實(shí)變函數(shù)習(xí)題解答

1、第一章 習(xí)題解答1、證明 A(BC)(AB)(AC)證明：設(shè)xA(BC)，則xA或x(BC)，若xA，則xAB，且xAC，從而x(AB)(AC)。若xBC，則xB且xC，于是xAB且xAC，從而x(AB)(AC)，因此A(BC) (AB)(AC)(1)設(shè)x(AB) (AC)，若xA，則xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC) A(BC)(2)由(1)、(2)得，A(BC)(AB)(AC) 。2、證明ABA(AB)(AB)BA(BC)(AB)(AC)(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)84(AB)(CD)(AC)(BD)A(

2、AB)AB證明：A(AB)AC(AB)A(CACB)(ACA)(ACB)(ACB)AB(AB)B(AB)CB(ACB)(BCB)(ACB)AB(AB)(AC)(AB)C(AC)(AB)(CACC)(ABCA)(ABCC)A(BCC)A(BC)(AB)C(ACB)CCAC(BC)A(BC)A(BC)AC(BCC)A(CBC)(ACB) (AC)(AB)(AC)(AB)(CD)(ACB)(CCD)(AC)(CBCD)(AC)C(BD)(AC)(BD)A(AB)AC(ACB)A(CAB)(ACA) (AB)(AB)AB3、證明： (AB)C(AC)(BC)85A(BC)(AB)(AC)證明：(AB)

3、C(AB)CC(ACC)(BCC)(AC)(BC)(AB)(AC)(ACB)(ACC)(AA)(CBCC)AC(BC)A(BC)4、證明：()證明：設(shè)()，則，于是，、，從而，所以，所以，() 。86設(shè)，則、，即，于是，即()，所以 ()，由以上兩步得() = 5、證明：()B(B)()B(B)證明：()B()CB(CB)(B)()B()CB=(CB)(B)876、設(shè)是一列集合，作=，=-()>1。證明是一列互不相交的集，而且=，=1，2，3，。證明：設(shè)，不妨設(shè)<，因?yàn)椋?()=(C)=C(C)=(C)(C)=()= =，互不相交。 ， = 。88另一方面，設(shè)，則存在最小的自然數(shù)，

4、使， -=， = 。7、設(shè)=(0，)，=(0，)，=1，2，求出集列的上限集和下限集。解：。 =(0，)，=(0，)， 。=()=(0，)=(0，)=(0，)=(0，)=()=89=(0，)= = 。8、證明：=證明：，有， ， = 。9、作出一個(gè)(1，1)和(，)的11對(duì)應(yīng)，并寫出這一對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式。解：y=tg，(1，1)，y(，)。10、證明將球面去掉一點(diǎn)以后，余下的點(diǎn)所成的集合和整個(gè)平面上的點(diǎn)所成的集合是對(duì)等的。90證明：用P表示在球面上挖去的那一點(diǎn)，P與球心O的連線交球面于M，過(guò)M作球面的切平面，過(guò)P點(diǎn)和球面上任一點(diǎn)引直線，該直線與平面交于，將與對(duì)應(yīng)，P與M對(duì)應(yīng)，則球面上的點(diǎn)與整個(gè)

5、平面上的點(diǎn)用上述方法構(gòu)成一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，由對(duì)等的定義，挖去一點(diǎn)的球面與平面是對(duì)等的。11、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素，則A至多為可數(shù)集。證明：由有理數(shù)的稠密性知，在每一區(qū)間中至少含有一個(gè)有理數(shù)，在每一開區(qū)間中任取一有理數(shù)與該區(qū)間對(duì)應(yīng)，由于開區(qū)間互不相交，故不同開區(qū)間對(duì)應(yīng)不同的有理數(shù)，但有理數(shù)全體為一可數(shù)集，其子集至多是可數(shù)集，所以直線上互不相交的開區(qū)間作成的集至多是可數(shù)集。12、證明所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一可數(shù)集。證明：以表示這個(gè)集合，表示次有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體，則= 。91由+1個(gè)獨(dú)立記號(hào)，即次多項(xiàng)式的1個(gè)有理系數(shù)所決定，其中首項(xiàng)系數(shù)為異于0的有理數(shù)，其余系數(shù)可取一切有理數(shù)，因此，每個(gè)記號(hào)獨(dú)立地跑遍一個(gè)可數(shù)集，所以，是可數(shù)集，也是可數(shù)集。13、設(shè)A是平面上以有理點(diǎn)（坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集。證明：A中任一元素由三個(gè)獨(dú)立記號(hào)（a，b，r）所決定，其中（a，b）是圓心的坐標(biāo)，r是圓的半徑，a、b各自跑遍全體有理數(shù)，r跑遍大于0的有理數(shù)，而且它們都是可數(shù)集，故A是可數(shù)集。14、證明單調(diào)增加函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個(gè)。證明：設(shè)是(，)上的單調(diào)增加函數(shù)，其不連續(xù)點(diǎn)的全體記為E，設(shè)E，由數(shù)學(xué)分析知，