數(shù)列求和優(yōu)秀教案

1、題組教學(xué)：“探索研究綜合運(yùn)用”模式“數(shù)列的裂差消項(xiàng)求和法解題課”教學(xué)設(shè)計(jì)【課例解析】1 教材的地位和作用本節(jié)課是人教A版數(shù)學(xué)（必修5）第2章 數(shù)列學(xué)完基礎(chǔ)知識(shí)后的一節(jié)針對(duì)數(shù)列求和方法的解題課。通過本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生感受裂差消項(xiàng)求和法在數(shù)列求和中的魅力，體會(huì)裂項(xiàng)相消的作用，達(dá)到提高學(xué)生運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和的能力，并把培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識(shí)和合作，探索意識(shí)作為教學(xué)目標(biāo)。 2 學(xué)情分析在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的一般概念，又對(duì)等差、等比數(shù)列從定義、通項(xiàng)、性質(zhì)、求和等方面進(jìn)行了深入的研究。在研究過程中，數(shù)列求和問題重點(diǎn)學(xué)習(xí)了通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和的方法，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列求和公式時(shí)用到了錯(cuò)位相減法、倒序

2、相加法和裂差消項(xiàng)求和法，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)裂差消項(xiàng)求和法做深入的研究。本節(jié)課的內(nèi)容和方法正處于學(xué)生的認(rèn)知水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。【方法闡釋】本節(jié)課的教學(xué)采用心智數(shù)學(xué)教育方式之“題組教學(xué)”模式，分為“創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課，題組探索、自主探究，題組研究、匯報(bào)交流，題組綜合、鞏固提高，歸納總結(jié)、提升拓展”五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)本節(jié)課從學(xué)生在等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程中用到的裂差消項(xiàng)求和法引入，從課本習(xí)題的探究入手展開教學(xué)，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)裂差消項(xiàng)求和法，并很快進(jìn)入深層次思維狀態(tài)。接下來的研究性題組和綜合性題組又從更深更廣的層面加強(qiáng)裂差消項(xiàng)求和法的應(yīng)用?！灸繕?biāo)定位】1 知識(shí)

3、與技能目標(biāo)掌握裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題的基本思路、方法和適用范圍。進(jìn)一步熟悉數(shù)列求和的不同呈現(xiàn)形式及解決策略。2 過程與方法目標(biāo)經(jīng)歷數(shù)列裂差消項(xiàng)求和法的探究過程、深化過程和推廣過程。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。3 情感與價(jià)值觀目標(biāo)通過數(shù)列裂差消項(xiàng)求和法的推廣應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在學(xué)習(xí)過程中的一切發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，一切好的想法和念頭都可以發(fā)揚(yáng)光大。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)新意識(shí)，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。感悟數(shù)學(xué)的簡潔美對(duì)稱美。4教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為裂項(xiàng)相消求和的方法和形式。能將一些特殊數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)

4、相消求和問題。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為用裂項(xiàng)相消的思維過程，不同的數(shù)列采用不同的方法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想分析問題和解決問題?！菊n堂設(shè)計(jì)】一、創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課教師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，我們?cè)谕茖?dǎo)數(shù)列求和公式時(shí)，先后發(fā)現(xiàn)了哪幾種數(shù)列求和的方法？學(xué)生1：在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)時(shí)我們用到了倒序相加法。在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)中我們發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)位相減法、裂差消項(xiàng)求和法。學(xué)生2：在學(xué)習(xí)求和過程中，我們還發(fā)現(xiàn)了分組求和法和通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。我的思考：在推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時(shí)，有的小組根據(jù)等比數(shù)列求和公式的形式，想到用裂差消項(xiàng)求和法。這節(jié)課就是從學(xué)生的這種想法開始，使學(xué)生體會(huì)到自己的一個(gè)想法，再繼續(xù)下去就能解決一類問題。等

5、比數(shù)列求和公式用裂差消項(xiàng)求和法證明如下： =二、題組探索、自主探究教師：請(qǐng)同學(xué)們思考下列探索性題組中問題解法：出示探索性題組(多媒體投影)求和:1234 學(xué)生獨(dú)立思考后，各小組討論交流各自的想法，各小組選派代表在全班交流。學(xué)生3；第一題去掉括號(hào)后，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能消去。學(xué)生4：第2題的每一項(xiàng)與第一題相同，每一項(xiàng)都可裂成兩項(xiàng)，數(shù)列通項(xiàng)所以，教師：用對(duì)嗎？為什么？學(xué)生5：不行了，很明顯，左右是不相等的關(guān)系。教師：怎樣改變呢？學(xué)生5：待定系數(shù)法，配平系數(shù)，達(dá)到平衡。應(yīng)該乘以！和第2題相似，每一項(xiàng)也可裂成兩項(xiàng)實(shí)現(xiàn)裂差消項(xiàng)求和。數(shù)列的項(xiàng)所以，=學(xué)生6：第4題的變形與第3題類似變式問題：

6、求和學(xué)生7：每一項(xiàng)同樣可裂成兩項(xiàng)，通過裂差消項(xiàng)求和法求和：教師：通過以上探索性題組我們發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？（學(xué)生表述，教師點(diǎn)評(píng)，補(bǔ)充。）結(jié)論：一般地，是公差為d的等差數(shù)列，則：教師小結(jié)：分母為等差數(shù)列的某相鄰兩項(xiàng)之積，而分子為常量的分式型數(shù)列的求和，將它的每一項(xiàng)分解為兩項(xiàng)差的形式，前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，求和時(shí)中間項(xiàng)互相抵消，這種數(shù)列求和的方法就是裂差消項(xiàng)求和法。三、題組研究、匯報(bào)交流出示研究性題組1 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。2求數(shù)列的前n項(xiàng)和？3求和：（學(xué)生分組討論解題思路，教師巡回，對(duì)個(gè)別學(xué)生問題進(jìn)行指導(dǎo)，師生共同討論。）教師：觀察研究性題1和探索性問題的解法有何不同呢？學(xué)生8：有所不同

7、，消去的項(xiàng)不一樣了。前面和后面各有兩項(xiàng)沒有消去，前面是兩正項(xiàng)，后面是兩負(fù)項(xiàng)。解：數(shù)列的通項(xiàng)公式可變形為：學(xué)生9：方法與第1題類似解：通項(xiàng)教師分析：研究性題3中數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積；從上面的經(jīng)驗(yàn)看：該數(shù)列求和使用“裂項(xiàng)相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數(shù)。注意到該數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項(xiàng)；考慮到所以使用處理分式函數(shù)的常用手段，分離常數(shù)法即可把分子化為常數(shù)。變形如下：學(xué)生10：解：=（學(xué)生說題，鍛煉學(xué)生的表述能力，思維能力）教師：以上裂項(xiàng)求和類型大家掌握的比較好了，我們一起看下面的問題：四、題組綜合、鞏固提高1求數(shù)列前n項(xiàng)的和。2求數(shù)列

8、的前n項(xiàng)和3已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和（分組討論解題思路，教師做適當(dāng)點(diǎn)撥和引導(dǎo)，學(xué)生展示解題過程。）學(xué)生11：所以， 學(xué)生12：也可不裂項(xiàng)變?yōu)楦黜?xiàng)相乘約項(xiàng)。解：教師：很好，這又是一個(gè)好想法，課后同學(xué)們可探究一下有哪些數(shù)列求和適用這種方法。教師：對(duì)于第2題，很明顯，我們沒法進(jìn)行合并，分母也不是兩個(gè)積的乘積形式，不太符合以上方法。我們搜尋一下，以前我們見過這種式子嗎？對(duì)它有什么變形方法？學(xué)生13：以前我們處理過這種無理式，可以分母有理化。對(duì)(大部分學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了這種方法)，有理化后就變成兩項(xiàng)之差的形式，同樣可用裂差消項(xiàng)求和法。（學(xué)生板演解題過程）解：分母有理化， 學(xué)生開始興奮起來，課堂上氣氛達(dá)到了空前

9、高漲。小試牛刀：在數(shù)列中，且，則n_ 學(xué)生說明答案。教師：對(duì)于第3題，我們又遇到新問題。分母變成三項(xiàng)積的形式，如何變形?（學(xué)生紛紛試驗(yàn)各種裂項(xiàng)的方案。）學(xué)生：還是應(yīng)該考慮裂項(xiàng)的方法。我最先試驗(yàn)的是能否像探索性題組那樣分裂成、的和差形式。我發(fā)現(xiàn)不能直接化為它們的差，即使化為它們的差也解決不了相消的問題。教師：你們希望什么樣的變形？學(xué)生：我希望也像探索性問題一樣，每一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，并且要能消項(xiàng)才行。教師：對(duì)，“兩項(xiàng)、能消項(xiàng)”，你們有想法就要設(shè)法按照自己的思路試一下。學(xué)生14：我有了一個(gè)想法，按照“兩項(xiàng)、能消項(xiàng)”的要求，就不能考慮變成、的和差形式。兩項(xiàng)又必須相對(duì)對(duì)稱的，我們先考慮最簡單的兩項(xiàng)的變

10、形，中，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都有2出現(xiàn)，是否可考慮讓作差的兩個(gè)式子中都出現(xiàn)2哪？（在教師、學(xué)生的啟發(fā)下，學(xué)生紛紛試驗(yàn)著裂項(xiàng)方法）學(xué)生14：我試驗(yàn)過了，這也符合“對(duì)稱、和諧”的美學(xué)原理。解：五、歸納總結(jié)、提升拓展教師：應(yīng)該注意什么問題？ 學(xué)生：裂差消項(xiàng)求和法多用于分母為等差數(shù)列的某相鄰k項(xiàng)之積，而分子為常量的分式型數(shù)列的求和，對(duì)裂項(xiàng)相消法求和，其裂項(xiàng)可采用待定系數(shù)法確定，并注意能否正負(fù)抵消。師生共同小結(jié)： (學(xué)生敘述,教師進(jìn)行補(bǔ)充和整理)教師板演要點(diǎn)：1裂項(xiàng)抵消法多用于分母為等差數(shù)列的某相鄰項(xiàng)之積，而分子為常數(shù)的分式型數(shù)列的求和。2裂項(xiàng)有困難時(shí)，可采用待定系數(shù)法來確定。3在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng),

11、還剩下哪些項(xiàng)，有困難時(shí)可多寫幾項(xiàng),然后仔細(xì)觀察消項(xiàng)規(guī)律，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。4對(duì)于分母是兩個(gè)二次根式的和，且被開方數(shù)是等差數(shù)列，利用分母有理化，使分母上的和變成了分子上的差，從而因中間項(xiàng)相消而可求Sn。5裂項(xiàng)相消法適用于   其中是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。教師：若求數(shù)列還能用裂項(xiàng)相消法嗎？為什么？請(qǐng)同學(xué)們課下探究以下。（為后面數(shù)列的分組求和的教學(xué)做鋪墊）教師：今天這節(jié)課我們主要研究了一些非等差(比)的特殊數(shù)列求和方法。同學(xué)們回憶一下這些數(shù)列求和的指導(dǎo)思想是什么?學(xué)生：將部分?jǐn)?shù)列求和通過變形轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和。教師：對(duì)，解決這些數(shù)列

12、求和問題的思路是將它們轉(zhuǎn)化基本的裂差消項(xiàng)求和，從而解決問題。這種思想也是我們數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的一種思想化歸思想。(給學(xué)生時(shí)間回顧以上內(nèi)容及方法。)教師：能否總結(jié)一下裂項(xiàng)相消法所應(yīng)用的具體公式？學(xué)生：我們所用的裂項(xiàng)公式有：（1） ，（2） （3） （4） （5） 教師課堂總結(jié)：裂差消項(xiàng)求和法：若一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都可以化為兩項(xiàng)之差，并且前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，求和時(shí)中間項(xiàng)互相抵消。以上題目雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都

13、互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。 注意：余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的，余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。教師：最后，留幾個(gè)問題供大家課后繼續(xù)研究，希望大家能給出解答。大家仔細(xì)觀察，和習(xí)題中的題目具有哪些相似之處，聯(lián)系在哪里？又有哪些不同，可以類比的方法是哪些？1求和：2求數(shù)列的前n項(xiàng)和？ （）3求和：【教有所思】 本節(jié)課心智教育方式之題組教學(xué)法。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，問題是中心，探索是主線。課堂是師生共同參與課堂活動(dòng)的舞臺(tái)?！皢栴}”是解決人類思維的一種普遍的表現(xiàn)形式，也是心理學(xué)家們熱衷的重要研究課題之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識(shí)的鞏固與應(yīng)用和學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，以及

14、實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強(qiáng)。無不從“問題”開始，在研究問題解決問題的過程中努力實(shí)現(xiàn)。因此，課堂教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，師生重組舊知識(shí)，不斷發(fā)現(xiàn)問題研究問題解決問題的活動(dòng)。老師的作用是如何將學(xué)生的思路所隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法挖掘出來，深化并完善它。小組討論的方式有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，互相啟迪，互相促進(jìn)。從而在活動(dòng)的過程中不斷培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維習(xí)慣。本節(jié)課通過逐步引導(dǎo)，層層設(shè)疑，讓學(xué)生經(jīng)歷裂差消項(xiàng)求和的過程，使教材更生動(dòng)，更具親和力。在裂差消項(xiàng)求和法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)置了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生合作與交流，強(qiáng)化學(xué)生的合作意識(shí)、協(xié)作精神，收到了很好的效果，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何轉(zhuǎn)化。新課程的編排特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方式的變化，使課堂教學(xué)方法發(fā)生了重大變化。新課程提倡教學(xué)目標(biāo)綜合化、多元化和均衡性，知識(shí)生活化，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的同時(shí)，在思維能力、觀察能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。本節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)突出了某些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：類比思想，歸納思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了學(xué)生的觀察