21屆希望杯初一2試試題詳細(xì)解答

1、第二十一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一 第2試一、選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題后面的圓括號(hào)內(nèi)1若a-b的相反數(shù)是2b-a，則b=( )(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.2某工廠3月份的產(chǎn)值比2月份增加10%，4月份的產(chǎn)值比3月份減少10%，則( )(A)4月份的產(chǎn)值與2月份相等 (B)4月份的產(chǎn)值比2月份增加(C)4月份的產(chǎn)值比2月份減少 (D)4月份的產(chǎn)值比2月份減少3如圖1，ABC中，A、B、C的外角分別記為，若：:，=3:4:5，則A：B：C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:

2、4:5. (D)5:4:3.4若m=，則m是( )(A)奇數(shù)，且是完全平方數(shù) (B)偶數(shù)，且是完全平方數(shù)(C)奇數(shù)，但不是完全平方數(shù) (D)偶數(shù)，但不是完全平方數(shù)5有兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，且它們平方的個(gè)位數(shù)字相同，這樣的兩位質(zhì)數(shù)的組數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area ofthombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C)

3、 43cm2. (D) 53cm2.（英漢詞典：square正方形；thombus菱形）7要將40kg濃度為16%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，則需蒸發(fā)掉水( )(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.8如圖3，等腰直角ABC的腰長(zhǎng)為2cm.將ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。則線段AB掃過(guò)的面積是( ) 9若一個(gè)兩位數(shù)恰等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則這個(gè)兩位數(shù)稱為“巧數(shù)”則不是“巧數(shù)”的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) (A)82. (B)84. (C)86. (D)88. 10.如果在一個(gè)正方體的每個(gè)面內(nèi)寫(xiě)一個(gè)正整數(shù)，然后，在每個(gè)頂點(diǎn)處再寫(xiě)一個(gè)數(shù)，該數(shù)等于過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面內(nèi)的

4、數(shù)的乘積，那么當(dāng)該正方體各個(gè)頂點(diǎn)處的數(shù)之和是290時(shí)，各個(gè)面內(nèi)的數(shù)之和等于( ) (A)34. (B)35. (C)36. (D)37.二、填空題（每小題4分，共40分）11.甲、乙兩車從A向B行駛，甲比乙晚出發(fā)6小時(shí)，甲、乙的速度比是4：3.甲出發(fā)6小時(shí)后，速度提高1倍，甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B則甲從A到B共走了 小時(shí)12.若有理數(shù)x,y，歲滿足方程，則 13.圖4是一個(gè)六角星，其中 14.加工某種工件，須順次進(jìn)行三道工序，工作量的比依次是2：1：4甲完成1個(gè)工件與第二個(gè)工件的前兩道工序，所用時(shí)間為t已知甲和乙的加工效率比是6:7，則乙完成一個(gè)工件，需要的時(shí)間是f的_倍15. -個(gè)直四棱柱的三視

5、圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖5所示，它的俯視圖是菱形，則這個(gè)直四棱柱的側(cè)面積為 16.有這樣一種衡量體重是否正常的算法：一個(gè)男生的標(biāo)準(zhǔn)體重（單位：千克）等于其身高（單位：厘米）減去110.當(dāng)實(shí)稱體重在標(biāo)準(zhǔn)體重的90%和110%之間（舍邊界）時(shí)，就認(rèn)為該男生的體重為正常體重，已知男生甲的身高是161厘米，實(shí)稱體重是55千克根據(jù)上述算法判定，甲的體重 正常體重（填“是”或“不是”）17. Ifa2-a+1and a2+a-3 are opposite numbers to each other,and themverse number of a is less than the opposite number

6、 of a,then= （英漢詞典：inverse number倒數(shù)；opposite相反的）18.從長(zhǎng)度為1的線段開(kāi)始，第一次操作將其三等分，并去掉中間的一段；第二次操作將余下的線段各三等分，并去掉所分線段中間的一段此后每次操作都按這個(gè)規(guī)則進(jìn)行圖6是最初幾次操作的示意圖，當(dāng)完成第六次操作時(shí)，余下的所有線段的長(zhǎng)度之和為 19.已知m，n都是正整數(shù)，且是整數(shù)若的最大值是a，最小值是b，則a+b= 20.從最小的質(zhì)數(shù)算起，若連續(xù)n（n是大于1的自然數(shù)）個(gè)質(zhì)數(shù)的和是完全平方數(shù)，則當(dāng)n最小時(shí)， 三、解答題 每題都要寫(xiě)出推算過(guò)程21（本題滿分10分）設(shè)a=，證明：a是37的倍數(shù)22（本題滿分15分） (

7、1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d直線a，b和c相交于一點(diǎn)直線b，c和d也相交于一點(diǎn)，試確定這4條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？并說(shuō)明你的理由 (2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行，說(shuō)明：以這5條直線的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？ 23.（本題滿分15分） 軌道AB長(zhǎng)16.8米，從起點(diǎn)站A到終點(diǎn)站B，每2.4米設(shè)一站點(diǎn)甲、乙兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)從A站點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B站點(diǎn)后，再返回，在A和B兩站點(diǎn)之間反復(fù)運(yùn)動(dòng)甲、乙運(yùn)動(dòng)的速度都是0.8米秒，甲每到達(dá)一個(gè)站點(diǎn)就休息1秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從A站點(diǎn)出發(fā)后2分鐘結(jié)束運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：它們出發(fā)后，曾幾次同時(shí)到達(dá)同一站點(diǎn)（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）?答案詳解：1、B a-b

8、=-2b-a=a-2b，b=02、D 設(shè)2月份的產(chǎn)值為1，3月份的產(chǎn)值就是1.1，4月份的產(chǎn)值又比3月份減少10%，那么4月份的產(chǎn)值是 1.1×1-10%=0.99，所以4月份的產(chǎn)值比2月份減少0.01，即11003、A 設(shè)+=3k+4k+5k=12k，多邊形外角和360度法一：，求出A=90，B=60，C=30，A：B：C=3：2：1法二：180=6k，互為鄰補(bǔ)角之和為180，A：B：C=（6k-3k）：（6k-4k）：（6k-5k）=3：2：14、B m=2009×2010+2010×20112=2010×2009+20112=2010×2

9、×20102=20102EM5、D 兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，差是6的個(gè)位搭配有（1，7），（3，9），（7，13）紅色的這組比較容易忽略，平方的個(gè)位數(shù)相同的質(zhì)數(shù)個(gè)位搭配有（1，9），（3，7），綜合兩個(gè)條件，符合的質(zhì)數(shù)組有（17，23），（37，43），（47，53），（67，73）四組6、C 圖中陰影部分為不規(guī)則圖形，常用割補(bǔ)法或作差法，此處使用作差法比較簡(jiǎn)單。正方形ABCD面積已知169 cm2，可得BC=13 cm，菱形BCPQ面積已知156 cm2，所以高QE=12 cm，可求得梯形BCMQ面積為126 cm2，作差得陰影面積為43 cm2A1B17、A

10、法一：原鹽水含鹽40kg×16%=6.4kg，水蒸發(fā)后鹽水總質(zhì)量為6.4kg/20%=32kg 法二：設(shè)蒸發(fā)水Xkg，40×16%=（40-X）×20%，解得X=88、B 圖像轉(zhuǎn)動(dòng)了90度，線段AB掃過(guò)的是個(gè)圓環(huán)，如果這是個(gè)完整的圓環(huán)，圓環(huán)的面積是以BC為半徑的圓減去以AC為半徑的圓，面積是 222-22=4cm2, 將ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,AB并沒(méi)有掃過(guò)整個(gè)圓環(huán)，但是如果旋轉(zhuǎn)360度就是完整的圓環(huán)，根據(jù)周期性，可得此時(shí)AB掃過(guò)的面積是1/4圓環(huán)的面積，就是cm29、C 設(shè)ab，有10a+b=4a+4b,得2a=b，巧數(shù)有12，24，36，48，其中10到

11、99共有90個(gè) 兩位數(shù)，不是巧數(shù)的兩位數(shù)有90-4=86（個(gè)）abcdef10、C 如圖分別設(shè)六個(gè)面上的正整數(shù)為a,b,c,d,e,f。依題意有abe+abf+bcf+cdf+cde+ade+adf+bce=ab(e+f)+cd(e+f)+bc(e+f)+ad(e+f)=(ab+cd+bc+ad)(e+f)=a(b+d)+c(b+d)(e+f)=(a+c)(b+d)(e+f)=290因?yàn)?90=2×5×29=1×10×29又因?yàn)閍,b,c,d,e,f為正整數(shù)，即a+c>1,所以a+b+c+d+e+f=2+5+29=3611、8.4 法一：設(shè)甲的速度

12、為4，乙的速度為3，甲經(jīng)過(guò)t追上乙 (12+t)×3=6×4+t×8 解得t=2.4 法二：設(shè)乙出發(fā)12小時(shí)后，甲走了4k，乙走了6k，甲比乙少走2k；甲加速后12小時(shí)走16k，乙走6k，甲每追上1k需要12/10k時(shí)間，所以甲追上乙需要（12/10k）×2k=2.4小時(shí)。 甲后來(lái)追上乙的時(shí)間，加上原來(lái)走的6小時(shí)，共8.4小時(shí)。P12、8 x+y-2=0x+2y=0x=4y=-2x2+y2=42+-23=813、120° 如圖，P為AD與BF的交點(diǎn)。 因?yàn)?AOE=B+BPD, BPD=D+F 所以AOE=B+D+F 同理AOE=A+C+E 所

13、以，A+B+C+D+E+F=2×AOE=120°14、0.6 甲每個(gè)工作量需要0.1t，那么乙每個(gè)工作量需要0.1t×67，完成一個(gè)工件，就是7個(gè)工作量，需時(shí)0.6tA15、80 ODBC根據(jù)圖示，AC=3cm，BD=4cm，AC與BD相交于O點(diǎn)，勾股定理可得，AO2+BO2=AB2，AB=2.5cm，側(cè)面積S=8×AB×4=80cm216、是 90%×55<（161-110）/55<110%×5517、0 a2-a+1=-(a2+a-3)1a<-aa=-1-12009+-12010=018、64729 原

14、長(zhǎng)度為1，第一次操作后剩原來(lái)的23，第二次操作后是第一次操作后的23，即是原長(zhǎng)度的232，完成第六次操作后是原來(lái)的236=6472919、1.8 設(shè)4m6m-3n=t-2,-1,1,2注意，這里t不能取0， 原式：4m=6mt-3nt (6t-4)m=3nt mn=3t6t-4=12-43t-2,-1,1,2 當(dāng)mn取最大值時(shí)，要求2-43t取最小的正值，t=1，a=32 當(dāng)mn取最小值時(shí)，要求2-43t取最大的正值，t=-1，b=31020、89 將質(zhì)數(shù)從2開(kāi)始加，可得2+3+5+7+11+13+17+19+23=100=102所以n=9,|1-n-n2|=8921、解： 而且即是37的倍數(shù)

15、22、解：（1）直線，和共有1個(gè)交點(diǎn)。理由如下：設(shè)直線，的交點(diǎn)為P，直線，的交點(diǎn)為Q。這意味著點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是直線和的交點(diǎn)，由于兩條不同的直線至多有一個(gè)交點(diǎn)，因此點(diǎn)P和點(diǎn)Q必是同一個(gè)點(diǎn)，即4條直線，相交于同一個(gè)點(diǎn)，故4條直線，只有1個(gè)交點(diǎn)（不妨記為點(diǎn)O）。（2）作的第5條直線與（1）中的直線平行直線和直線沒(méi)有公共點(diǎn)直線不過(guò)點(diǎn)O，而直線，與直線相交于點(diǎn)O，直線，與直線都相交（與兩條平行線中的 一條相交的直線必與另一條相交）設(shè)直線與直線，分別相交與點(diǎn)A，B和C，這時(shí)圖中有A，B，C，O四個(gè)不同的點(diǎn)，可以畫(huà)出OA，OB，OC，AB，AC，BC共6條線段。23、解：甲在相鄰兩站之間運(yùn)動(dòng)需要（秒），每到達(dá)一個(gè)站點(diǎn)休息