彈性直梁?jiǎn)栴}的變分原理及有限元素法

1、第二章 彈性直梁?jiǎn)栴}的變分原理及有限元素法l 討論的問(wèn)題：一變剖面的梁，一端固支，另一端簡(jiǎn)支。承受軸向拉力N，分布橫向載荷以及端點(diǎn)彎矩的作用。l 控制微分方程及邊界條件（以梁的撓度w表示）l 稱謂：把滿足方程及全部邊界條件的撓度叫真實(shí)撓度，精確解；把滿足基本邊界條件但不滿足微分方程和自然邊界條件的撓度叫（變形）可能撓度。i) 最小勢(shì)能原理（變分原理）l 把載荷看作是不變的已知函數(shù)，把撓度看作是可變的自變函數(shù)。l 整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能包括三部分：（1） 梁的應(yīng)變能：dsw+dww(2) 軸向應(yīng)變能：dx(3) 橫向載荷勢(shì)能：后項(xiàng)取加號(hào)，是為著能夠得到自然邊界條件的結(jié)果 (4) 系統(tǒng)總勢(shì)能：* 除w為可

2、變外，其余變量假定為已知的不變量。l 最小勢(shì)能原理：在所有變形可能的撓度中，精確解使系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值。l 由于是w的二次函數(shù)，不用變分法而用較初等的方法也能作出數(shù)學(xué)證明。證明過(guò)程：設(shè)是精確解，它滿足微分方程及所有邊界條件。設(shè)是某一變形可能的撓度，僅知道它滿足：令： 當(dāng)時(shí)，才是w的變分。由上式關(guān)系知滿足： 在處， 在處，與相應(yīng)的總勢(shì)能：其中：Note：滿足基本邊界條件，可得 (功的互等定理)¬ 功的互等定理：第一組力在第二組位移上所做的功等于第二組力在第一組位移上所做 的功。（真實(shí)力狀態(tài)關(guān)于虛擬位移作功；虛擬位移產(chǎn)生的虛擬力關(guān)于真實(shí)位移作功）此式表明： 由的算式，當(dāng)時(shí)， 或 當(dāng)（軸

3、受壓）未達(dá)到臨界壓力時(shí)，。所以： 式中的等號(hào)只有在為剛體位移時(shí)才能成立（即彈性能僅為零的情況）。以上即是證明的最小勢(shì)能原理。¬ 上述的證明可普遍適用于其他類型的邊界條件；也適用于其他復(fù)雜彈性力學(xué)體系。¬ 精確解既然是使總勢(shì)能取最小值，那么必有：即： （正好補(bǔ)足了可能撓度尚未滿足的邊界平衡條件）所以，最小勢(shì)能原理與平衡條件（邊界及內(nèi)部）完全等價(jià)。¬ 說(shuō)明：盡管變分法與原問(wèn)題的微分方程系統(tǒng)等價(jià)，但具體求解時(shí)，變分法涉及的導(dǎo)數(shù)階次要低（這是能量法的優(yōu)點(diǎn)，求得的解可能滿足微分方程的連續(xù)性要求，也可能不滿足）。¬ 能量逼近解（不是真解）不能滿足力的自然邊界條件（選

4、取可能位移時(shí)一般很難取得滿足力的邊界條件，故一般情況有限元不能獲得滿足力邊界條件的解）。從這點(diǎn)上看，只能是近似解。當(dāng)然，如果在滿足力的邊界條件的那些函數(shù)集合中選，則解的精度要大大提高（即更為逼近）。強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：¬ 上述證明的是真實(shí)撓度使 系統(tǒng) 勢(shì)能取最小值。¬ 又通過(guò)變分法證明了系統(tǒng)能量的極值曲線滿足梁的微分控制方程（平衡方程）。需要深入認(rèn)識(shí)的是：系統(tǒng)能量泛函中要求的撓度為可能撓度（即滿足連續(xù)性與位移邊界條件的曲線，但不滿足微分方程）；變分的結(jié)果恰使極值曲線應(yīng)滿足微分方程及自然邊界條件，補(bǔ)足了真實(shí)解的所需條件（理論上的等價(jià)性）。¬ 微分方程解與能量泛函解對(duì)函數(shù)連續(xù)性

5、的要求是不同的，故能量方法對(duì)函數(shù)的連續(xù)性要求較放松。以后在廣義變分原理中會(huì)看到對(duì)解函數(shù)的連續(xù)性要求更低。ii) 用Ritz法求解梁的彎曲問(wèn)題考慮：端固支，端簡(jiǎn)支，變剖面梁在軸向拉力和橫向載荷聯(lián)合作用下的平衡問(wèn)題，求撓度函數(shù)（當(dāng)EJ為變數(shù)時(shí)很難求解精確解）。求解：設(shè)撓度表達(dá)式為：式中，是變形可能的某一特解，即和是x的連續(xù)函數(shù)，且滿足下列非齊次的位移邊界條件：在處，在處，為n個(gè)適當(dāng)選定的變形可能的齊次解，即和都是x的連續(xù)函數(shù)，并且滿足齊次的位移邊界條件，即：在處，在處，是n個(gè)待定常數(shù)。改成用矩陣表示（便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算及與有限元方法對(duì)比）記： 未定系數(shù)矢量由最小勢(shì)能原理確定。（1） 代入能量泛函： （

6、2） 代入w的計(jì)算舉例：）Note： 代入積分式后成為常數(shù)，對(duì)變分無(wú)意義，故可在變分意義下忽略掉。 ） 同理得其他項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果。最終有：（3） 計(jì)算 注意求導(dǎo)運(yùn)算的規(guī)則：在行乘列的數(shù)中，對(duì)行變量求導(dǎo)，列向量不變；對(duì)列向量求導(dǎo)得行向量的轉(zhuǎn)置。同時(shí)注意到上式中的矩陣對(duì)稱性，即： 于是得：上面的計(jì)算推導(dǎo)顯粗，細(xì)做：令： ¬ Ritz法中的關(guān)鍵取決于可能撓度的選取是否恰當(dāng)。若問(wèn)題中的位移邊界條件是齊次的，則；若問(wèn)題中的位移邊界條件是非齊次的，不可少。若級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)已頗接近精確解，級(jí)數(shù)的后幾項(xiàng)只起“修正”作用，那么少取幾項(xiàng)也能解決問(wèn)題。反之，級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)與精確解相差頗遠(yuǎn)，則加重了后面各項(xiàng)的“修

7、正”負(fù)擔(dān)，那么級(jí)數(shù)項(xiàng)只好取得多一些。lleeiii).有限元素法求解梁的彎曲問(wèn)題基本步驟： 先將梁分割成若干個(gè)（如n個(gè)）有限單元。 構(gòu)造單元的無(wú)量綱局部坐標(biāo)系（用于幾何構(gòu)造）取第e個(gè)元素分析（如右圖）j取無(wú)量綱局部坐標(biāo)系: 線性構(gòu)造幾何坐標(biāo)： (后者為規(guī)范式)局部坐標(biāo)實(shí)際上為坐標(biāo)基函數(shù)（也稱形狀函數(shù)，或參數(shù)坐標(biāo)）。從坐標(biāo)的觀點(diǎn)來(lái)理解，參數(shù)坐標(biāo)并不是獨(dú)立的，也不具有描述一個(gè)任一向量的最小數(shù)目。 構(gòu)造位移（撓度）函數(shù)（有限元不要對(duì)整個(gè)梁的撓度作假設(shè)，而僅在每一個(gè)元素上進(jìn)行假設(shè)構(gòu)造，顯然簡(jiǎn)單易行）對(duì)梁類單元如果構(gòu)造成線性撓度，即： 過(guò)分簡(jiǎn)化，無(wú)法滿足梁變形的連續(xù)性。因?yàn)椋篴. 由線性假設(shè)，梁的曲率為

8、零，計(jì)算不出梁的應(yīng)變能，故需要梁的撓度函數(shù)構(gòu)造滿足二階導(dǎo)存在，即b. 兩個(gè)相鄰元在公共節(jié)點(diǎn)上給出不相等斜率（一階導(dǎo)在單元內(nèi)為常數(shù)），這與位移連續(xù)性的要求矛盾，同樣要求 ，且不能在單元內(nèi)為常數(shù)。由此，對(duì)梁元素的撓度函數(shù)必須是三次的函數(shù)。如用三次函數(shù)，可?。篐的上標(biāo)代表節(jié)點(diǎn)號(hào)（相當(dāng)于i, j）下標(biāo)0對(duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)撓度；1對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)斜率（轉(zhuǎn)角）；還應(yīng)注意到上述插值表達(dá)式中的系數(shù)為單元節(jié)點(diǎn)的位移及一階導(dǎo)（未知量）?？煽闯捎蓪?duì)應(yīng)于節(jié)點(diǎn)的要素所引起的單元內(nèi)部撓度關(guān)系。在兩節(jié)點(diǎn)上一階導(dǎo)都為零。b在兩節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值都為零。在兩節(jié)點(diǎn)上一階導(dǎo)都為零。在兩節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值都為零。注意：l 上式插值的奧妙之處在于保障了在單元間節(jié)

9、點(diǎn)上函數(shù)值及其一階導(dǎo)的連續(xù)性，二階導(dǎo)并不連續(xù)（僅是存在）。這從能量泛函的積分式中可以看出已滿足了積分條件；如果二階導(dǎo)也連續(xù)，則過(guò)于連續(xù)了（過(guò)協(xié)調(diào)單元，這樣的解反倒由于計(jì)算誤差而導(dǎo)致精度下降）。l 上述插值函數(shù)的構(gòu)成在單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在）。這是分段（片）插值函數(shù)的共同特征（可比較樣條函數(shù)的特性）。l 上述的坐標(biāo)基函數(shù)具有內(nèi)嵌性（規(guī)范性），即直接在節(jié)點(diǎn)上滿足函數(shù)本身及一階導(dǎo)連續(xù)的特性。樣條函數(shù)需要外加節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的要求。 計(jì)算勢(shì)能泛函有限元中已對(duì)按元素分段進(jìn)行插值，故能量泛函也應(yīng)分段計(jì)算，即： NNN舉例：當(dāng)每個(gè)單元都

10、很短時(shí)，通常認(rèn)為各單元中的EJ是一個(gè)常數(shù)，這使得有限元法考慮變彈性剛度的梁?jiǎn)栴}更易處理。作法相同于Ritz法，代的插值表達(dá)式，細(xì)致計(jì)算得：細(xì)致計(jì)算中應(yīng)用到一個(gè)定積分結(jié)果：積分結(jié)果元素剛度矩陣元素的幾何剛度矩陣（元素的廣義載荷列陣，轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)的等效載荷） 總勢(shì)能的和在求和計(jì)算時(shí)要注意，相鄰單元有公共的節(jié)點(diǎn)（號(hào)），可采用對(duì)號(hào)求和的辦法來(lái)計(jì)算。舉例：（注意對(duì)稱性）23451 （可把節(jié)點(diǎn)看成是自由的，元素對(duì)節(jié)點(diǎn)起約束作用）對(duì)號(hào)求和規(guī)則：a. 做一個(gè)總矩陣，行（列）數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)×節(jié)點(diǎn)自由度數(shù) b. 取各單元的矩陣：1單元對(duì)號(hào)求和放入總矩陣相應(yīng)位置；2單元對(duì)號(hào)求和放入總矩陣相應(yīng)位置；。c. 相合矩陣

11、（布爾矩陣（Boolean）初等變換矩陣。單元： （這里的矩陣元素代表一個(gè)2´2的塊）單元： 求系統(tǒng)勢(shì)能的最小值remark: 求解剛度方程的作用是確定近似的位移形態(tài)。 說(shuō)明: i剛度方程是一個(gè)節(jié)點(diǎn)力的平衡方程。是在假設(shè)的位移形態(tài)下，連續(xù)體平衡方程經(jīng)能量變分原理轉(zhuǎn)換成的節(jié)點(diǎn)力平衡方程。ii這個(gè)平衡方程是虛擬的（只有在桁架或剛架結(jié)構(gòu)中真實(shí)；連續(xù)體結(jié)構(gòu)實(shí)際不存在），只是在能量意義下的“籠統(tǒng)”的平衡關(guān)系（連續(xù)體的能量離散節(jié)點(diǎn)體系的能量）。節(jié)點(diǎn)力為能量意義上的等效節(jié)點(diǎn)力。iii.（如果僅取一個(gè)單元）若在梁各固支節(jié)點(diǎn)上加一集中反力（廣義力）F，那么這個(gè)F正好與原有載荷產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)載荷F相抵消

12、，從而U0，這說(shuō)明F就是結(jié)構(gòu)力學(xué)中常見的固定端反力，即能使節(jié)點(diǎn)無(wú)撓度無(wú)轉(zhuǎn)角所需的集中反力和反力矩。上面介紹的方法實(shí)質(zhì)上就是求固定端反力的近似方法。對(duì)于等剖面的梁且無(wú)軸向載荷作用，上面計(jì)算的F公式是精確的。（說(shuō)明虛擬的節(jié)點(diǎn)載荷應(yīng)是固支端的支反力）。iv. 若梁為等剖面的且在均布載荷作用下，由材料力學(xué)知，其撓度是三次曲線。因此，位移形狀函數(shù)的假設(shè)是精確的，所以最后求得的解是精確解。v. 在構(gòu)造位移形狀函數(shù)時(shí)，并沒(méi)有注意到邊界條件的滿足，要使邊界處單元在支持端位移條件恰好與支持端節(jié)點(diǎn)位移一致，必須在解總剛度方程前，置入這些支持端節(jié)點(diǎn)上的邊界條件，再進(jìn)行線性代數(shù)方程組的求解。vi. 從另一角度看，在未

13、置入邊界條件的總剛方程中，總剛方程代表了一個(gè)平衡關(guān)系，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移有剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)平衡關(guān)系仍然成立，因此未置邊界條件的總剛方程是不定的或說(shuō)有無(wú)窮個(gè)解，即（總剛方程是奇異的）。當(dāng)置入了邊界條件后，（不可能有剛體位移發(fā)生）才能獲得唯一位移解，這說(shuō)明置入邊界條件后的總剛方程是適定的，而且對(duì)于獲得的位移解，總能使系統(tǒng)勢(shì)能（二次型）大于零。故說(shuō)此時(shí)的總剛矩陣是正定的。（無(wú)置入邊界時(shí)是稱為半正定的）。置邊界條件的兩種方法： 劃行劃列法邊界條件的置入，應(yīng)使代數(shù)方程組的求解與給定的節(jié)點(diǎn)位移（一般是支持端）上一致。這是最終的目的，但方法上可以多樣化。劃行劃列法實(shí)際上是在總剛度方程中取消這些與已知節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)的量。即： 若代入上述方程，并移項(xiàng)后得（此時(shí)應(yīng)為未知量，否則三個(gè)方程解兩個(gè)未知量本身就是矛盾的，應(yīng)多消掉一個(gè)方程）求解時(shí)，僅解這相當(dāng)于在方程中，劃掉第2行或第2列（但應(yīng)注意對(duì)右端項(xiàng)的處理）。 置1法：大家可能擔(dān)心，所求解不滿