常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法112

1、 §11. 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un£vn (n=1, 2, × × × ). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un£vn(k>0, "n³N). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un£kvn(k>0

2、, "n³N). 若級(jí)數(shù)Svn收斂, 則級(jí)數(shù)Sun收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列sn有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 證 僅就un£vn (n=1, 2, 

3、5; × × )情形證明. 設(shè)級(jí)數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級(jí)數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ × × × + un£v1+v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列sn有界. 因此級(jí)數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)Sun發(fā)散, 則級(jí)數(shù)Svn必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級(jí)數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)n³N時(shí)有un£

4、;kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)n³N時(shí)有un³kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級(jí)數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p£1. 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p£1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2, 3, × × ×). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p£1時(shí)

5、發(fā)散. 解 當(dāng)p£1時(shí), , 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當(dāng)p£1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)p>1時(shí), (n=2, 3, × × ×). 而級(jí)數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂.提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p£1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果(0<l<+¥), 則級(jí)數(shù)和級(jí)

6、數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果(0£l<+¥), 且級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; (2)如果, 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)Sun和Svn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果lim(un/vn)=l(0£l<+¥), 且Svn收斂, 則Sun收斂; (2)如果lim(un/vn)=l(0<l£+¥), 且Svn發(fā)散, 則Sun發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對(duì), 存在自然數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論

7、1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)

8、為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法,

9、柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足, 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果 , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法

10、可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例7 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例8 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理6（萊布尼茨定

11、理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|£un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足: (1); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|£un+1. 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ 

12、5; × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2n<u1), 所以收斂. 設(shè)s2n®s(n®¥), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 從而級(jí)數(shù)是收斂的, 且sn<u1. 因?yàn)?|rn|=un+1-un+2+× × ×也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 所以|rn|£un+1. 例9 證明級(jí)數(shù)收斂, 并估計(jì)和及余項(xiàng). 證 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 (1)(n=1, 2,× × ×), (2), 由萊布尼茨定理, 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和s<u1=1, 余項(xiàng). 三、絕對(duì)收斂與條件收斂: 絕對(duì)收斂與條件收斂: 若級(jí)數(shù)收斂, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 若級(jí)數(shù)收斂, 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)級(jí)條件收斂. 例10 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的, 而級(jí)數(shù)是條件收斂的. 定理7 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則級(jí)數(shù)必定