微積分10無(wú)窮級(jí)數(shù)聯(lián)系和習(xí)題解答

1、第10章 無(wú)窮級(jí)數(shù)練習(xí)和習(xí)題解答練習(xí)10.11.寫(xiě)出下列級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)：(1)；解：該級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為(2)；解：該級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為(3)；解：該級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為(4).解：該級(jí)數(shù)一般項(xiàng)為2.用定義判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1)解：，顯然不存在，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)解：，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)解：，故原級(jí)數(shù)收斂.(4)解：，所以當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)或 時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)解：，故原級(jí)數(shù)收斂.練習(xí)10.21.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1)；解：因?yàn)橥?xiàng)，不滿足通項(xiàng)極限為零的級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)；解：因?yàn)椴淮嬖?，不滿足通項(xiàng)極限為零的級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3);解：因?yàn)?/p>

2、，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(4);解：因?yàn)?，故原?jí)數(shù)發(fā)散.(5);解：因?yàn)椋?jí)數(shù)和均為公比小于1的幾何級(jí)數(shù)，都收斂，因此原級(jí)數(shù)收斂.(6) ;解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，在其前面加上100項(xiàng)后的新級(jí)數(shù)仍然收斂.(7)解：因?yàn)榧?jí)數(shù)為發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)為收斂的幾何級(jí)數(shù)，收斂級(jí)數(shù)和發(fā)散級(jí)數(shù)之和發(fā)散.2.若級(jí)數(shù)收斂，指出下列哪些級(jí)數(shù)是一定收斂的，哪些級(jí)數(shù)是發(fā)散的.(1);解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)和也收斂，因此原級(jí)數(shù)也收斂.(2)(為某一確定的自然數(shù))解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)相當(dāng)于級(jí)數(shù)去除前項(xiàng)后的新級(jí)數(shù)也收斂.(3)解：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以，故，即級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)10.31.用比較判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1)；解：

3、因?yàn)橥?xiàng)，而級(jí)數(shù)為收斂的幾何級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)收斂.(2)；解：因?yàn)橥?xiàng)，而級(jí)數(shù)為收斂的-級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)收斂.(3)；解：因?yàn)橥?xiàng)，而級(jí)數(shù)相當(dāng)于發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散.(4)；解：因?yàn)橥?xiàng)，又調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)也發(fā)散，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)也發(fā)散.(5)；解：令，顯然參照級(jí)數(shù)為收斂的-級(jí)數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級(jí)數(shù)也收斂.(6)；解：令，顯然參照級(jí)數(shù)為收斂的-級(jí)數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級(jí)數(shù)也收斂.(7)；解：令，顯然參照級(jí)數(shù)為收斂的-級(jí)數(shù)，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知原級(jí)數(shù)也收斂.(8).解：因?yàn)橥?xiàng)，參照級(jí)數(shù)為收斂

4、的-級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)也收斂.2.用比值判別法或根值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1)；解：因?yàn)?，根?jù)比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.(2)；解：因?yàn)椋鶕?jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)；解：因?yàn)?，根?jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.(4)；解：因?yàn)椋鶕?jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.(5)；解：因?yàn)?，根?jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.(6).解：因?yàn)椋鶕?jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.3. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂：(1)；解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，令，由于，且，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂判別法，該級(jí)數(shù)收斂.又由于是發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù)，因此原級(jí)數(shù)條件收斂.(2)；解：由于，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，因

5、此原級(jí)數(shù)發(fā)散.(3)；解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，因此該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(4)；解：令，由于，而級(jí)數(shù)是收斂的-級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法級(jí)數(shù)收斂，因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(5).解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，令，根據(jù)-級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)，我們知道，時(shí)，收斂，因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；時(shí)，發(fā)散，且，根據(jù)萊布尼茨判別法，原級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂；時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)10.41.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1)解：令，收斂半徑，收斂區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(2)解：令，所以收斂半徑為，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(3)解：令，所以收斂半徑為，原級(jí)數(shù)只在處

6、收斂.(4)解：令，原關(guān)于的冪級(jí)數(shù)化為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，收斂半徑， 的收斂半徑為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，因此，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?(5)解：設(shè)，原關(guān)于的冪級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的冪級(jí)數(shù).,冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為因此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也為，收斂區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，因此，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2.利用例10-33的結(jié)果，求級(jí)數(shù)的和.解：根據(jù)例10-33，.3.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.解：設(shè)，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，兩邊同時(shí)在上積分，得，由，得，即，.練習(xí) 10.51. 寫(xiě)出下列函數(shù)的階麥克勞林公式：(1)解：，在0到之間，(2)解：時(shí)，其中，.2.將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域：(1

7、)；解：由于,所以,(2)；解:由于,(3).解:根據(jù),可知，兩邊在上積分，由于，所以，3.將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解：對(duì)求導(dǎo)，得 由于，所以，上式兩邊在區(qū)間上積分，得，由于，因此，.4.利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式求下列各數(shù)的近似值：(1)（精確到0.001）解：根據(jù)，在到之間時(shí)，只要 ，即只要當(dāng)時(shí)，所以只要去展開(kāi)式的前5項(xiàng)就可得到滿足精度的近似值：(2)（精確到0.001）解：根據(jù),取，當(dāng)，(3)（精確到0.0001）解：根據(jù)，在0到之間，取，當(dāng)時(shí)，取展開(kāi)式的前3項(xiàng)即可得到近似值：(4)（精確到0.0001）；解：習(xí) 題 十1.選擇題：（1）若級(jí)數(shù)收斂，則（ ）；A.級(jí)數(shù)收斂B.級(jí)數(shù)收斂C.級(jí)數(shù)收

8、斂D.級(jí)數(shù)收斂答案：A，B，C，D，（*本題好像有問(wèn)題）（2）若級(jí)數(shù)收斂，且，則必定（ ）；A.收斂 B. 發(fā)散C.可能收斂,可能發(fā)散 D. 以上都不對(duì)答案：C（3）是級(jí)數(shù)發(fā)散的（ ）； A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件答案：A（4）已知，則（ ）；A.收斂于0 B.收斂于 C.收斂于 D.發(fā)散答案：C（5）若級(jí)數(shù)，均發(fā)散，則（ ）；A.發(fā)散 B.發(fā)散C.發(fā)散 D.發(fā)散答案：C（6）若級(jí)數(shù)收斂，則必有（ ）；A. 收斂 B. 收斂C. D. 發(fā)散答案：D（7）級(jí)數(shù)收斂是級(jí)數(shù)收斂的（ ）；A.必要條件 B.充分條件 C.充要條件 D.無(wú)關(guān)條件答案：B（8）設(shè)為正項(xiàng)

9、級(jí)數(shù)，則（ ）；A.若，則收斂B. 若收斂，則收斂C. 若收斂，則收斂D. 與的斂散性互不相關(guān)答案：B（9）設(shè)對(duì),總有不等式成立，則（ ）；A. ，收斂，則必有收斂B. 若，發(fā)散，必有發(fā)散C. D. 以上結(jié)論均不成立答案：A（10）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且其和為，則下列敘述不正確的是（ ）；A. 為任意自然數(shù),收斂（*本選項(xiàng)原題有誤）B.和都收斂C.收斂，且D. 可能收斂，可能發(fā)散答案：D（11）級(jí)數(shù)發(fā)散，因?yàn)椋?）；A它是級(jí)數(shù)，且 B.C.，通項(xiàng)不趨于0 D. 以上都不對(duì)答案：C（12）設(shè)為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（ ）；A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散 D.收斂性取決于的值答案：C（13）設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中必

10、收斂的是（ ）；A. B. C. D.答案：C（14）若級(jí)數(shù)（為實(shí)數(shù)）條件收斂，則有（ ）.A. B. C. D.答案：D（15）若冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑（ ）；A. B. C. D.答案：D （16）對(duì)于冪級(jí)數(shù)，下列敘述不正確的是（ ）；A.原點(diǎn)是它的收斂點(diǎn)B.其收斂域是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的區(qū)間C.其收斂半徑D.它的收斂域有可能為空集答案：D（17）若級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，則級(jí)數(shù)在時(shí)（ ）；A.條件收斂 B.絕對(duì)收斂 C.發(fā)散 D.不能確定答案：B （18）若級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散，在處收斂，則常數(shù)（ ）；A.1 B. C.2 D.答案：B（19）級(jí)數(shù)的和函數(shù)是（ ）；A.B. C. D.答案：D（

11、20）已知級(jí)數(shù)，則（ ）.A.B. C. D.答案：C2.填空題：（1）若冪級(jí)數(shù)的部分和序列為，則_，_；答案：，（2）若級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)_；答案：（3）若級(jí)數(shù)收斂，則的取值范圍為_(kāi)；答案：（4）冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)；答案：或（5）若冪級(jí)數(shù)在實(shí)軸上收斂，則滿足條件_；答案：（6）_；答案：（7）_.答案：3.判斷題：（1）如，則級(jí)數(shù)收斂； （ ）答案：錯(cuò)（2）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)收斂； （ ）答案：錯(cuò)（3）如級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂，必推得級(jí)數(shù)收斂； （ ）答案：對(duì)（4）； （ ）答案：錯(cuò)（5）若對(duì)，總有不等式成立，則如級(jí)數(shù)發(fā)散，也發(fā)散；（ ）答案：錯(cuò)（6）若級(jí)數(shù)中加括號(hào)后發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散； （ ）答

12、案：對(duì)（7）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則必有； （ ）答案：錯(cuò)（8）若級(jí)數(shù)收斂，則也收斂，其中為一個(gè)非零常數(shù)； （ ）答案：錯(cuò)（9）由展開(kāi)式，有；（ ）答案：錯(cuò)（10）若為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； （ ）答案：錯(cuò)（11）若 為發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則必有； （ ）答案：錯(cuò)（12）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂； （ ）答案：對(duì)（13）若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散； （ ）答案：對(duì)（14）若對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，總有，則該級(jí)數(shù)收斂； （ ）答案：錯(cuò)（15）若對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，總有，則該級(jí)數(shù)發(fā)散； （ ）答案：對(duì)（16）若對(duì)，總有不等式，則必有； （ ）答案：錯(cuò)（17）若，則級(jí)數(shù)與有相同的斂散性. （ ）答案：錯(cuò)4.

13、根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2)；解：,，原級(jí)數(shù)收斂，且收斂于2.(3).解：原級(jí)數(shù)收斂，且收斂于3.5.已知級(jí)數(shù)的部分和，寫(xiě)出這個(gè)級(jí)數(shù).解：由，可知，顯然此時(shí)，不難知道，因此該級(jí)數(shù)為.6.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：本級(jí)數(shù)通項(xiàng)的分子分母的最高次數(shù)都是3，顯然，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）；解：本級(jí)數(shù)通項(xiàng)，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散.（3）；解：顯然級(jí)數(shù)和都是公比的絕對(duì)值小于1的幾何級(jí)數(shù)，均收斂，因此原級(jí)數(shù)收斂.（4）；解：幾何級(jí)數(shù)的公比滿足，該級(jí)數(shù)收斂，在該級(jí)數(shù)前加上3項(xiàng)后得到的新級(jí)數(shù)也收斂，即原級(jí)數(shù)收

14、斂.（5）； 解：時(shí)，該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故該級(jí)數(shù)發(fā)散.（6）.解：該級(jí)數(shù)通項(xiàng)，由于，因此.因?yàn)?，幾何?jí)數(shù)收斂，因此原級(jí)數(shù)收斂.7. 用比較判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：由于，而是收斂的幾何級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)收斂.（2）；解：由于，而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)收斂.（3）；解：由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）；解：當(dāng)時(shí)，而幾何收斂，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)也收斂，因此原級(jí)數(shù)也收斂.（5）；解：由于，而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法的極限形式，級(jí)數(shù)收斂.（6）.解：由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，級(jí)數(shù)發(fā)散.8.用比值判別法或根

15、值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；解：本級(jí)數(shù)應(yīng)該用根值判別法判別其斂散性.,由根值判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散.（2）；解：該級(jí)數(shù)通項(xiàng)，令，根據(jù)比值判別法，級(jí)數(shù)收斂，再由比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（3）；解：，由比值判別法，原級(jí)數(shù)發(fā)散.（4）；解：，由比值判別法，原級(jí)數(shù)發(fā)散.（5）；解：由根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（6）；解：由比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（7）；解:由根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（8）（其中）且）；解:由根值判別法，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.（9）.解：由比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.9.判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）； 解：由比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（2）； 解：由于級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂，所以

16、原級(jí)數(shù)發(fā)散.（3）；解：設(shè)，由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較判別法的極限形式，原級(jí)數(shù)也發(fā)散.（4）； 解： ，根據(jù)比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（5）； 解：，根據(jù)根值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.（6）；解：該級(jí)數(shù)通項(xiàng)，令，顯然級(jí)數(shù)是收斂的級(jí)數(shù)，又根據(jù)比較判別法的極限形式，原級(jí)數(shù)收斂.（7）； 解：令，顯然調(diào)和發(fā)散，而，根據(jù)比較判別法的極限形式，原級(jí)數(shù)也發(fā)散.（8）；解：該級(jí)數(shù)通項(xiàng)，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.（9）；解：記，令，由于，而級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)也收斂.（10）；解：，由于級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法， 級(jí)數(shù)也收斂，因此原級(jí)數(shù)也收斂，（并且是絕對(duì)收斂）.（11）；解：令，而級(jí)數(shù)

17、是收斂的幾何級(jí)數(shù)，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)也收斂.（12）.解：時(shí)，此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)，此時(shí)原級(jí)數(shù)也發(fā)散；時(shí)，根據(jù)比值判別法，原級(jí)數(shù)收斂.10.下列級(jí)數(shù)哪些是絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散的：（1）； 解：該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，令，且，根據(jù)Leibniz判別法，原級(jí)數(shù)收斂，（2）；解：（3）解：（4）；解：（5）；解：（6）；解：（7）；解：（8）；解：（9） （）； 解：（10）；解：（11）； 解：（12）；解：(13)； 解：（14）；解：（15）.解：11.討論級(jí)數(shù)的收斂性.12.討論級(jí)數(shù)的收斂性.13.證明：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.14.證明：（1）設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂，試問(wèn)反之是否成立？（2）設(shè)，且數(shù)列有界，證明級(jí)數(shù)收斂；（3）若級(jí)數(shù)，收斂，證明絕對(duì)收斂；（4）設(shè)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)（）也收斂；15.設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，試證：有的一切正項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)是收斂的；有的一切負(fù)項(xiàng)組成級(jí)數(shù)也是收斂的.16.證明：，其中為常數(shù)且.17.確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）；（8）.18.將下列函數(shù)展開(kāi)成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域