初中數(shù)學中函數(shù)課堂教學設計

1、專題講座初中數(shù)學中函數(shù)課堂教學設計王玉起 北京市朝陽區(qū)教育研究中心函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，也是初中數(shù)學里代數(shù)領域的重要內容，它在初中數(shù)學中具有較強的綜合性。在教學中，學生常常覺得函數(shù)抽象深奧，高不可攀，老師也覺得函數(shù)難講，講了學生也理解不了，理解了也不會解題。事實果真如此難教又難學嗎？本文就初中函數(shù)教學中三個常見問題，談談在教學設計方面一些方法和實踐。 一、函數(shù)教學中基于數(shù)學思想的教學方式的研究 數(shù)學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數(shù)學知識；一條是暗線，即數(shù)學思想方法。單獨教授知識無益于課本的復讀，利用數(shù)學思想進行教學和學習，才能真正實現(xiàn)數(shù)學能力的提高。 數(shù)學思想方法是對

2、數(shù)學的知識內容和所使用方法的本質的認識，它是形成數(shù)學意識和數(shù)學能力的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、數(shù)學技能和數(shù)學方法解決有關問題的靈魂。 日本數(shù)學教育家米山國藏在數(shù)學的精神、思想和方法一文中曾寫道：學生在初中、高中等所接受的數(shù)學知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數(shù)學，所以，通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神，數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此，在函數(shù)教學中，我們不僅要在教會函數(shù)知識上下功夫，而且還應該追求解決問題的“常規(guī)方法”基本函數(shù)知識中所蘊含的思想方法，

3、要從數(shù)學思想方法的高度進行函數(shù)教學。 在函數(shù)的教學中，應突出“類比”的思想和“數(shù)形結合”的思想。 1 注重“類比教學” 不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法， 利用類比的思想進行教學設計實施教學 , 可稱為“類比教學” . 在函數(shù)教學中我們期望的是通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對后續(xù)知識的學習產(chǎn)生影響，使學生達到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學生順利地由 “ 學會 ” 到 “ 會學 ” ，真正實現(xiàn) “ 教是為了不教 ” 的目的 有經(jīng)驗的老師都會發(fā)現(xiàn)，初中學習的正比例函數(shù)、一次

4、函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此采用類比的教學方法不但省時、省力，還有助于學生的理解和應用。是一種既經(jīng)濟又實效的教學方法。下面我就舉例說明如何采用類比的方法實現(xiàn)函數(shù)的教學。 首先是正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)特例，也是初中數(shù)學中的一種簡單最基本的函數(shù)。但是，我們有些教師卻因為正比例函數(shù)過于簡單，而輕視。匆匆給出概念，然后應用。等到講到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)又感到力不從心，學生接受起來概念模糊，性質混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數(shù)的基礎作用，我們應該借助正比例函數(shù)這個最簡單的函數(shù)載體，把函數(shù)研究經(jīng)典流

5、程完整呈現(xiàn)，正所謂“麻雀雖小，五臟俱全”。再學習其他函數(shù)時，在此基礎上類比學習，循序漸進，螺旋上升。 正比例函數(shù)教學流程 （一）環(huán)節(jié)一：概念的建立 通過對問題的處理用函數(shù) y=200x 來反映燕鷗的行程與時間的對應規(guī)律引入新課。學生自覺思考教師提問，共同得出每個問題的函數(shù)關系式。引導學生觀察以上函數(shù)關系式的特點得出正比例函數(shù)的描述定義及解析式特點。 （二）環(huán)節(jié)二 ：函數(shù)圖象 這個環(huán)節(jié)是教學的重點，由學生先動手按“列表描點連線”的過程畫函數(shù) y=2x 和 y= 2x 的圖象，相互交流比較然后教師利用多媒體展示畫函數(shù)圖象的過程并通過比較使學生正確掌握畫函數(shù)圖象的方法。 （三）環(huán)節(jié)三：探究函數(shù)性質

6、讓學生觀察函數(shù)圖象并引導學生通過比較來歸納正比例函數(shù)的性質，這個環(huán)節(jié)是本課的難點，教師要引導學生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經(jīng)過的象限及自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律。這幾個方面來歸納，最終得出正比例函數(shù)的性質。 （四）環(huán)節(jié)四：概念的歸納 將觀察、探究出的函數(shù)圖象的特征、函數(shù)的性質等做出系統(tǒng)的歸納。 （五） 環(huán)節(jié)五： 概念的應用 這個環(huán)節(jié)主要加深學生對知識點的理解，突出待定系數(shù)法的解題方法。 從這五個環(huán)節(jié)的設定上，大家不難看出，我們在研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的過程也是經(jīng)歷這樣的六個環(huán)節(jié)，所以用類比的教學方式是在降低學生的學習難度，卻能提高學習質量，而且程度比較好的學生可以嘗試自主

7、學習一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。 歸納：函數(shù)探究的內容與方法 研究的對象 - 函數(shù)的圖象與性質 研究的方法 - 畫圖象、分析圖象、探究坐標變化規(guī)律、歸納函數(shù)性質 關注的問題 - 圖象的位置、發(fā)展趨勢、與坐標軸的交點、函數(shù)的增減性 類比進行反比例函數(shù)的教學 例如 17.1.2 反比例函數(shù)的圖象和性質教學 具體教學過程如下： T ：正比例函數(shù) y=6x 的圖象是什么形狀？ S1 ：通過原點的直線（為將要學習的反比例函數(shù)圖象作鋪墊） T ：那么反比例函數(shù) 的圖象會是什么形狀呢？我們采用什么辦法畫呢 S2 ：描點法。 （問題一） T ：我們學習過的一次函數(shù)用幾點法描畫？ S3 ：兩點法。 （追問）

8、 T ：為什么呢？ S4 ：根據(jù)兩點確定一條直線。 （追問） T ：你確定反比例函數(shù)的圖象是直線嗎？ S5 ：不能確定。 （追問） T ：因此我們需要描多少點？ S6 ：盡量多些。正負對稱 10 12 個點比較合適 （問題二） T ：描點法畫函數(shù)圖象的基本步驟？ S7 ： T ：對于 我們如何列表取點？ S8 ：再次突出描點左右對稱取點的思維過程。 教師示范了 的圖象畫法，再讓同學們嘗試畫出 的圖象 （問題三） T ：你能比較出 和 的圖象有什么共同特征？ S9 ：兩只曲線，關于原點對稱（雙曲線） （追問） T 結合你的圖象和列表 和 之間的不同點？ S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。

9、 （追問） T ：你能猜想 的圖象規(guī)律嗎，注意類比正比例函數(shù)的圖象規(guī)律？ S11 ：當 k0, 圖象過一三象限，當 K0 時，直線從左到右呈“起飛”狀，即呈上升趨勢，經(jīng)過一、三象限；當 k0 時，隨著 x 的增大， y 的值怎樣變化呢 ? （追問） T: 如何用符號語言描述呢？ （追問） T: 你能從解析式出發(fā)給出證明嗎？ （問題三） T:(6) 你能從 的圖象中 y 隨 x 的變化是如何增減的嗎？ （問題四） T: （ 7 ）畫出反比例函數(shù) 圖象，并結合圖象，思考下列問題 在上面的教學設計中，教師借助幾何畫板課件，幫助學生形象直觀的理解了反比例函數(shù)圖象的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變化過程中的特殊點的，自

10、然的歸納出反比例函數(shù)增減性的性質及自變量的取值范圍，并且通過結合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數(shù)的三種表示方法的整體一致性。 2 用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題 用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學生會覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什么還要學習呢？如果學生意識不到所學數(shù)學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。教材安排用函數(shù)的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數(shù)學知識間的橫縱聯(lián)系，體現(xiàn)函數(shù)在初中代數(shù)中的統(tǒng)領作用；另一方面從函數(shù)的角度，由“數(shù)”到“形”的

11、對方程（組）、不等式加深認識，從而站在更高的角度上，提高了學生對舊認識的深度。在教學設計中要注意以下幾點： （ 1 ）從“數(shù)”與“形”兩方面體現(xiàn)函數(shù)與方程（組）、不等式的聯(lián)系 從“數(shù)”來看，就是從函數(shù)值看，求方程的解，可轉化為當函數(shù)值為零時，求相應自變量的值；求不等式的解集，就是當函數(shù)值大于零（或小于零）時，求對應的自變量的取值范圍；求方程組的解，就是當兩個函數(shù)的函數(shù)值相等時，求對應的自變量和函數(shù)值 . 從“形”來看，就是從函數(shù)圖象看，求方程的解，可轉化為求函數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標；求不等式的解集，可轉化為求在 x 軸上方（或下方）的圖象對應的自變量取值范圍（或一個函數(shù)圖象在另一個函數(shù)圖

12、象的上方或下方的部分對應的自變量取值范圍）；求方程組的解集，可轉化為求兩個函數(shù)圖象交點的橫縱坐標。 （ 2 ）抓住數(shù)與形的轉換點理解函數(shù)與方程（組）、不等式的聯(lián)系 眾所周知，函數(shù)圖象就是點的集合，函數(shù)圖象上的每一個點的坐標，就是一組自變量與函數(shù)值的對應值，因此數(shù)與形的轉換點就是圖象上的點及其坐標。教學中抓住這一轉換點，能有效的促進對函數(shù)與方程（組）、不等式的關系的理解。 一次函數(shù)與一元一次不等式教學設計片斷 （一）如何解決下面兩個問題，并思考這兩個問題之間有何關系？ 解不等式： 5x+63x+10 ； 當自變量為 x 何值時，函數(shù) y=2x-4 的值大于 0 ？ 歸納：這兩個問題實際上是同一個

13、問題，問題可以轉化為問題求解 （二）你能從函數(shù) y=2x-4 的圖象中，發(fā)現(xiàn)問題的解集嗎？ 為了促進學生的理解，教師可從以下幾個方面點撥 : 函數(shù)值與函數(shù)圖象上的點的什么是對應的？函數(shù) y=2x-4 的圖象上，符合函數(shù)值大于 0 的點在哪一部分？ 這部分點的什么，就是使函數(shù) y=2x-4 的值大于 0 的自變量 x 的取值范圍？ 歸納：函數(shù) y=2x-4 圖象在 x 軸上方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，就是問題得解集 （三）函數(shù) y=2x-4 圖象在 x 軸下方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，是哪個不等式的解集？ （四）你能進一步得到“解不等式 ax+b0 與“求自變量 x 在什么范圍內，一

14、次函數(shù)函數(shù) y=ax+b 的值大于 0 ” 有什么關系嗎？ 在上面的教學設計中，教師通過引導學生按照“函數(shù)值大于 0 圖象上點的縱坐標大于 0 位于 x 軸上方的點橫坐標的取值范圍自變量的取值范圍”的思維脈絡，緊扣數(shù)與形的結合點，不僅讓學生真正理解了函數(shù)與不等式的關系，更重要的是使學生真正做到了用數(shù)形結合的方法分析問題。 （ 3 ）使學生明確學習函數(shù)與方程（組）、不等式的意義。有些學生可能覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什么還要學習呢？如果學生意識不到所學數(shù)學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。因此，在教學中首先應使學生體會到以下兩點

15、： 解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數(shù)問題，所以函數(shù)統(tǒng)率著方程、不等式； 從函數(shù)的角度分析問題的研究方法，對于后續(xù)學習有重要作用。 3自變量的取值范圍 自變量的取值范圍，是解函數(shù)問題的難點和考點。正確求出自變量取值范圍，正確理解問題，并化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數(shù)的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義。 容易講的枯燥無趣，最后變成公式化記憶，但學生總是此題會，彼題又錯，效果往往不好。我們看這個教學設計，生動活潑而且理解深刻。 八年級 7.2 認識函數(shù)（ 2 ） 例 1 等腰三角形 ABC 的周長為 80 ，底邊 BC 長為 y ，腰 AB 長為 x ， 求

16、：（ 1 ） y 關于 x 的函數(shù)解析式 學生嘗試做題 S1 ： y=80-2x S2 ： x=(80-y)/2 T ：題目是 y 關于 x ，其中關于相當于等于，所以應該寫成 y=80-2x T ：把你的學號作為三角形的腰長，請計算相應的底邊 y 值 學生快速的計算 教師在黑板上列出相關的值： x=0 （教師的學號為 0 ） y=80 x=10 y=60 x=20 y=40 x=30 y=20 x=40 y=0 x=50 y= -20 x=51 y= -22 （問題一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底邊，你看到這組數(shù)據(jù)有什么話要說么？ S1 ：不能是負與 0 ，所以最后三個

17、不行。 （追問 1 ） T ：能分享你結論的理由么？ S1 ： y 是底邊，需要大于 0 T ：自變量的取值需要符合函數(shù)的實際意義 這時下面有個同學在悄悄的說，第一個也不行。 （追問 2 ） T ：能說說你的理由么？ S2 ：因為 x 是等腰三角形的腰長，也是大于 0 的。T ：自變量的取值必須滿足自變量的實際意義 這時，課堂中學生都在用質疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時教師讓學生進行討論。經(jīng)過一段時間的討論，有學生舉手了。 S3 ：第 2 、 3 個也不行 （追問 3 ） T ：為什么？ S2 ：不能構成三角形 （問題二） T ：那么 x 能不能任意取呢？ S ：不能 （問題三） T ：

18、那應該從哪幾個方面求 x 的取值范圍呢？ S1 ： 20x0 T ：剛才同學們考慮到了函數(shù) y 的取值范圍，而 y=80-2x ，所以還要考慮與 x 相關的量的意義 板書（ 2 ）與 x 相關的量的意義 y0 （問題四） T ：除了這兩個量還要考慮到什么呢？ S ：三角形任何兩邊之和大于第三邊 板書（ 3 ）在實際情境中滿足限制的條件 T ：等腰三角形只要考慮 x+xy 實際問題解析式求函數(shù)值沖突反思探究歸納。 在這里，是第一次求自變量的取值范圍，而學生對自變量的取值范圍的求解還沒有形成一種常規(guī)的思路，所以，老師通過實際的操作（ 80cm 長的紅絲線），讓學生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂

19、角、面積等之間的變化情況，然后列出底邊與腰長之間的函數(shù)解析式，再給定一個自變量（學生學號作為腰長）求出相應的函數(shù)值，一方面復習了函數(shù)的有關概念變量、常量、函數(shù)，另一方面也讓學生學習了列簡單問題中的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式，已知自變量的值，求相應的函數(shù)值，更重要的是通過學號作為三角形的腰長，計算相應的底邊 y 值，教師通過遞進式提問，讓學生在具體的、特殊的數(shù)值中發(fā)現(xiàn)矛盾，產(chǎn)生沖突，引起進一步探索的求知欲，提問、追問、反問，學生的解釋、說理，由特殊到一般，最后總結出求自變量的取值范圍的通性通法，有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢。 4 實際應用問題 學習函數(shù)的主要目的之一就是在復雜的實際生活中建立有

20、效的函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識解決問題。這也是新課標所倡導的學習，因此新教材大力倡導函 數(shù)與實際的應用。 對于學生來說，實際應用是個難點。在實際應用問題的教學中注意把握以下 幾點： （ 1 ）切實體現(xiàn)教材設計意圖。教材安排有關應用函數(shù)解決實際問題的教學活動，其目的 主要有三 : 進一步訓練學生的建模能力；進一步提高學生數(shù)形結合分析問題、解決問題的能力；使學生體會函數(shù)是解決生活實際問題的有效模型，進一步提高學生解決實際問題的能力。在教學設計中要體現(xiàn)以上意圖。 （ 2 ）要根據(jù)學生實際。對于學生而言，函數(shù)已經(jīng)覺得很難，再用函數(shù)解決實際問題，他們會覺得難上加難，因此在教學中要根據(jù)學生實際水平，對于難度

21、較大、綜合性較強的 問題要通過有效的設計，分步引導，將復雜問題分解為若干個簡單問題，步步深入，有易到難的尋求答案。 例 4 A 地有肥料 200 噸， B 地有肥料 300 噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運往 C 、 D 兩地。如果從 A 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 20 元和 25 元；從 B 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 15 元和 24 元 . 現(xiàn) C 鄉(xiāng)需要肥料 240 噸， D 鄉(xiāng)需要肥料 260 噸 , 怎樣調運總費用最少？最少費用是多少？ 分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學生想到可用函數(shù)解決這類問題；難點二是如何從復雜的數(shù)量關系中，列出函數(shù)解析式；難點

22、三是如何分析出函數(shù)的最小值；難點四是將數(shù)學的解還原為實際問題的解決方案。為了突破難點，不妨采用如下的教學設計： 畫出示意圖，幫助學生理解題意 調運費用和哪些量有關？這些量有何關系？ 這些量是變量還是常量？ （通過這個問題，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)調用費用是一 個變量，并且與四個變量有關，這四個變量相 互聯(lián)系，其他變量都可以用另一個變量表示，既然 是和兩個變量有關的問題，符合函數(shù)特征，利用函 數(shù)的圖形和性質可以確定最小值） 設總運費為 y ， A 地運往 C 地的肥料量為 x ，填充下表： y= _+ _+ _+_ 怎樣利用函數(shù)解析式求最小運費呢？ （教師引導學生發(fā)現(xiàn)，求最小運費就是求解析式中函數(shù) y 的最

23、小值， 一方面從解析式中可以發(fā)現(xiàn)， y 隨 x 的增大而增大，所以求 y 的最 值需先求 x 的取值范圍；另一方面也可畫出函數(shù)圖象，讓學生通過 觀察圖象，發(fā)現(xiàn) y 的最小值） 當調運費用最少時，其他的調運量多少？請你確定出使運費最少的調用方案 . 歸納總結： 為什么本題可用函數(shù)的方法解決 ? 用函數(shù)解決實際問題的一般步驟是什么？ 怎樣列出函數(shù)解析式？ 函數(shù)的最值可用哪些方法求出？ 在實際問題中，求自變量的取值范圍有何作用？ 對研究其他函數(shù)圖象時，學生的自主分析能力的提高也很有好處。 三、函數(shù)教學的幾個值得注意的問題： 1 容易出現(xiàn)“只見樹木，不見森林”的斷裂式教學 初中函數(shù)所考察的題目，大家公

24、認二次函數(shù)最難。因此老師在教授這個函數(shù)時，也是最賣力，配備了大量的習題練習。但是老師教的辛苦，學生學得也不輕松，不但要理解那么難的曲線函數(shù)，還要做更難的習題。所以最后得到的結論是，“二次函數(shù)太難了，不是所有學生都能掌握的”。其實則不然，造成這種局面的原因就是把二次函數(shù)孤立起來，一棵參天大樹高不可攀，是因為你忘卻了函數(shù)是片森林，二次函數(shù)應該根植在“函數(shù)森林”中。 不但二次函數(shù)如此，很多老師每逢講一個具體函數(shù)，都讓學生重新經(jīng)歷函數(shù)探索，猜想，設計很多環(huán)節(jié)去猜想函數(shù)具備哪些性質，學生卻因這些性質之間的相近相似常?；斐梢粓F，或最終難以正確應用。 函數(shù)這一章最重要的解題方法就是待定系數(shù)法，學習正比例函數(shù)時就學習了，一次函數(shù)再次學習，反比例函數(shù)、二次函數(shù)又再次使用，但是我們發(fā)現(xiàn)，因為缺乏歸納待定系數(shù)法的本質，“斷裂式”的教授此方法，讓學生并沒有掌握該解題方法，僅僅是會求解析式而已。 對于以上的種種問題，我歸納的原因是，教授具體函數(shù)時，缺乏系統(tǒng)意識和整體意識。 函數(shù)是一個整體，各個具體函數(shù)是函數(shù)的特例，研究方法應是相同的，通過類比和數(shù)形結合的方法，對比性質的差異性，將具體函數(shù)逐步納入到整個函數(shù)學習中去，這也符合教材設計的螺旋式上