微分幾何陳維桓習題及答案

1、§6.1 測地曲率1. 證明：旋轉(zhuǎn)面上緯線的測地曲率是常數(shù)。證明：設旋轉(zhuǎn)面方程為，緯線即曲線：（常數(shù)），其測地曲率為為常數(shù)。Þ=+2、證明：在球面，上，曲線的測地曲率可表示成，其中是球面上曲線的參數(shù)方程，是曲線的弧長參數(shù)，是曲線與球面上經(jīng)線（即-曲線）之間的夾角。證明 易求出, ,因此，而，故 。3、證明：在曲面的一般參數(shù)系下，曲線的測地曲率是，其中是曲線的弧長參數(shù)，并且，特別是，參數(shù)曲線的測地曲率分別為=+=æö+æö+ç÷ç÷èøèø， 。證明設曲面參

2、數(shù)方程為，曲面上的曲線的參數(shù)方程為，為的弧長參數(shù)；為上沿的法向量；曲線，而，æöæö+ç÷ç÷v，代入計算vvvv，由此得到vvv，以上是測地曲率的一般計算公式。 換回參變量，即可得到結(jié)果。=-=4若曲面：上曲線:u=u(t),v=v(t),t為曲線上的任意參數(shù)，試導出測地曲率的計算公式。解 由于 ，而 ，所以，所以；記， 又， ， 從而，由此得到：。 5、求橢球面上由平面所截的截線在點的測地曲率。6、求橢球面上由平面所截的截線在點的測地曲率。vvv6、2 測地撓率1、對曲面上的曲線的測地撓率，有.證明 證法一 ，

3、將代入，利用拉格朗日恒等式，得，將 ，代入，得 ；證法二 ，由，得從而，將 ，代入，得 .2、設是曲面上的曲線，證明：是曲率線的充分必要條件是。證明 設是曲率線，于是是主方向，則有，從而； 若，則有共面，于是有，而，必有，于是，即得是主方向，是曲率線。3 、曲面上一點處的單位法向量為.設曲面上曲線，以表示與的夾角.命 ，設曲面上曲線在點處的撓率和測地撓率分別為，則有 。 顯然，如果沿曲線有常數(shù)，則對此種曲線有.證明 根據(jù)向量之間的關系，易得， 利用上述關系式及曲線論的Frenet 公式，代入計算，得 。4、設曲面：上的坐標曲線構(gòu)成正交網(wǎng).曲面上曲線的切方向與的夾角為，則有. 證明 在正交坐標曲

4、線網(wǎng)下，我們有，將它代入測地撓率的計算公式，計算得，故有 .5、證明： 曲面上任何兩正交的方向的測地撓率之和為零. 證明 在曲面上選取正交坐標曲線網(wǎng)，曲面方程.曲面上兩正交方向與的夾角分別為和，由于，所以有 .選取曲率線網(wǎng)作為曲面坐標網(wǎng)，主曲率分別為，由歐拉公式，得，從而，于是 .6、證明： 曲面上一點 沿一方向上的法曲率為和測地撓率之間滿足: .證明 由，經(jīng)過計算，可得，此即.7、證明 ：極小曲面曲面上一點 沿一方向上的法曲率為和測地撓率與曲面的Gauss 曲率滿足:.8、證明：若曲線為過曲面上一雙曲點的漸近曲線，且曲率，則曲線在點的撓率和曲面在點的Gauss 曲率滿足:.證明由條件可知，利

5、用，即得.9、試證明:在曲面的雙曲點,主方向平分兩漸近方向.證:設曲面為S,漸近方向所對應得單位方向向量為,取在主方向下所對應的標準正交基為,則，其中是按的定向從到的角,則沿的法曲率由Euler公式,有，因為是雙曲點,不妨設,又所對應的方向為漸近方向,所以，解得，從而可知主方向平分兩漸近方向.10、證明：假定曲面上經(jīng)過一雙曲點的兩條漸近曲線在該點的曲率不為零，則這兩條曲線在該點的撓率的絕對值相等，符號相反，并且這兩個撓率之積等于曲面在該點的高斯曲率.證明 這兩條曲線在該點的撓率分別等于各自的測地撓率，選取曲率線網(wǎng)作為曲面坐標網(wǎng)，主曲率分別為，且其中一條漸近曲線與成角，則另一條漸近曲線與成角，于

6、是兩條漸近曲線在該點的測地撓率分別為，顯然，由于，所以，于是有 .§6.3 測地線1. 證明:柱面上的測地線必定是定傾曲線.證明不妨設柱面的直母線與軸平行，故曲面方程可取為，其中為準線的弧長參數(shù)?，F(xiàn)在求形如的測地線方程。此時，對于測地線，有，于是，可得 ， 由于為準線的弧長參數(shù)，所以有，從而，所以，因而；由此，測地線族的方程為，即測地線與軸（即直母線）成定角，從而形如的測地線為定傾曲線。又因直母線也是測地線，且與軸平行，故直母線也是定傾曲線.故 柱面上的測地線必定是定傾曲線.qv2、設曲線是旋轉(zhuǎn)面上的一條測地線，用表示曲線與經(jīng)線的交角。證明：沿測地線成立恒等式常數(shù)。ï+&#

7、238;證明 經(jīng)線即曲線：（常數(shù)）；×，；由測地線方程，有從而，可得，于是常數(shù)。Þ=3、設在旋轉(zhuǎn)曲上存在一條測地線與經(jīng)線交成定角q，并且q¹°°證明：此旋轉(zhuǎn)面必為圓柱面。v證明設旋轉(zhuǎn)面方程為，經(jīng)線即曲線：（常數(shù)）；，；由測地線方程，有，由于，所以，又常數(shù)，于是，故常數(shù)，因此曲面為圓柱面。4、證明：(1)若曲面上一條曲線既是測地線，又是漸近曲線，則它必定是直線。（2）若曲面上一條曲線既是測地線，又是曲率線，則它必定是平面曲線。（3）若曲面上一條測地線是非直線的平面曲線,則它必定是曲率線.證明:（1）因為所給曲線是測地線，所以； 又因為所給曲線是漸

8、近線，所以，而 ，所以，故所給曲線是直線。（2）設曲面曲線是既是測地線，又是曲率線；則若為直線，當然是平面曲線；若不是直線，由為測地線，知，從而；又因為曲率線，故依羅德里格定理，有；于是有，即，故，所以是平面曲線。(3) 因為所給曲面曲線是非直線的測地線，所以沿此曲線有，從而，又因為曲線是平面曲線，所以，于是，因此由羅德里格定理可知曲線的切線方向為主方向，故所給曲面曲線為曲率線。5. 證明：若曲面上所有的測地線都是平面曲線，則該曲面必是全臍點曲面.v證明:證法1 因?qū)θ我饧包c的任一單位切向量，均存在唯一的一條測地線過點，且以為其在處的切向量.故上任一點處均存在至少三條測地線是非直線的平面曲線，

9、任意，設為過點的三條非直線的測地線，對應的在點處的單位切向量分別為。由習題4（3）的結(jié)論，知均為曲率線，從而均為點處的主方向。故由的任意性知，曲面在每一點處均有三個不同的主方向，而這只有在臍點處才會產(chǎn)生。因此，為全臍點曲面。=+證法2因?qū)θ我饧包c的任一單位切向量，均存在唯一的一條測地線過點，且以為其在處的切向量. 由曲面曲線是測地線，所以；又是平面曲線，可知；于是。由于，所以在點的任意方向從而知是臍點，故為全臍點曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的測地線:L（1）； （2）。解 （1）測地線方程:于是有解此方程組，得，從而 ；（2） 測地線方程:于是有解此方程組，得，從而 。7.

10、若在曲面上存在兩族測地線,它們彼此相交成定角,則它的高斯曲率處處為零，該曲面必是可展曲面.證明 取其中一族測地線為-曲線，建立正交參數(shù)系；，設另一族測地線與-曲線的夾角為，則由，得；由，又且，得， 代入公式：，得，所以曲面為可展曲面。.8. 設是曲面上的一條曲線，是曲線上一點，曲線在點處的撓率和測地撓率分別為， .如果是測地線，且曲率，證明 .證明 由曲線論的Frenet 公式知道，,由是測地線和，得；于是，故有 .ï9、設是曲面上的一條曲線，是曲線上一點，曲線在點處的撓率和測地撓率分別為， .如果是漸近曲線，且曲率，則有 .證明 由曲線論的Frenet 公式知道，由是漸近曲線和，得

11、；于是，故有 .注：設是曲面上的一條曲線，是曲線上一點，曲線在點處的撓率和測地撓率分別為， .若是一條直線，則曲率，既是測地線又是漸近曲線，曲面非平面，但。 事實上，是常向量，由，得，由，所以，故有，。10、假定曲面和沿曲線相切，證明：（1）若是上的測地線，則也必定是上的測地線；（2）如果是上的曲率線，則也是上的曲率線；（3）若是上的漸近曲線，則也是上的漸近曲線。vPvvPv證明： 因曲面和沿曲線相切，故曲面和沿曲線的單位法向量平行，即；（1） 證法1 若是直線，則既是上的測地線，也是上的測地線；若不是直線，則因是上的測地線，故的主法向量，從而，故也是上的測地線。證法2 因曲面和沿曲線相切，故

12、曲面和沿曲線的單位法向量平行，即； 因是上的測地線，則有，即得，所以也是上的測地線。（2）若是上的曲率線，則有，從而，即也是上的曲率線。（3）若是上的漸近曲線，此時若為直線，則顯然也是上的漸近曲線；若不是直線，則，從而，故也是上的漸近曲線。 11、證明： 曲面上的測地線滿足微分方程 。證明 設是曲面上的曲線，其中是曲線的弧長參數(shù)，是曲面上的法向量，；曲線的測地曲率，曲線是測地線的充分必要條件是，亦即 。§6.4測地坐標系1、設曲面的第一基本形式為=+，求G及Gauss曲率.解 因為,有正交的參數(shù)曲線網(wǎng)，所以，；。=-+2、設曲面的第一基本形式為，并且滿足條件，證明：。+證明由上題知，

13、對關于在處Taylor展開,有,從而 。3、設曲面上以點為中心、以為半徑的測地圓的周長為，所圍面積是，證明：點處的曲率是。證明：在點附近取測地極坐標系,則有,其中；所以 ；于是，；兩邊關于求導，得，所以；=-對關于在處Taylor展開,得q=-+；由，得 ；由，得 。p§6.5 常曲率曲面1. 試在測地極坐標系下寫出常曲率曲面的第一基本形式.解常曲率曲面的Gauss曲率在上取測地極坐標系,則,且 ;， i) 當時,此時；根據(jù)條件，可得，于是，又因，得，從而，；ii) -當時,，從而， 由條件，可得，所以，故；-iii)當時,此時 。根據(jù)條件，可得，于是，。2. 證明:在常曲率曲面上,

14、以點P為中心的測地圓具有常測地曲率.證明：常曲率曲面的Gauss曲率在上取測地極坐標系,則,且 ;=+>測地圓為-曲線，即（常數(shù)），其測地曲率為;因為常曲率曲面，故的第一基本形式為下列三種情況之一：q，；=+,；，；=-<而在上述三種情況下，=均與無關，即º因此，在常曲率曲面上，測地圓有常測地曲率.ï-=-+-+-=3 已知常曲率曲面的第一基本形式為，；或，；=-<證明：若是該曲面上的一條測地線的參數(shù)方程，其中是曲線的弧長參數(shù)，則存在不全為零的常數(shù)，使得他按照或是，分別滿足下面的關系式：，及-。 試把上述關系式和球面、偽球面的測地線進行對照，想一想：上面的

15、關系式有什么幾何意義？證明當時，測地線方程為<，其中是積分常數(shù)；于是，由此即證得結(jié)果。當時，同理可得到測地線方程.-+所證關系式的意義如下：在的情形，可以把該常曲率曲面設想為球心在坐標原點的球面，要證的關系式恰好表明測地線落在經(jīng)過球心的平面上。在的情形，可以把該常曲率曲面設想為洛倫茨空間中的偽球面（雙葉雙曲面的一支），要證的關系式恰好表明測地線落在經(jīng)過坐標原點的平面上。4、試求Klein圓:內(nèi)的測地線ì解令，則，q測地線方程:其中為該測地線與曲線的夾角，為測地線的弧長參數(shù)。由（1 ）式，mò，令 ，其中，則有，（為積分常數(shù)），+， 。+<=-+5、試求Klein

16、圓:和Poincare上半平面>之間的保長對應.解記 ，考慮分式線形變換，則，；為使，即-+-，令，則有即，所以必是虛數(shù)，不妨設，且取，從而有此時，即于是為Klein 圓和Poincare上半平面之間的一個保長對應.=+ 思路：類似于尋求復平面上的單位圓與上半平面之間的的保形角變換的方法。7、證明：具有下列度量形式的曲面都有常數(shù)Gauss曲率,其值為。試求它們之間的保長對應。（1）；（2）；（3）。證明 分別代入，計算可得；（1） 與（2）：令，則有；（1） 與（3）：令，則，令，即，則有，所以為與之間的一個保長對應；（2）與（3）：則有 。§6.6 曲面上向量場的平行移動vv

17、1、設是偏微分方程組，的非零解，其中是曲面關于它的第一基本形式的Christoffel記號。證明 ：（1）是非零常數(shù)；（2）是曲面上的切向量場，它沿曲面上任意一條曲線是平行的。證明 （1），同理可得，所以由條件知，為非零向量，正定，故是非零常數(shù)；（2）設為曲面上任一條曲線，因×，所以，故，沿曲面上任一條曲線平行。2、證明：曲面上的曲線（固定）的單位切向量沿曲線是平行的充分必要條件是，對于，沿曲線下式成立：。î證明曲面上的曲線（固定）的單位切向量為，所以；沿平行，等價于v，；當時，有，當時，有 ；v由此，兩者的等價性結(jié)論，即可得證。3、證明：在曲面上存在一個非零的、與路徑無關的平行切向量場,當且僅當該曲面的Gauss曲率為零。證明：充分性：當曲面的Gauss曲率時。 假若曲面上存在平行的向量場，則對曲面上的