專題：代數(shù)式和因式分解

1、上海市2000-2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析專題2:代數(shù)式和因式分解一、選擇題1. （上海市2001年3分）下列計(jì)算中，正確的是【】3 2 6 2 2A. a a = aB aba-b 二 a2-b2C.（a+ b） 2= a2 + b2 D . a b a-2b 二a2-ab-2b2【答案】B, D.【考點(diǎn)】同底數(shù)幕的乘法，平方差和完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【分析】根據(jù)平方差和完全平方公式，同底數(shù)幕的乘法和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì) 算作出判斷：A、應(yīng)為a3?a2=a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、 a b a-b二a2-b2，故本選項(xiàng)正確；C、應(yīng)為（a +b $ =a2 +2ab+b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2、D a b a-2b =a2-ab-2b2，故本選項(xiàng)正確.故選B, D.2. （上海市2001年3分）下列多項(xiàng)式中，能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的是【1 .2 2 2 2A. x + 4 B . x - 2 C . x -x 1 D . x + x+ 1【答案】B, C.【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，一元二次方程根的判別式.【分析】根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)結(jié)合公式特征選取答案：A. T對(duì)于 x2+ 4=0 有 =0 16= 16v0，：x2+ 4=0 無(wú)實(shí)數(shù)根，即 x2 +4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可以分解因式；B. t對(duì)于x2 2=0有厶=0+ 8=8>0，Ax2 2=0有實(shí)數(shù)根，即x2 2在 實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以分解

3、因式；C. t對(duì)于x2 x 仁0有厶=1 + 4=5>0，.°.x2 x 仁0有實(shí)數(shù)根，即x2 x 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式；D. t對(duì)于x2 + x +仁0有厶=1 4= 3<0，：x2+ x+ 1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，即X2+ x+ 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可以分解因式故選B, C.3. (上海市2002年3分)在下列各組根式中，是同類二次根式的是【】(A)2 和 12 ；(C) 、4ab 和.ab3 ；(D) a-1 和.a 1 .【答案】B, C.【考點(diǎn)】同類二次根式【分析】首先把各選項(xiàng)中不是最簡(jiǎn)二次根式的式子化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義判斷：A和 2被開(kāi)方數(shù)不

4、同，不是同類二次根式;B片2 = 1、2和、2被開(kāi)方數(shù)相同，是同類二次根式；C 40b=2 Ob和' ab3=b.0b被開(kāi)方數(shù)相同，是同類二次根式;D被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類二次根式.故選B，C.4.(上海市2004年3分)F列運(yùn)算中，計(jì)算結(jié)果正確的是【A. a4 a3 =a12B. a6 " a3 = a22 .C. (a3 ) =a5 D.【答案】D.【考點(diǎn)】同底數(shù)幕的乘法和除法，幕的乘方和積的乘方.【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變指數(shù) 相減；幕的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘 方，再把所得的幕相乘，對(duì)各選項(xiàng)分

5、析判斷后利用排除法求解:A、應(yīng)為a4 a3二a7，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B應(yīng)為a6 a3二a3，故本選項(xiàng)錯(cuò) 故選D.2C應(yīng)為a3二a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;333D a b= a b ，正確.5. (上海市2007年4分)在下列二次根式中，與.a是同類二次根式的是【】A 、2aB.、. 3a2C. , a3D. 、a4【答案】C.【考點(diǎn)】同類二次根式.【分析】先將各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，再找到被開(kāi)方數(shù)為 a的選項(xiàng)即可：A、2a與' a被開(kāi) 方數(shù)不同，故二者不是同類二次根式； B、與、a被開(kāi)方數(shù)不同，故 二者不是同類二次根式；C ：孑二a|a與a被開(kāi)方數(shù)相同，故二者是同類二次 根式；D 孑二a2與a被開(kāi)方數(shù)不同，

6、故二者不是同類二次根式.故選C.6. (上海市2008年4分)計(jì)算2aL3a的結(jié)果是【】2 2A. 5aB. 6a C. 5a2D. 6a2【答案】D.【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式.【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式直接得出結(jié)果：2a=6a11=6a2.故選D.7. (上海市2009年4分)計(jì)算(a3)2的結(jié)果是【】A. a5B. a6C. a8D. a9【答案】B.【考點(diǎn)】幕的乘方.【分析】根據(jù)幕的乘方運(yùn)算法則即可求解：(a3)2=a32=a6.故選B.8. (上海市2011年4分)下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是【】0.5 ；(C)5 ；(D)50(A)；(B)【答案】B.【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式.【分析】&

7、#163;=%，麗=£=孚,750=15=2/5，弋，爐，何 都不是最簡(jiǎn)二次根式.故選B.9. （上海市2012年4分）在下列代數(shù)式中，次數(shù)為3的單項(xiàng)式是【】A. xy2B. x 3+y3C . x 3yD . 3xy【答案】A.【考點(diǎn)】單項(xiàng)式的次數(shù).【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)定義可知： A xy2的次數(shù)為3,符合題意；B、x3+y3 不是單項(xiàng)式，不符合題意；C x3y的次數(shù)為4,不符合題意；D 3xy的次數(shù)為2, 不符合題意.故選A.10. （上海市2012年4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是【】A. a+bB.、, a +、bC. abD. . a，$b【答案】C.【考點(diǎn)】

8、有理化因式.-【分析】T a=b , a=b=a-b，二次根式.a-b的有理化因式是：a-b.故選C.二、填空題1. （上海市2000年2分）分解因式:八八宀 =_【答案】（x - y）（x y -1）【考點(diǎn)】因式分解-分組分解法.【分析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮分組分解法進(jìn)行分解，本題一二項(xiàng) x2 -y2可組成平方差公式法，三四項(xiàng)有公因式，故一二項(xiàng)為一組，三四項(xiàng)為一 組.22. （上海市2001年2分）如果分式的值為零，那么x =x _2【答案】2.【考點(diǎn)】分式的值為零的條件【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子=0;（ 2）分母工0兩個(gè)條件需同 時(shí)具備，缺一不可據(jù)此可以解答本題：由

9、題意可得X -仁0，解得x=2或一2=x=_2.x-20x 23. （上海市2002年2分）如果分式 丄蘭無(wú)意義，那么x=.x _2【答案】2.【考點(diǎn)】分式有意義的條件【分析】根據(jù)分式分母不為0的條件，分式無(wú)意義，分母為0.令分母為0,解得x 亠 3.x的值：由 x2=0= x=2，即x=2時(shí)，分式無(wú)意義x-24. （上海市2003年2分）分解因式：a2-b2-2a" =.【答案】a b-1 a-b -1 .【考點(diǎn)】分組分解法因式分解.【分析】觀察原式，一、三、四項(xiàng)可組成完全平方式，然后再與第二項(xiàng)運(yùn)用平方 差公式進(jìn)行因式分解即可：a2 -b2 -2a 仁 a2 -2a 1 -b2=

10、a-1 2-b2= a-1 b a-1-b = a b-1 a-b-15. （上海市 2004年 2 分）計(jì)算：（a-2b）（a 2b） =_.【答案】a2-4b2.【考點(diǎn)】平方差公式.【分析】本題符合平方差公式的特征：（1）兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；（2）有一項(xiàng)相同， 另一項(xiàng)互為相反數(shù).a是相同的項(xiàng)，互為相反項(xiàng)是 2b與一2b 所以可利用平方 差公式計(jì)算：（a-2b）（a 2b）二a2-4b2.26. （上海市2005年3分）計(jì)算：（x2） =.【答案】x4.【考點(diǎn)】幕的乘方.【分析】根據(jù)幕的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘計(jì)算即可得：（X2）2=x4.7. （上海市2005年3分）分解因式：a2-2a =.【

11、答案】a（a2）.【考點(diǎn)】提公因式法因式分解.【分析】觀察原式，找到公因式a,提出即可得出答案：a2-2a = a（a-2）.1 28. （上海市2006年3分）計(jì)算：-=.x x【答案】-.X【考點(diǎn)】分式的加減法.123【分析】因?yàn)榉帜赶嗤?，所以分母不變，分子直接相加?#39;3.XXX9. （上海市2006年3分）分解因式：卡 目二 【答案】X x y .【考點(diǎn)】提公因式法因式分解【分析】因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式一般來(lái)說(shuō)，如果可以提取 公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否還能分解.本題直接提取公因式x 即可：x2 xy 二 x x y .10. （上海市2007年3分

12、）分解因式：2a2-2ab二.【答案】2a a -b .【考點(diǎn)】提公因式法因式分解.【分析】直接提取公因式2a即可：2a2-2ab=2a a-b .1 i11. （上海市2007年3分）化簡(jiǎn)：-一_.x x +1【答案】一1.x（x +1 ）【考點(diǎn)】分式的加減法.【分析】分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式, 然后再相加減所以11X 1X _1 _ X X 1 X X 1 X X 1 X X 112. （上海市2008年4分）分解因式：x2-4二.【答案】X 2 x - 2 .【考點(diǎn)】應(yīng)用公式法因式分

13、解.【分析】直接應(yīng)用平方差公式即可：x2-4=x2 x-2.13. （上海市2009年4分）某商品的原價(jià)為100元，如果經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次 降價(jià)的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是 元（結(jié)果用含m的代數(shù) 式表示）.【答案】100X（ 1- m） 2.【考點(diǎn)】列代數(shù)式.【分析】列代數(shù)式解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.本題等量關(guān)系為：現(xiàn)在的價(jià)格=第二次降價(jià)后的價(jià)格=第一次降價(jià)后的價(jià)格x（ 1降價(jià)的百分率）2=100X（ 1 m ） X（1 m ） =100X（1 m）.14. （上海市2010年4分）計(jì)算：a: a2= .【答案】a.【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變指數(shù)相減計(jì)

14、算即可：a3 “ a2= a .15. （上海市2010年4分）計(jì)算：x 1 x-1二 .【答案】x2 -1.【考點(diǎn)】平方差公式.【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可：X 1 x-1=x2-1.16. （上海市2010年4分）分解因式：a2 -ab=【答案】a a -b .【考點(diǎn)】提公因式法因式分解【分析】直接提取公因式a即可：_ab=a a_b .17. （上海市2011年4分）計(jì)算：a2.【答案】a5【考點(diǎn)】同底幕乘法運(yùn)算法則.【分析】根據(jù)底數(shù)不變，指數(shù)相加的同底幕乘法運(yùn)算法則，得a2 aa2+3 = a5.18. （上海市2011年4分）因式分解：x2 _9y2二 .【答案】x+ 3y x -

15、3y .【考點(diǎn)】應(yīng)用公式法因式分解，平方差公式.【分析】根據(jù)平方差公式，直接應(yīng)用公式因式分解：2 2 2 2x -9y x - 3y = x+ 3y x -3y .19. （2012上海市4分）因式分解：xy - x= .【答案】x （y- 1）.【考點(diǎn)】提公因式法因式分解.【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，直接提取公因式x即可：xy - x=x （y- 1）.三、解答題421+1. (2000上海市8分)計(jì)算： I 1 2-.【答案】解：原式=4214 2(

16、x2)(X 2)(x+2)(x_2) x + 2 x_2(x + 2)(x_2)4 2x -4 -x -2 x -21(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.【分析】首先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，然后把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算， 進(jìn)行 約分化簡(jiǎn).解決本題的關(guān)鍵是分式的通分和分式的乘法中的約分，要先 化簡(jiǎn)后計(jì)算.2. （上海市2002年7分）計(jì)算： 2 X 2 - 2x 1 _各蘭.x-1 x -x-6 x 一9【答案】解：原式二x-2口紐衛(wèi)二x-1 2二x-3二1.X-1 （x-3“+2） （x+3j（x-3） X-3 x-3 x-3【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.【分析

17、】首先把分式分子分母能分解因式的先分解因式，進(jìn)行乘法運(yùn)算，約分后進(jìn)行減法運(yùn)算.3. （上海市2003年7分）已知x2-2x = 2，將下式先簡(jiǎn)化，再求值：2x -1 x 3 x -3 x -3 x -1 .【答案】解:2 t t t 2 2 2 2x -1 x 3 x -3x-3 x -1 =x2-2x 1 x2-9 x2-4x 3=3x2-6x-5當(dāng) x2 -2x =2 時(shí)，原式=3 x2 -2x -5=2 2-5=-1.【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算（化簡(jiǎn)求值）.【分析】首先將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后將x2-2x的值整體代入，從而求得代數(shù)式 的值.4.（上海市2006年9分）先化簡(jiǎn)，再求值:1x2 Tl(V -) ，其中 x=-. 2 .x x【答