考研能力提升訓練題

1、一、函數(shù)、極限和連續(xù)一、單項選擇題：1. 設(shè)的定義域為，則復合函數(shù)的定義域為( )A. B. C. D. 2. 當時，下列無窮小量中與不等價的是( )A. B. C. D. 3. 若，則，的值分別為( )A. ， B. ，C. ，任意 D. ，任意4. 設(shè)、在內(nèi)有定義，在連續(xù)，有間斷點，則下列函數(shù)中必然有間斷點的是( )A. B. C. D. 5. 若，則對于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存在正數(shù)，使得當滿足不等式( )時，恒有成立A. B. C. D. 6. 在內(nèi)，函數(shù)( )A. 單調(diào)增加的無界函數(shù) B. 單調(diào)減少的無界函數(shù)C. 單調(diào)增加的有界函數(shù) D. 單調(diào)減少的有界函數(shù)7. 設(shè)，不存

2、在，則是( )A. 一定存在 B. 等于C. 不一定存在 D. 一定不存在二、填空題：8. 設(shè)的定義域為，則的定義域為 .9. 設(shè)，則 .10. 設(shè)，則 .11. 設(shè)在點處連續(xù)，若，則 .12. .13. 如果，則 .14. 已知當時，與是同階無窮小量，則 .15. 設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，則 ， .16. .三、計算題：17. 求極限.18. 求極限（）.19. 求函數(shù)的間斷點.20. 設(shè)，證明數(shù)列存在極限并求.21. 討論函數(shù)的連續(xù)性.四、證明題：22. 試證方程至少有一個正根，并且它不超過，其中，.23. 證明方程在內(nèi)至少有一實根.二、導數(shù)與微分一、單項選擇題：1. 設(shè)在處可導，且，則( )A

3、. 6 B. -6 C. D. 2. 設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是( )A. 至少存在一點，使得B. 至少存在一點，使得C. 至少存在一點，使得D. 至少存在一點，使得3. 函數(shù) 在處( )A. 左右導數(shù)均存在 B. 左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在C. 右導數(shù)存在，左導數(shù)不存在 D. 左右導數(shù)均不存在4. 設(shè)周期函數(shù)在內(nèi)可導，周期為4. 又，則曲線在點處的切線的斜率為( )A. B. 0 C. -1 D. -25. 下列函數(shù)中，在點處可導的是( )A. B. C. D. 二、填空題：6. .7. 設(shè)在內(nèi)可導，則 . 8. 已知曲線與軸相切，則可以通過表示為 .9. 設(shè)，則 .10. 設(shè)函數(shù)在

4、的某鄰域內(nèi)可導，且，則 .11. 設(shè)方程確定是的函數(shù)，則 .12. 設(shè)是拋物線上的一點，若在該點的切線過原點，則系數(shù)應滿足的關(guān)系是 .13. 設(shè)， .三、計算題：14. 設(shè)，求.15. 設(shè)在內(nèi)有定義，且對于任意，又時，.（1）求在處的表達式；（2）問為何值時，存在.16. 設(shè)曲線方程在點處的切線與直線垂直，求該曲線在點處的切線方程.17. 、為何值時，函數(shù)在處連續(xù)且可導.18. 設(shè)，求.三、微分中值定理和導數(shù)的應用一、單項選擇題：1. 設(shè)在處連續(xù)，在的某去心鄰域內(nèi)可導，且當時，則是( )A. 極小值 B. 極大值C. 為的駐點 D. 不是的極值點2. 曲線( )A. 僅有水平漸近線 B. 僅有

5、垂直漸近線C. 既有水平漸近線又有垂直漸近線 D. 既有垂直漸近線又有斜漸近線3. 當取下列哪個值時，函數(shù)恰好有兩個不同的零點？( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 84. 設(shè)，已知曲線的圖像如右圖所示，則曲線的極值點為( )A. ， B. ，C. ， D. ，5. 設(shè)，下列命題中正確的是( )A. 是極大值，是極小值 B. 是極小值，是極大值C. 是極大值，也是極大值 D. 是極小值，也是極小值6. 若二階可導，且，又當時，則在內(nèi)函數(shù)( )A. 下降且是凸的 B. 下降且是凹的C. 上升且是凸的 D. 上升且是凹的7. 設(shè)三次曲線在處取得極大值，點是拐點，則( )A. ， B. ，C.

6、， D. 以上均錯二、填空題：8. 曲線的凹區(qū)間是 .9. 當 時，函數(shù)可取的極小值.10. 曲線（）的漸近線為 .11. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 .12. 函數(shù)有 條漸近線.三、計算題：13. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線.14. 已知在內(nèi)可導，且，求.15. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.16. 確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點.四、證明題：17. 證明：當時，有.18. 證明：當時，.19. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且. 試證：至少存在一點，使得.20. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，. 證明：（1）存在一個，使得；（2）對于任意給定的正數(shù)，存在，使得.21. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導，且. 證

7、明：存在，使.四、不定積分一、單項選擇題：1. 若在內(nèi)為連續(xù)的奇函數(shù)，且為它的一個原函數(shù)，則( )A. B. C. D. 2. 下列函數(shù)中為同一個函數(shù)的原函數(shù)的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 和3. 設(shè)是的一個原函數(shù)，則( )A. B. C. D. 4. 若的一個原函數(shù)是，則( )A. B. C. D. 5. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則( )A. 當是奇函數(shù)時，必為偶函數(shù)B. 當是偶函數(shù)時，必為奇函數(shù)C. 當是周期函數(shù)時，必為周期函數(shù)D. 當是單調(diào)增函數(shù)時，必為單調(diào)增函數(shù)二、填空題：6. 設(shè)，則 .7. .8. .9. 設(shè)且，則 .10. 已知的一個原函數(shù)為，則 .11. 已知連續(xù)

8、、可導，且，為的連續(xù)的反函數(shù)，則 .三、計算題：12. 求.13. 設(shè)為的原函數(shù)，且當時，已知，試求.五、定積分和反常積分一、單項選擇題：1. 已知當時，與是等價無窮小，則( )A. ， B. ，C. ， D. ，2. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則在下列變上限定積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是( )A. B. C. D. 3. 設(shè)，則( )A. 在點不連續(xù)B. 在內(nèi)連續(xù)，但在點不可導C. 在內(nèi)可導，且滿足D. 在內(nèi)可導，但不一定滿足4. 下列結(jié)論中正確的是( )A. 與都收斂 B. 與都發(fā)散C. 發(fā)散，收斂 D. 收斂，與發(fā)散5. 設(shè)函數(shù)與在上連續(xù)，且，則對任何，有( )A. B. C. D. 二、填空題：

9、6. .7. .8. .9. 設(shè)在上連續(xù)，且滿足，則 .10. 若存在并且不等于零，則 .三、計算題：11. 計算.12. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且. 已知，求.13. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導，且其反函數(shù)為. 若，求.14. 設(shè)，求.四、證明題：15. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，. 試證：（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2）若單調(diào)不增，則單調(diào)不減.16. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，. 試證明：在內(nèi)至少存在兩個不同的點，使得.六、多元函數(shù)微分學及應用一、單項選擇題：1. 設(shè)，則( )A. B. C. D. 2. 和存在對于函數(shù)在點處連續(xù)是( )A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 無關(guān)條件3. 設(shè)可微函數(shù)在

10、點處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是( )A. 在處的導數(shù)等于零B. 在處的導數(shù)大于零C. 在處的導數(shù)小于零D. 在處的導數(shù)不存在4. 設(shè)與均為可微函數(shù)，且. 已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是( )A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則5. 設(shè)，則( )A. 0 B. 不存在 C. -1 D. 16. 已知為某個二元函數(shù)的全微分，則( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 27. 在下列各點中，哪個點為函數(shù)的極大值點( )A. B. C. D. 二、填空題：8. 設(shè)，其中是由所確定的隱函數(shù)，則 .9. 設(shè)，其中、均可微，則 .10. 設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，其中函數(shù)可微，

11、且，則 .11. 設(shè)二元函數(shù)，則 .12. 設(shè)，且當時，則 .三、計算題：13. 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求.14. 設(shè)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又，求.15. 設(shè)有連續(xù)偏導數(shù)，和分別由方程和所確定，求.16. 已知，求.17. 求在橢圓域上的最大值和最小值.七、二重積分一、單項選擇題：1. 累次積分可以寫成( )A. B. C. D. 2. 設(shè)連續(xù)，且，其中是由，所圍區(qū)域，則( )A. B. C. D. 3. 設(shè)是由曲線和圍成的平面區(qū)域，則( )A. 等于0 B. 符號與有關(guān)，與無關(guān)C. 符號與有關(guān)，與無關(guān) D. 符號與、都有關(guān)4. 設(shè)，其中，則( )A. B. C. D. 二、填空題

12、：5. 設(shè)，則 .6. 交換積分次序： .7. 設(shè)，而表示全平面，則 .三、計算題：8. 計算二重積分，其中是由曲線（）和直線圍成的區(qū)域.9. 設(shè)，求. 其中.10. 求二重積分，其中是由直線，及所圍成的平面區(qū)域.11. 計算二重積分，其中.八、無窮級數(shù)一、單項選擇題：1. 設(shè)有無窮級數(shù)，則( )A. 若，則，至少有一收斂B. 若，則，至少有一發(fā)散C. 若，則收斂可推得收斂D. 若，則發(fā)散可推得發(fā)散2. 下列各選項正確的是( )A. 若和都收斂，則收斂B. 若收斂，則和都收斂C. 若正項級數(shù)發(fā)散，則D. 若級數(shù)收斂，且（），則級數(shù)也收斂3. 設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級數(shù)的收斂半徑為(

13、 )A. 5 B. C. D. 4. 設(shè)，則下列結(jié)論正確的是( )A. 若條件收斂，則和都收斂B. 若絕對收斂，則和都收斂C. 若條件收斂，則和的斂散性都不定D. 若絕對收斂，則和的斂散性都不定5. 若級數(shù)在處收斂，則此級數(shù)在處( )A. 一定發(fā)散 B. 一定條件收斂C. 一定絕對收斂 D. 斂散性不能確定二、填空題：6. 若，則 .7. .8. 級數(shù)收斂的充要條件是滿足 .9. 冪級數(shù)的收斂域是 .三、計算題：10. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù).11. 設(shè)，（）.（1）證明：當時，冪級數(shù)收斂；（2）求冪級數(shù)的和函數(shù).12. 求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).九、常微分方程與差分方程一、單項選擇題：1. 設(shè)

14、非齊次線性微分方程有兩個不同的解，為任意常數(shù)，則該方程的通解是( )A. B. C. D. 2. 已知函數(shù)在任意點處的增量，且當時，是的高階無窮小，則( )A. B. C. D. 3. 設(shè)在內(nèi)連續(xù)且不恒等于零，是微分方程的兩個不同的特解，則下列結(jié)論中不成立的是( )A. （其中為任意常數(shù)，假設(shè)）B. 構(gòu)成方程的通解C. （為任意常數(shù)）D. 在任何一點不等于零4. 設(shè)在上連續(xù)非負，如果微分方程的每一個特解都滿足，則必然滿足( )A. B. C. 收斂 D. 發(fā)散5. 具有特解，的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是( )A. B. C. D. 6. 下列微分方程中是全微分方程的是( )A. B. C. D. 二、填空題：7. 差分方程的通解為 .8. 微