Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的一種改進(jìn)方法_圖文

1、第卷第期西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)自然堂學(xué)版”。文章編號(hào)：（）期權(quán)定價(jià)模型的一種改進(jìn)方法蘇軍，一，趙選民，王雪峰（西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，西安；西安科技大學(xué)基礎(chǔ)部，西安）摘要：討論了模型的定價(jià)偏差，給出了一種改進(jìn)方法假設(shè)利率是隨機(jī)的且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程服從跳一擴(kuò)散過(guò)程的情況下，研究了歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)公式及平價(jià)關(guān)系關(guān)鍵詞：模型；跳一擴(kuò)散過(guò)程；平價(jià)關(guān)系中圖分類(lèi)號(hào)：；文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：引言期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)的核心問(wèn)題之一年，發(fā)表了關(guān)于期權(quán)定價(jià)的開(kāi)創(chuàng)性論文【，文中利用套利推理和公式證明了歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式，即著名的模型該定價(jià)公式是期權(quán)定價(jià)發(fā)展史上的里程碑，它為期權(quán)乃至其它未定權(quán)

2、益的定價(jià)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使得原本空洞的期權(quán)定價(jià)在理論上有了依據(jù)雖然模型在市場(chǎng)的實(shí)踐中得到充分的檢驗(yàn)，但大量的金融實(shí)踐已經(jīng)表明模型與實(shí)際金融市場(chǎng)有較大的偏差，其中主要的兩種不一致現(xiàn)象是：一是由該模型確定的無(wú)條件報(bào)酬分布的峰度（）偏?。欢菍?shí)際觀測(cè)到的資產(chǎn)價(jià)格分布的兩條拖尾曲線都比該模型假設(shè)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布要寬，即存在隱含波動(dòng)率“微笑”（）的現(xiàn)象目前文獻(xiàn)上提出了許多方法，其中對(duì)于報(bào)酬過(guò)程引入隨機(jī)跳，得到跳一擴(kuò)散模型就是方法之一，如文獻(xiàn)，】等討論了這類(lèi)未定權(quán)益的定價(jià)問(wèn)題但大多數(shù)文獻(xiàn)的研究都是假定利率為確定情形，忽略了利率隨機(jī)變化的波動(dòng)對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響，本文討論了模型的定價(jià)偏差，同時(shí)研究了利率是隨機(jī)情

3、形下且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程服從跳一擴(kuò)散過(guò)程的歐式未定權(quán)益定價(jià)問(wèn)題，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)公式及平價(jià)關(guān)系模型的改進(jìn)模型的定價(jià)偏差歐式股票期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵因素是最終股票價(jià)格分布模型中一直假定股票價(jià)格在任何給定的未來(lái)時(shí)間的概率分布是對(duì)數(shù)正態(tài)分布，顯然這一假設(shè)與實(shí)際不符，那么模型給出的價(jià)格就存在偏差在股票價(jià)格收益的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相同時(shí)，股價(jià)真實(shí)的最終分布不同于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，可分為三種情況：）兩條拖尾曲線都比對(duì)數(shù)正態(tài)分布的要窄；）兩條拖尾曲線都比對(duì)數(shù)正態(tài)分布的要寬；）一條拖尾曲線比對(duì)數(shù)正態(tài)分布的要窄，而另一條拖尾曲線都比對(duì)數(shù)正態(tài)分布的要寬一些如果在這三種情況下用模型進(jìn)行歐式期權(quán)定價(jià)，我們必須考慮可能

4、出現(xiàn)的偏差首先考慮某個(gè)處于深度虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)只有在股票價(jià)格有大幅度上升時(shí)它才有可能變?yōu)檎?，那么它的價(jià)值僅僅依賴于最終股票價(jià)格分布的右半部拖尾曲線，這條拖尾曲線越寬，該期權(quán)的價(jià)值就越高因比模型收稿日期：作者簡(jiǎn)介：蘇軍（一），女，西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系碩士基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（）；航空基金（）第期蘇軍等：期權(quán)定價(jià)模型的一種改進(jìn)方法將會(huì)低估處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)的價(jià)格，且會(huì)高估處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)的價(jià)格我們?cè)倏紤]另一種處于深度虛值狀態(tài)的看跌期權(quán)只有在股票價(jià)格有大幅度下跌時(shí)它才有可能變?yōu)檎?，那么它的價(jià)值僅僅依賴于最終股票價(jià)格分布的左半部拖尾曲線，這條拖尾曲線越寬，該期權(quán)的價(jià)值就越高因模

5、型將會(huì)低估處于虛值狀態(tài)的看跌期權(quán)的價(jià)格，且會(huì)高估處于虛值狀態(tài)的看跌期權(quán)的價(jià)格利用看跌期權(quán)與看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系公式，可以得出處于實(shí)值狀態(tài)的歐式看漲期權(quán)與處于虛值狀態(tài)的看跌期權(quán)具有相同的定價(jià)偏差類(lèi)似地，處于實(shí)值狀態(tài)的歐式看跌期權(quán)與處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)具有相同的定價(jià)偏差模型的改進(jìn)本文考慮可連續(xù)交易無(wú)摩擦金融市場(chǎng)，假定該市場(chǎng)僅有兩種資產(chǎn)，一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如債券、銀行存款），另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如股票），時(shí)間區(qū)間為，】，表示現(xiàn)在，丁表示到期日假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格（），短期利率，（）和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格（）分別滿足如下隨機(jī)微分方程：（）（）（），尸（）（）（）【（）一（）（）（）（）（）（）（）一（）（）（

6、）（）（）其中（），盯（），（）是時(shí)間的函數(shù)，（）為實(shí)數(shù)，其相應(yīng)的貼現(xiàn)因子（）一【（）；假定（）、”和（）是定義在完備概率空間（，尸）上的相互獨(dú)立的兩個(gè)一維標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，是由（），產(chǎn)生的自然仃一流；（）是與（）相互獨(dú)立的參數(shù)為（）的過(guò)程，是股價(jià)每次跳躍的高度，且為隨機(jī)變量，假定，（）是與，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，表示在隨機(jī)時(shí)間，屯，（）時(shí)刻發(fā)生跳躍的高度，與（）獨(dú)立，且一，（）服從正態(tài)分布（一司），一為（，）的方差，而是，的無(wú)條件期望，表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格由帶來(lái)的平均增長(zhǎng)率注（）實(shí)際上是短期利率模型的一個(gè)擴(kuò)展形式，也就是我們通常所熟悉的模型從經(jīng)濟(jì)角度來(lái)看，（）表示長(zhǎng)期均衡利率水平；當(dāng)短期利率偏離長(zhǎng)期均衡

7、利率時(shí)，有一個(gè)向中心回歸的趨勢(shì)，以速率（）向均值回復(fù)；而（）是描述利率隨機(jī)性的度量參數(shù)（）是年提出的跳一擴(kuò)散模型，該模型把標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成兩部分：一是由經(jīng)濟(jì)因素引起的“正常”價(jià)格波動(dòng)，用幾何運(yùn)動(dòng)刻畫(huà)；二是由不尋常的非經(jīng)濟(jì)因素而帶來(lái)的價(jià)格“跳躍”，用過(guò)程刻畫(huà)該模型既描述了由經(jīng)濟(jì)因素引起的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格正常波動(dòng)，又較準(zhǔn)確地描述了由不尋常的非經(jīng)濟(jì)因素而帶給標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的“跳躍”因此，我們假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳一擴(kuò)散過(guò)程是一種較理想的選擇注以上討論的隨機(jī)利率跳一擴(kuò)散模型一般都是不完全的，即這時(shí)市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)中性鞅測(cè)度的選取是不唯一的關(guān)于如何選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)镊睖y(cè)度，可參見(jiàn)【】本文討論當(dāng)市場(chǎng)中鞅測(cè)度選定以

8、后，如何進(jìn)行期權(quán)的定價(jià)故以下的討論都是限于鞅測(cè)度的條件下，即在所給風(fēng)險(xiǎn)中性的概率空間中所有資產(chǎn)的折現(xiàn)價(jià)格過(guò)程都為鞅從（）可以得到對(duì)任意，（）：，（），“”（“）“訂”（“）一“。?。ā埃┮虼耍?，（，），（）￥由弦一州¨如材出弦（）（，）（口（，），（），（），）【（甜）（“，）（）其中麗，小出，（州）：確，西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版第卷（），（），（），?。?，（）（，燦【（甜）（甜，）甜州州定理設(shè)市場(chǎng)可行，則歐式未定權(quán)益的價(jià)格石（）臣，【萬(wàn)（，），小】證明：由定理可知，（痧）巧（痧）一川”出是鞅，其中是的等價(jià)鞅測(cè)度又丌（）巧（）“出】，所以萬(wàn)（）萬(wàn)（，），“山巧】定理（）歐式看漲

9、期權(quán)萬(wàn)（，）（，一）價(jià)格為（，?。ǎ┬危ㄖ晃澹?，）（碟）一兀州州拓（五），丁）（彰）（）歐式看跌期權(quán)石（）（）價(jià)格為（，）一?！拔哆脱校梗ǎ?，?。ㄒ蝗校┮唬ǎ┩?，旯（），）（一以）（）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系為（，）（，）；（五（），）（）彬（，旯（），丁）（，丁）其中（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，以：些竺生墮萼星竺蕓些塑，籪：礬一歷可葡，、盯；嘭口，旯，：薹圣掣（一。，目，五。，出），嘶妒，：薹掣（小耐證叭吣彳渺啪。，脅廊腳，黔”豹垅。）其中警一（吉仃（）旯（）臼）出（口（），（），（，），）；記仃（）衄。）（“）雨確形（“）喜（），盯；（燦，西肼（”）（誦）“，對(duì)給定的

10、療（）”一；門(mén)口，療刃町）所以（，）（）厶一島吖出，抑即，趔叭“弛脅瑚。，跏，¨瑚一）婚脅酏主尸日（丁）：力）饑協(xié)腳）：。，砉掣（一，臼，（）以，第期蘇軍等：期權(quán)定價(jià)模型的一種改進(jìn)方法同理，。：缸州叩州川”蠢薹掣（一旯。，出）。鐘，所以，結(jié)論。，成立（）類(lèi)似（）的證明可得結(jié)論成立（）由結(jié)論（）和（）可得歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系為：（，丁）一幾，“口；（五（），?。海ǎ┩?，五（），）（，?。┙Y(jié)束語(yǔ)期權(quán)定價(jià)模型是金融業(yè)內(nèi)的人士廣為采用的定價(jià)模型，但假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是常數(shù)，直接結(jié)論是，滿足正態(tài)分布，與金融數(shù)據(jù)具有厚尾（）和波動(dòng)聚類(lèi)（時(shí)）統(tǒng)計(jì)特征具有明顯的區(qū)別本文討論了模型的定

11、價(jià)偏差，給出了一種改進(jìn)方法，假設(shè)利率是隨機(jī)情形下，討論了通過(guò)改變標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格行為模式的假設(shè)，即假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從跳一擴(kuò)散過(guò)程的歐式未定權(quán)益定價(jià)問(wèn)題，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)公式及平價(jià)關(guān)系參考文獻(xiàn)：【】，：【，：【】，：【】，（），：，【】，：【】，：【】約翰赫爾期權(quán)，期貨和其它衍生產(chǎn)品（第三版）【】陶偉譯，北京：華夏出版社，”，（，；，）：，：； Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的一種改進(jìn)方法作者：蘇軍， 趙選民， 王雪峰， SU Jun， ZHAO Xuan-min， WANG Xue-feng作者單位：蘇軍,SU Jun(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安,710072;西安

12、科技大學(xué)基礎(chǔ)部,西安,710054， 趙選民,ZHAO Xuan-min(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安,710072， 王雪峰,WANG Xue-feng(西安科技大學(xué)基礎(chǔ)部,西安,710054刊名：西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION年，卷(期：2005,31(4被引用次數(shù)：1次參考文獻(xiàn)(7條1. 約翰·赫爾;陶偉 期權(quán),期貨和其它衍生產(chǎn)品 20032. Amin K I;Jarrow R A Pricing foreign curr

13、ency options under stochastic interest rates 1991(103. RABINOVITCH R Pricing stock and bond options when the default-free rate is stochastic 19894. Follmer H;Schweizer M Hedging of contingent claims under incomplete information 19905. Dritschel M;Protter P Complete markets with discontinuous security price外文期刊 19996. Aase K K Contingent claims valuation when the