帶通采樣定理證明

1、帶通信號的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論基礎(chǔ) 基帶采樣定理只討論了其頻譜分布在（0，）的基帶信號的采樣問題。作為接收機的模數(shù)轉(zhuǎn)換來說：接收信號大多為已調(diào)制的射頻信號。射頻信號相應(yīng)的頻率上限遠高于基帶信號的頻率上限。這時如果想采用基帶采樣就需要非常高的采樣速率！這是現(xiàn)實中的A/D難以實現(xiàn)的。這時，低通采樣定理已經(jīng)不能滿足實際中的使用要求。帶通采樣定理是適用于這樣的帶通信號的采樣理論基礎(chǔ)，下面給出定理。帶通采樣定理：設(shè)一個頻率帶限信號其頻帶限制在內(nèi)，如果其采樣速率滿足式： = （2-1）式中, 取能滿足的最大整數(shù)（0，1，2），則用進行等間隔采樣所得到的信號采樣值能準確的確定原信號。帶通采樣定理

2、使用的前提條件是：只允許在其中一個頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶同時存在信號，否則將會引起信號混疊1。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的辦法來解決，即在采樣前先進行濾波1 ，也就是當需要對位于某一個中心頻率的帶通信號進行采樣時，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號，然后再進行采樣，以防止信號混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。圖2.3 帶通信號采樣式（2-1）用帶通信號的中心頻率和頻帶寬度B也可用式（2-2）表示： （2-2）式中，取能滿足（B為頻帶寬度）的最大正整數(shù)。當頻帶寬帶B一定時，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度的采樣速

3、率（）,帶通信號的中心頻率必須滿足。也即信號的最高或最低頻率是信號的整數(shù)倍。帶通采樣理論的應(yīng)用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后面的實時處理奠定了基礎(chǔ)。但是從軟件無線電的要求來看，帶通采樣的帶寬應(yīng)是越寬越好，這樣對不同基帶帶寬的信號會有更好的適應(yīng)性，在相同的工作頻率范圍內(nèi)所需要的“盲區(qū)”采樣頻率數(shù)量減少，有利于簡化系統(tǒng)設(shè)計。另外，當對于一個頻率很高的射頻信號采樣時，如果采樣頻率設(shè)的太低，對提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應(yīng)該盡可能選的高一些，使瞬時采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提高帶來的一個問題是采樣后的數(shù)據(jù)流速率很高。因此一個實際的無線電通信帶寬一般為幾千

4、赫茲到幾百赫茲。實際對單信號采樣時采樣率是不高的。所以對這種窄帶信號的采樣數(shù)據(jù)流降速是完全可能的。多速率信號處理技術(shù)為這種降速處理實現(xiàn)提供了理論依據(jù)。二、帶通采樣過程待采樣信號為中頻是100MHz，帶寬為2MHz的帶通信號：fc0=100e6; /中頻頻率fc1=99e6; /信號一的頻率fc2=101e6; /信號二的頻率fs1=3e6; /欠采樣的采樣頻率fs2=4e6; /臨界采樣采樣頻率fs3=6e6; /大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6 /用以模擬連續(xù)信號的離散信號采樣速率（遠大于nyquist率） t=0:1/f0:1e-6; xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*

5、cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號的波形和頻譜如圖所示： 圖1 原信號波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對待采樣信號進行采樣，得到的三個信號及其幅度譜如圖所示：1） 欠采樣條件下得到的采樣信號：圖2 欠采樣信號的波形及幅度譜2) 臨界采樣：圖3 臨界采樣信號的波形及幅度譜3） 滿足采樣條件的采樣信號 圖4 正常采樣信號的波形及幅度譜 三、信號重建1）設(shè)計通帶為99101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來作為信號恢復(fù)的模擬濾波器，濾波器的設(shè)計過程及幅頻響應(yīng)特性如圖所示：fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn,

6、9;bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');圖1 濾波器的幅度響應(yīng)2）將三種采樣信號的到的數(shù)據(jù)流通過信號恢復(fù)濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結(jié)果如下：圖2欠采樣恢復(fù)圖3 臨界采樣恢復(fù)圖3 正常采樣恢復(fù)四、結(jié)果分析從結(jié)果可見：欠采樣信號進行恢復(fù)時，從信號完整角度進行觀察便可以發(fā)現(xiàn)信號的不同，缺少了原信號的部分信息。而臨

7、界采樣信號的恢復(fù)，在信號周期上有一定的變化，比原信號的信息有所丟失。正常采樣下的信號可以恢復(fù)出原信號一個完整周期的頻譜。但由于所選取信號長度的問題，沒能恢復(fù)全部信號，但這已經(jīng)能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號沒有丟失原信號的信息。附:%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄÑéÖ¤%´øͨÖÐÐÄƵÂ&#

8、202;Ϊfc=100MHz,ÐźÅƵÂÊΪf1=99MHzºÍf2=101MHz%²ÉÑùËÙÂÊ·Ö±ðΪ3MHz¡¢4MHz¡¢6MHz% % B=2MHz,ÀíÂÛÉϵ±²

9、;ÉÑùƵÂÊ´ïµ½¶þ±¶´ø¿íʱ£ºÐźŵÄƵÆײ»»á»ìµþ¡£%clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=

10、99e6; %ÐźÅ1µÄƵÂÊfc2=101e6; %ÐźÅ2µÄƵÂÊfs1=3e6; %µÍÓÚ¶þ±¶´ø¿íµÄ²ÉÑùƵÂÊfs2=4e6; %Á&

11、#217;½ç²ÉÑùƵÂÊfs3=6e6; %´óÓÚ¶þ±¶´û¿îµÄ²ÉÑùƵÂÊ f0=250e6;%±íʾԭÐźŵIJ

12、1;ÑùƵÂÊ£¬±ÈÆä²ÉÑùƵÂʸßÒ»¸öÊýÁ¿¼¶ %µÍͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄ²ÉÑ&#

13、249;×÷ΪԭģÄâÐźÅ%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title('´ý²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel(&

14、#39;x');ylabel('xt');yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N; subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title('´ý²ÉÑùÐźÅƵÆ×')xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·

15、9;¶ÈÆ×')% %´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíϵÄÇ·²ÉÑù²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figur

16、e(2);subplot(2,1,1);plot(t,xts1);title('Ç·²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws1=fft(xts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys1);xlabel('Êý×ÖÆ

17、;µÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('Ç·²ÉÑùÐźÅƵÆ×')% %´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíÏÂÁÙ½ç²&#

18、201;ÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ

19、;');xlabel('x');ylabel('xt');yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('ÁÙ½ç²É

20、ÑùÐźÅƵÆ×');% %´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùƵÂʵĴøͨ²ÉÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%

21、t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws3=fft(xts3,N

22、);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys3);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźÅÆ

23、;µÆ×');%fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn,'bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude'); %Ç·²ÉÑùÐźŵÄ