懸臂梁在均布荷載作用下有限元分析

1、懸臂梁承受集中荷載作用問題的彈塑性分析何方平 鄒里 （湘潭大學 土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105）摘要 本文針對曲桿在水平力作用下的受力性能，結合彈性力學基本方程和塑性力學中Mises屈服條件，得到了彈性階段應力、位移之間的關系，以及材料發(fā)生塑性變形時，處于臨界狀態(tài)點的應力、應變值。同時，利用有限元分析軟件ABAQUS，進行了數(shù)值模擬，分析結果與理論值吻合較好，證明所建立的有限元模型是合理的。關鍵詞：懸臂梁；集中荷載THE ELASTIC-PLASTIC ANALYSIS OF THE CANTILEVER BEAM UNDER concentrated loadHe Fang-P

2、ing Zhou Li（College of Civil Engineering & Mechanics, XiangTan University, Xiangtan 411105, China）【Abstract】This article in view of the force performance of CANTILEVER BEAM UNDER concentrated load, combined with elastic mechanics basic equations and the plastic mechanics Mises yield conditions, obta

3、ined the elastic stage between stress and displacement, and the relationship between material happen plastic deformation, a critical state points of stress and strain value. At the same time, the finite element analysis software ABAQUS, the numerical simulation and analysis results and a good agreem

4、ent with the theoretical value, show that the established finite element model is reasonable.Keywords: CANTILEVER BEAM concentrated load 題目：試考察應力函數(shù)能滿足相容方程，并求出應力分量（不記體力），畫出例題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩），指出該應力函數(shù)所能解決的問題。 圖1 1 彈性力學解（1）考察相容條件，將應力函數(shù)代入相容方程=0顯然滿足。（2）體力不計，求得應力分量表達式： （3）由應力分量求解應變分量（4

5、）邊界條件：a. 在的主要邊界上，應該滿足應力邊界條件如下： b.在應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件如下： （a） ， (b) (c) 對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內發(fā)生上述應力時，由應力邊界條件式可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變化的水平面合力為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂梁在自由端受集中力作用的問題。3 塑性解析解由彈性階段的應力、應變分量關系可知，矩形截面偏壓柱中縱向截面中任意一點的應力狀態(tài)和應變狀態(tài)都是相同的。材料為理想彈塑性材料，屈服應力為10000MPa。根據(jù)Mises屈服條件，有：當構件變形進入塑性階段后，屈服條件：在平面應力狀

6、態(tài)下，有一個主應力為零，假定則Mises屈服條件變?yōu)椋?在直角坐標系中：彈性解析解中：=0綜合以上各式，可得：由理想彈塑性模型（見圖3-1），可知，當時，；當時，。圖2 理想彈塑性模型彈性解析解中： 選取y=-5這一路徑上的點，如該處的應力達到材料的屈服應力（），則有當x=100時，得出臨界力F=1.67KN，從而可以得知，在臨界條件下，。理論解與有限元解的比較假定一組數(shù)據(jù)：h=10mm, L=100mm,b=1mm F=1KN，E=210000Mpa，=0.3那么可以得到計算結果如下：表1 路徑一的各節(jié)點理論值(固定端)編號xy/MPa/MPA1100-5600000.028572100-4

7、480054.000.022863100-3360096.000.017144100-22400126.000.011435100-11200144.000.00571610000150.00071001-1200144.00-0.00571481002-2400126.00-0.01142991003-360096.00-0.017143101004-480054.00-0.022857111005-60000-0.028571表2 路徑一的各節(jié)點有限元值編號xy/MPa/MPA1100-558920.000190.0282292100-44713.652.5960.0221263100-3

8、3535.293.5040.0166974100-22356.8122.7240.0115665100-11178.4140.2560.005834610000145.80.000012571001-1185.6139.968-0.0057881002-2371.2122.472-0.0116891003-3556.893.312-0.01687101004-4742.452.488-0.02229111005-59280.00023-0.02803 圖3 路徑一各點正應力理論解與有限元擬合 圖4 路徑一各點剪應力理論解與有限元擬合 圖5 路徑一各點正應變理論解與有限元擬合表3 路徑二的各節(jié)點

9、理論值(上邊界)編號xy/MPa/MPA15-530000.00143210-560000.00286320-5120000.00571430-5180000.00857540-5240000.01143650-5300000.01429760-5360000.01714870-5420000.02 980-5480000.022861090-5540000.025711195-5570000.02714 表4 路徑二的各節(jié)點有限元值(上邊界)編號xy/MPa/MPA15-5296.1-4.52435E-160.00144210-5592.2-3.25815E-160.002896320-51

10、211.76-2.14842E-160.005788430-51817.64-1.05703E-160.008681540-52349.62.90567E-180.011573650-529371.11613E-160.014466760-53524.42.21109E-160.017359870-54176.483.32787E-160.020251 980-54773.124.52772E-160.0231441090-55513.45.59642E-160.0260351195-55819.76.71073E-160.027321圖6 路徑二各點正應力理論解與有限元擬合圖7 路徑二各點剪

11、應力理論解與有限元擬合圖8 路徑二各點正應變理論解與有限元擬合從上圖可以看出，abaqus模擬的結果與理論結果比較吻合，通過表1與表2、表3與表4的數(shù)據(jù)，可以得到路徑一上的的理論值絕對值平均值為36000，模擬平均值為35460，兩者誤差為0.13%。的理論平均值為90，模擬平均值為87.55636，兩者誤差為2.7%，正應變的理論平均值絕對值為0.015584，有限元模擬值為0.015351，兩者誤差為1.5%。路徑二上的的理論平均值為3000，模擬平均值為2969.722，兩者誤差為1.0%。的理論平均值為0，模擬平均值為1.13919E-16，兩者誤差很小，應變的理論平均值為0.0142

12、85，有限元模擬值為0.01445，兩者誤差為1.1%。分析誤差原因可能是因為有限元分析本來就是近似分析帶來的系統(tǒng)誤差等，但是誤差均在允許范圍之內，所以abaqus模擬值是合理的。4 彈塑性有限元分析(1) 定義單元類型：通過查閱abaqus的單元庫對單元的性質和應用范圍進行了解,選擇八結點雙向二次平面應力四邊形單元，縮減積分。(2) 定義材料參數(shù)：主要輸入的是彈性模量，泊松比，假定彈性模量為210GPa，泊松比為0.3。(3) 建立模型：該模型為平面應力模型，通過abaqus建立二維幾何平面應力模型，在abaqus中生成有限元模型。 (4) 劃分網(wǎng)格利用abaqus的網(wǎng)格劃分工具，設置網(wǎng)格，采用結構方式劃分網(wǎng)格，劃分網(wǎng)格后的模型如圖2所示。 有限元網(wǎng)格劃分(5) 加載數(shù)據(jù)在懸臂梁自由端施加一個大小為1kN的集中力，設定加載時間為1秒，分1個子步，每個子步1秒。(6) 求解(7) 后處理求解后，abaqus得到了結構在當前邊界條件下受力的詳細情況，如各節(jié)點和單元的應力應變值，受力后結構的變形情況，等等?，F(xiàn)列舉幾個重要結果如下。 應力變形變形云圖 應變云圖5總結通過對上述問題