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文檔簡(jiǎn)介
1、微分方程數(shù)值解法論文常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法的討論與比較一、一階常微分方程的初值問(wèn)題科學(xué)技術(shù)中常常要求解常微分方程的定解問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題最簡(jiǎn)單的形式是一階方程的初值問(wèn)題我們知道,只要函數(shù)適當(dāng)光滑,譬如關(guān)于滿(mǎn)足Lipschitz條件 (1.3)理論上就可以保證初值問(wèn)題(1.1),(1.2)的解存在并且唯一。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法,但解析方法只能用來(lái)求解一些特殊類(lèi)型的方程,實(shí)際問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的微分方程主要靠數(shù)值解法。二、歐拉法我們知道,在平面上,微分方程(1.1)的解稱(chēng)作它的積分曲線。積分曲線上一點(diǎn)的切線斜率等于函數(shù)的值,如果按函數(shù)在平面上建立一個(gè)方向場(chǎng),那么,積分曲線上每一點(diǎn)的切
2、線方向均與方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相一致,基于上述幾何解釋?zhuān)瑥某跏键c(diǎn)出發(fā),先依方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向推進(jìn)到上一點(diǎn),然后再?gòu)囊婪较驁?chǎng)的方向推進(jìn)到上一點(diǎn),循此前進(jìn)推出一條折線,一般地,設(shè)已做出該折線的頂點(diǎn),過(guò)依方向場(chǎng)的方向再推進(jìn)到,顯然兩個(gè)頂點(diǎn),的坐標(biāo)有關(guān)系即(2.1)這就是著名的歐拉(Euler)公式。若初值已知,則依公式(2.1)可逐步算出例1 求解初值問(wèn)題解 歐拉公式的具體形式為取步長(zhǎng),計(jì)算結(jié)果如下表:表1 計(jì)算結(jié)果對(duì)比0.10.20.30.40.51.10001.19181.27741.35821.43511.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.
3、50901.58031.64981.71781.78481.48321.54921.61251.67331.7321初值問(wèn)題(2.2)有解,按這個(gè)解析式子算出的準(zhǔn)確值同近似值一起列在表1, 兩者相比較可以看出歐拉方法的精度很差。三、改進(jìn)歐拉法為得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式,在等式如果對(duì)方程(1.1)從到積分,得(3.1)右端積分中若用梯形求積公式近似,并用代替,代替,則得 (3.2)稱(chēng)為改進(jìn)歐拉法改進(jìn)歐拉方法是隱式單步法,可用迭代法求解用歐拉方法提供迭代初值,則改進(jìn)歐拉法的迭代公式為(3.3)為了分析迭代過(guò)程的收斂性,將(3.1)式與(3.2)相減,得,于是有,式中為對(duì)滿(mǎn)足Lipschitz常
4、數(shù),如果選取充分小,使得,則當(dāng)時(shí)有,這說(shuō)明迭代過(guò)程(3.3)是收斂的例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題(1.1)解改進(jìn)的歐拉公式為仍取,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表同例中歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較,改進(jìn)歐拉法明顯改善了精度表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比0.10.20.30.40.51.09591.18411.26621.34341.41641.09541.18321.26491.34161.41420.60.70.80.91.01.48601.55251.61531.67821.73791.48321.54921.61251.67331.7321四、 線性多步法在逐步推進(jìn)的求解過(guò)程中,計(jì)算之前事實(shí)上已經(jīng)求出了一系列的近似值,如
5、果充分利用前面多步的信息來(lái)預(yù)測(cè),則可以期望會(huì)獲得較高的精度這就是構(gòu)造所謂線性多步法的基本思想構(gòu)造多步法的主要途徑是基于數(shù)值積分方法和基于泰勒展開(kāi)方法,前者可直接由方程(1.1)兩端積分后利用插值求積公式得到一般的線性多步法公式可表示為, (4.1)其中為的近似,為常數(shù),及不全為零,則稱(chēng)(4.1)為線性步法,計(jì)算時(shí)需先給出前面?zhèn)€近似值,再由(4.1)逐次求出如果,稱(chēng)(4.1)為顯式步尖,這時(shí)可直接由(4.1)算出;如果,則(4.1)稱(chēng)為隱式步法,求解時(shí)與改進(jìn)歐拉法相同,要用迭代法方可算出,(4.1)中系數(shù)及可根據(jù)方法的局部截?cái)嗾`差及階確定,其定義為:設(shè)是初值問(wèn)題(1.1),(1.2)的準(zhǔn)確解。阿
6、當(dāng)姆斯顯式與隱式公式考慮形如,(4.2)的步法,稱(chēng)為阿當(dāng)姆斯(Admas)方法為顯式方法,亦稱(chēng)Adams-Bashforth公式;為隱式方法,亦稱(chēng)Adams-Monlton公式,直接由方程(1.1)兩端從到積分求得。例3積分法導(dǎo)出三步顯式阿當(dāng)姆斯方法解對(duì)(1.1)兩端從到積分考慮以為節(jié)點(diǎn)的二次代數(shù)多項(xiàng)式插值,則從而得到同理得再由積分中值定理也不難得到,即的阿當(dāng)姆斯顯式公式為,(4.3)其局部截?cái)嗾`差為例4用四階阿當(dāng)姆斯顯式和隱式方法解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)解本題從四階阿當(dāng)姆斯顯式公式得到對(duì)于四階阿當(dāng)姆斯隱式公式得到由此可直接解出而不用迭代,得到計(jì)算結(jié)果如表5,其中顯式方法中的及隱式方法中的均用準(zhǔn)確解計(jì)
7、算得到,對(duì)一般方程,可用四階R-K方法計(jì)算初始近似表5例4計(jì)算結(jié)果阿當(dāng)姆斯顯式公式阿當(dāng)姆斯隱式格式0.30.40.50.60.70.80.91.01.040818221.070320051.106530661.148811641.196585301.249328961.306569661.367879441.0700322921.106535481.148818411.196593401.249338161.306579621.367889962.87e-0064.82e-0066.77 e-0068.10 e-0069.20 e-0069.96 e-0061.05 e-0061.040818011.070319661.106530141.148811011.196584591.249328191.306568841.367878592.1 e-0073.9 e-0075.2 e-0076.3 e-
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