應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)試題解答

1、應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)試題解答天水市麥積區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 王景昕一、填空題：1設(shè)是3個(gè)隨機(jī)事件，則“三個(gè)事件中恰有兩個(gè)事件發(fā)生”用表示為 ；答： 恰好有一個(gè)事件發(fā)生表示為，至多有一個(gè)事件發(fā)生表示為，至少有一個(gè)事件發(fā)生表示為，至少有兩個(gè)事件發(fā)生表示為，至多有兩個(gè)事件發(fā)生表示為，三個(gè)事件都發(fā)生表示為，三個(gè)事件都不發(fā)生表示為。其中至多有兩個(gè)事件發(fā)生的對(duì)立事件是三個(gè)事件都發(fā)生。2若事件相互獨(dú)立，且，則= ；答：0.625由于事件相互獨(dú)立，因此有，從而得到3設(shè)的概率分布為，則 ；答：根據(jù)歸一性，應(yīng)當(dāng)有，即，求得4設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，已知，則參數(shù)= ；答：二項(xiàng)分布的期望，方差，將兩式進(jìn)行比較，可有，即。5設(shè) 是來(lái)

2、自的樣本，則 ；答：6設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立時(shí)，則方差 ；答：隨機(jī)變量與相互獨(dú)立時(shí)有，從而有。7設(shè)為二維隨機(jī)向量，與的協(xié)方差定義為 ；答：若存在，則稱(chēng)它為隨機(jī)變量與的協(xié)方差，記為，即。8是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，則 ；答：， 。更一般地，設(shè)是來(lái)自于正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，樣本方差，則，。9若總體，且已知，用樣本檢驗(yàn)假設(shè)：時(shí)，采用統(tǒng)計(jì)量是 ；答：在 為真的條件下該統(tǒng)計(jì)量服從分布。10設(shè)總體，則的最大似然估計(jì)為 。答：的最大似然估計(jì)為，的最大似然估計(jì)為。二、判斷題：1兩個(gè)事件互斥與相互獨(dú)立是完全等價(jià)的； 答：錯(cuò)?；コ馀c相互獨(dú)立沒(méi)有必然關(guān)系，互斥未必獨(dú)立，獨(dú)立未必互斥。2對(duì)于任意兩個(gè)事件，必有； 答：

3、對(duì)。根據(jù)德摩根律，。3是取自總體的樣本，則服從分布； 答：錯(cuò)。應(yīng)當(dāng)服從分布，因?yàn)?。4設(shè)，則表示； 答：對(duì)。其中。5以表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo)”，則其對(duì)立事件為“甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)，乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)”。答：錯(cuò)。對(duì)立事件為“甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)”。相當(dāng)于。6設(shè)表示3個(gè)事件，則表示“都不發(fā)生”； 答；對(duì)。7為兩個(gè)事件，則（全集）； 答：錯(cuò)。8設(shè)，且，則=8； 答：對(duì)。二項(xiàng)分布的期望，方差，將兩式進(jìn)行比較有，即，代回期望得=8。9設(shè)總體， ,是來(lái)自于總體的樣本，則是的無(wú)偏估計(jì)量； 答：錯(cuò)。由于，因此是的有偏估計(jì)。10經(jīng)過(guò)顯著性檢驗(yàn)而沒(méi)有被拒絕的假設(shè)一定是正確的假設(shè)。 答：錯(cuò)。經(jīng)過(guò)顯著性檢驗(yàn)而

4、沒(méi)有被拒絕的假設(shè)不一定是正確的假設(shè)，仍然有“存?zhèn)巍钡目赡堋?三、計(jì)算題1若從10件正品2件次品的一批產(chǎn)品中，任取2次，每次取一個(gè)，不放回，試求第二次取出的是次品的概率。解：令“第次取出的是次品”，。由古典概型的概率計(jì)算公式易知； 又因?yàn)榈谝淮稳〕龊蟛环呕?，所以，?因此利用全概率公式可得所求的概率為。 注：第二次取出次品是在不放回的條件下，符合條件概率的定義要求。同時(shí)，第一次取出次品和第一次取出正品可以作為樣本空間的一個(gè)劃分，符合全概率公式的要求。2設(shè)，試求的概率密度為。解：因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以它的密度函數(shù)具有如下形式：； 進(jìn)而，將代入上述表達(dá)式可得所求的密度函數(shù)為：。 3設(shè)隨機(jī)變量

5、的密度函數(shù)為，試求常數(shù)。解：由題設(shè)可知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，其中為常數(shù)。利用密度函數(shù)的歸一性質(zhì)，可得：，解得。 4設(shè)的均值、方差都存在，且，令，試求與。解：； 。 注：由于的均值（即期望）、方差都存在，是常數(shù)，因此有，。5設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的方差分別為4和2，試求隨機(jī)變量的方差。解：由題設(shè)知與相互獨(dú)立，利用方差的性質(zhì)可得。 又因?yàn)椋肷鲜娇傻?。 6設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的普阿松分布，且已知，求參數(shù)的值。解：由題設(shè)知，得； 再由假設(shè)； 即有，所以。 注：根據(jù)方差的定義可知，從而有。7設(shè)總體服從參數(shù)為的普阿松分布，它的分布律為，是取自總體的樣本，試求參數(shù)的最大似然估計(jì)量。解：似然函數(shù)為， 似然方程為， 解得.因?yàn)榈亩A導(dǎo)數(shù)總是負(fù)值，可見(jiàn)，似然函數(shù)在處達(dá)到最大值。所以，是的最大似然估計(jì)。 四、證明題：設(shè)服從區(qū)間上的均勻分布，