平面向量的數(shù)量積15138

1、平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一【課標(biāo)要求】1平面向量的數(shù)量積通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實際問題的能力。二【命題走向】本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題

2、難度不大，分值59分。平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主預(yù)測2010年高考：（1）一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目（2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；三【要點(diǎn)精講】1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°q180°。（2）數(shù)量積的概念已知

3、兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：；對實數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱

4、與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：·O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式) 2向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。四【典例解析】題型1：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有。解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。點(diǎn)評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零例2 已知中，過重心

5、的直線交邊于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，則（）（）的取值范圍是.【解析】設(shè)，因為是的重心，故，又，因為與共線，所以，即，又與不共線，所以及，消去，得.（），故；（），那么，當(dāng)與重合時，當(dāng)位于中點(diǎn)時，故，故但因為與不能重合，故（2）設(shè)、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）=|<| （·）（·）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A.B.C.D.解析：（1）答案：D；因為，而；而方向與方向不一定同向（2）答案：D平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故假；由向量的減法運(yùn)算可知|、|、|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩

6、邊之差小于第三邊”，故真；因為（·）（·）·=（·）·（·）·=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=9··4·=9|24|2成立。故真。點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。題型2：向量的夾角例3（1）過ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E若，則的值為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B評析：本題考查向量的有關(guān)知識，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問題的能力（2

7、）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是。（3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。（4）| |=1，| |=2，= + ，且，則向量與的夾角為（ ）A30°B60°C120°D150°解析：（2）；（3）由題意，且與的夾角為，所以，同理可得。而，設(shè)為與的夾角，則。（4）C；設(shè)所求兩向量的夾角為即：所以點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握例4（1）設(shè)平面向量、的和。

8、如果向量、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（2009廣東卷理）已知向量與互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值解（1）與互相垂直，則，即，代入得，又，.（2），則，2、（山東臨沂2009年模擬）如圖，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,記。（1） 求關(guān)于的表達(dá)式;（2） 求的值域。解：（1）由正弦定理，得（2）由，得，即的值域為.3. 已知,。 （1）求； （2）設(shè)BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2A

9、D2=49，4分所以6分（2）在ABC中，8分 而 如果，則10分點(diǎn)評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實際問題題型3：向量的模例5（1）已知向量與的夾角為，則等于（ ） A5B4C3D1（2）（2009遼寧卷文）平面向量a與b的夾角為，a(2,0), | b |1，則 | a2b |等于（）A. B.2 C.4 D.12解析由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412解析：（1）B；（2）B點(diǎn)評：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。

10、解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)·3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；將變形代入可得：y=±；再代回得：。點(diǎn)評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。題型4：向量垂直、平行的判定例7已知向量，且，則。解析：，。例8已知，按下列條件求實數(shù)的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算題型5：

11、平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例9已知。分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。證明：設(shè)則。點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。例10已知，其中。（1）求證：與互相垂直；（2）若與（）的長度相等，求。解析：（1）因為所以與互相垂直。（2），所以，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以。點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理?？墒菇忸}過程得到簡化，從而提高解題的速度。題型6

12、：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例12用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)P是O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：APB90°。證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，即APB90°。點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用例13如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平

13、行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點(diǎn)在PC的延長線上。由正六邊形的性質(zhì)還可求得故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。課后訓(xùn)練：（2009北京卷理）已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向答案D解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法. 屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.2、江蘇省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試試題已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),集合,且.4

14、63、(2009山東卷理)設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.答案 B解析 :因為，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B?！久}立意】:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答.4、（2009寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的( )A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心答案 C（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）解析5. 江蘇省省阜中2008屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文科)試題若向量a=，b=，且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是. 6. （2009浙江卷文）已知向量

15、，若向量滿足，則（）A B C D答案 D解析不妨設(shè)，則，對于，則有；又，則有，則有【命題意圖】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用7. 對于個向量，若存在個不全為零的實數(shù)使得成立，則稱向量是線性相關(guān)的.按此規(guī)定，能使向量是線性相關(guān)的實數(shù)的值依次為.（只需寫出一組值即可）根據(jù)線性相關(guān)的定義得，令則，的一組值為4，2，18. 已知向量i=(1,0),j=(0,1),A,B,若，則OCD的面積為：A。B。 C。 D。1+29. 設(shè)向量與的夾角為，則.解：設(shè)向量與的夾角為且，則=.10. 已知向量的夾角的大小為.解

16、析：11. 已知ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)BCP與ABP的面積分別為s1,s2,則s1:s2=_12.設(shè)定義域為x1，x2的函數(shù)yf（x）的圖象為C，圖象的兩個端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，向量（x1，y1），（x2，y2），（x，y），滿足xx1（1）x2（01），又有向量（1），現(xiàn)定義“函數(shù)yf（x）在x1，x2上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指|k恒成立，其中k0，k為常數(shù)。根據(jù)上面的表述，給出下列結(jié)論：A、B、N三點(diǎn)共線；直線MN的方向向量可以為（0，1）；“函數(shù)y5x2在0，1上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”“函數(shù)y5x2在0，1上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性

17、近似”； 其中所有正確結(jié)論的序號為_、13. P為ABC所在平面上的點(diǎn)，且滿足=+，則ABP與ABC的面積之比是_12 14. 設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C是拋物線上不同三點(diǎn)，若=0，則=.設(shè)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3則x1+x2+x3=3，又=1+x1+1+x2+1+x3=615.若向量的夾角為16. 如圖，在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60°，AHBC，垂足為H，M為AH的中點(diǎn)，若的值等于。17. 在中，若， 則18. 若正方形邊長為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是-2，19. 已知是兩個互相垂直的單位向量, 且,則對任意的正實數(shù),的最小值是

18、.20. 在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn) ，若（），則1五【思維總結(jié)】1兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定；（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成·；今后要學(xué)到兩個向量的外積×，而×是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“·”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替；（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若¹0，且×=0，不能推出=。因為其中cosq有可能為0；（4）已知實數(shù)a、b、c

19、(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是×= ×；如右圖：×= |cosb = |OA|，×c = |c|cosa = |OA|Þ× =×，但¹； (5)在實數(shù)中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。2平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中