)未知的參

7、數(shù)，它們分別是擴(kuò)散與衰減過程中的擴(kuò)散系數(shù)與衰減系數(shù)的算術(shù)平方根. 至于點(diǎn)源的質(zhì)量與位置是已知的.設(shè)觀測取樣為：取樣時(shí)刻為（不然設(shè)是取樣時(shí)間，則（21）變成，對而言，取樣時(shí)間為,而方程形狀與（21）一致），把在點(diǎn)觀測到的物質(zhì)密度與公式（24）都取對數(shù)，令，則.（25）令，則（25）寫成， （26）而我們已觀測得的數(shù)據(jù)，用三元回歸分析方法求出的估計(jì)值如下：， （27）其中滿足方程組其中由可求得的估計(jì)值，即.又由于，（28）由（27）式可得，再把代入（28）得.（29）至此得到參數(shù)的估計(jì)值，把它們代入（24）分別替代，則得不含未知參數(shù)的解的近似表達(dá)式. §5競賽試題分析AMCM-90A不可

8、用本文的思路與方法加以解決；該試題由東華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)系ves Nievergelt提供，要求研究藥物在腦中的分布，題文稱：“研究腦功能失調(diào)的人員欲測試新的藥物的效果，例如治療帕金森癥往腦部注射多巴胺（Dopamine）的效果，為了精確估計(jì)藥物影響到的腦部區(qū)域，它們必須估計(jì)注射后藥物在腦內(nèi)空間分布區(qū)域的大小和形狀. “研究數(shù)據(jù)包括50個(gè)圓柱體組織樣本的每個(gè)樣本藥物含量的測定值（如圖6-1），每個(gè)圓柱體長0.76mm，直徑0.66mm，這些互相平行的圓柱體樣本的中心位于網(wǎng)格距為1mm×0.76×mm×1mm的格點(diǎn)上，所以圓柱體互相間在底面上接觸，側(cè)面互不接觸. 注射是

9、在最高計(jì)數(shù)的那個(gè)圓柱體的中心附近進(jìn)行的. 自然在圓柱體之間以及由圓柱體樣本的覆蓋的區(qū)域外也有藥物. “試估計(jì)受到藥物影響的區(qū)域中藥物的分布. ”“一個(gè)單位表示一個(gè)閃爍微粒的計(jì)數(shù)，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排當(dāng)中那個(gè)圓柱體的含藥量是28353個(gè)單位. ”后方垂直截面164442132041418848070221441151583522091230272835313138681789212602092111731727213130337651715453前方垂直截面163324432243166712105560981048232213715531

10、1974247853304441143114960318230129420611036258188圖6-1數(shù)學(xué)模型只是實(shí)際問題的近似，要建立數(shù)學(xué)模型，一般首先要對所研究的實(shí)際問題進(jìn)行必要和允許的簡化與假設(shè)，而且，不同的簡化與假設(shè)，又可能導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)模型，例如2是拋物型方程模型，而3則是橢圓方程模型. 假設(shè)：（1）注射前大腦中的多巴胺含量可以忽略不計(jì). （2）大腦中多巴胺注射液經(jīng)歷著擴(kuò)散與衰減的過程，且沿三個(gè)方向的擴(kuò)散系數(shù)分別是常數(shù)，衰減使質(zhì)量之減少與深度成正比. （3）注射點(diǎn)在后排中央那個(gè)圓柱中心，即注射點(diǎn)的坐標(biāo)已知，注射量有醫(yī)療記錄可查，是已知的. （4）注射瞬間完成，可視為點(diǎn)源delta

11、函數(shù). （5）取樣也是瞬間完成，取樣時(shí)間已知為.（6）樣本區(qū)域與整個(gè)大腦相比可以忽略，樣本組織遠(yuǎn)離腦之邊界，不受大腦邊界面的影響. 在以上假設(shè)之下，顯然可以用本文前面講過的思路來建模，于是得AMCM-90A的數(shù)學(xué)模型為Cauchy問題（21）（22），解的表達(dá)式為（24），且用三元回歸分析來估出參數(shù)，于是可以求得任意位置任意時(shí)刻藥物的深度. 如果所給數(shù)據(jù)認(rèn)為是在平衡狀態(tài)測得的，藥物注射進(jìn)腦后，從高深度處向低深度處擴(kuò)散，與擴(kuò)散同時(shí)，一部分藥物進(jìn)入腦細(xì)胞被吸收固定，擴(kuò)散系數(shù)與吸收系數(shù)都是常數(shù)，但過一段時(shí)間，所有藥物都被腦細(xì)胞所固定，達(dá)到了平衡態(tài). 在這種假設(shè)下，3給出了下述的分析、建模、求解過程.

12、 設(shè)是時(shí)刻在點(diǎn)處游離的藥物濃度，是時(shí)刻點(diǎn)處吸收固定的藥物濃度，是達(dá)到平衡態(tài)時(shí)點(diǎn)處吸收固定的藥物濃度. 又設(shè)游離藥物在各方向上有相同的擴(kuò)散系數(shù)，吸收系數(shù)為，于是有.（30）又，即吸收速度與游離的濃度成正比，代入（30）得.（31）對（31）關(guān)于從到積分得.（32）由于最后無游離藥物，故，又開始時(shí)無被吸收的藥物，故；平衡狀態(tài)在時(shí)達(dá)到，這時(shí)，于是由（32）得，（33）其中是開始時(shí)的濃度分布，近似于注射點(diǎn)的點(diǎn)源脈沖函數(shù). 把此注射點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，則是注射量，于是，（34）作付立葉變換得再作反變換得，（35）其中是可計(jì)算常數(shù). 如果考慮各向不同性，設(shè)方向上擴(kuò)散系數(shù)分別為，注射點(diǎn)在，則，于是解為，（36）

13、（36）中的可計(jì)算常數(shù). 用前面類似的方法可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì). 在建模過程中，點(diǎn)源函數(shù)的使用顯然與實(shí)況有差別；尤其是認(rèn)為擴(kuò)散系數(shù)與吸收系數(shù)都是常數(shù)，對于人腦這種有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的區(qū)域，這種假設(shè)與實(shí)際不會(huì)完全符合；夜間與白天（睡與醒）對這些系數(shù)有無影響？腦中各點(diǎn)這些系數(shù)是否有變？除時(shí)間位置應(yīng)考慮外，可能還與藥液濃度有關(guān). 如此看來，腦內(nèi)藥液分布的數(shù)學(xué)模型很可能不是常系數(shù)線性偏微分方程，而是函數(shù)系數(shù)的線性微分方程甚至是非線性偏微分方程. 這時(shí)，其解不再能用封閉公式來表達(dá)，求解過程會(huì)變得極為復(fù)雜，所以也可以考慮是否試用其他數(shù)學(xué)模型來解，例如在平衡態(tài)的假設(shè)下，用回歸分析方法建立藥液的模擬分布.對一個(gè)實(shí)際問題，其數(shù)學(xué)模型未必唯一，各模型間孰優(yōu)孰劣，沒有一般的判別法，須經(jīng)實(shí)踐來檢驗(yàn). 參考文獻(xiàn)1葉其孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材，湖南教育出版社，1993.2Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Un