《拋物線定義及其標準方程》教學設計

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上拋物線定義及其標準方程教學設計教學設計全日制普通高級中學教科書·數(shù)學第二冊上必修851 拋物線及其標準方程一、內(nèi)容及其解析內(nèi)容：拋物線及其標準方程解析：拋物線及其標準方程是高中數(shù)學新教材第二冊第八章第五節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)共分為2課時完成，這是第一課時從內(nèi)容上看，這一節(jié)是在學習了橢圓、雙曲線的基礎上，利用圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性展開的，同時它又是繼續(xù)學習拋物線的幾何性質(zhì)的基礎所以拋物線的引出不僅起到了承上啟下的作用，而且對圓錐曲線的統(tǒng)一定義也起到了完善的作用拋物線的定義是從橢圓和雙曲線的第二定義引出的，采用了分類討論的思想橢圓和雙曲線都有兩個定義，但拋物線只有一個

2、，橢圓和雙曲線的頂點、焦點、準線成對出現(xiàn)，而拋物線只有一個焦點、頂點、準線從本章來講，這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后，一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要，拋物線是離心率e1的特例另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強化本節(jié)對拋物線定義的研究，與初中階段二次函數(shù)的圖像遙相呼應，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧之美這樣安排，是為了分散難點，符合認知的漸進性原則 二、目標及其解析 教學目標1了解拋物線的定義，會根據(jù)定義推導拋物線的標準方程，了解p的幾何意義； 2知道拋物線的四種形式及其標準方程；3能根據(jù)已知條件求出拋物線的標準方程，能利用拋物線的定義和標準方程解決一些簡單的問題 解析1拋物線的定義與

3、橢圓、雙曲線的第二定義是類似的，所以在教學中可借助橢圓、雙曲線第二定義引出拋物線的定義具體教學中可以通過實驗，觀察、發(fā)現(xiàn)和認識拋物線，即師生利用課件結合教具共同作與一個定點的距離等于它到定直線的距離的動點的軌跡拋物線，培養(yǎng)探索精神，教給學生一個發(fā)現(xiàn)數(shù)學奧秘的方法做實驗拋物線的標準方程是從定義出發(fā)推導的，其推導過程就是求曲線方程，在推導過程中建立適當?shù)淖鴺讼凳乔髽藴史匠痰囊粋€關鍵，通過建立不同的坐標系，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立坐標系的重要性而方程的化簡對學生的運算也要有一拋物線及其標準方程 第1頁 共7頁定要求p的幾何意義：拋物線焦點到準線的距離，因此p0在拋物線 的標準方程中，

4、負號只管拋物線的開口方向，與p無關2拋物線開口方向有左、右、上、下四種情況可以放手讓學生類似地推導開口向左、向上、向下的情況下的標準方程讓學生根據(jù)圖形寫出焦點坐標、準線方程并制成表格對比異同掌握拋物線的四種形式關鍵在于拋物線的開口與標準方程的對應關系，即通過開口確定其標準方程的形式或根據(jù)標準方程判斷拋物線的開口，進而確定焦點位置和準線所以在教學中要讓學生明確拋物線的四種開口方向與其對應的標準方程的關系，可通過做適當?shù)淖兪骄毩暭右哉莆?三、問題診斷分析學生在學習過程中可能會遇到以下困難：一是對拋物線的四種形式的標準方程容易混淆解決這一問題，可借助一個例題變換拋物線的開口讓學生求其標準方程，然后做

5、適當?shù)淖兪阶寣W生反復練習，在這一過程中老師適當引導并強調(diào)讓學生注意拋物線的開口與拋物線焦點位置的關系以及標準方程的形式二是拋物線和雙曲線的一支的區(qū)別學生在學習拋物線是很容易將拋物線與雙曲線的一支混淆老師在教學中對此二者的區(qū)別可做適當說明，只要求學生知道拋物線不是雙曲線的一只，不宜加深二者區(qū)別在于：當拋物線上的點趨向于無窮遠時，拋物線在這一點的斜率接近于坐標軸所在直線的斜率，也就是拋物線接近于和坐標軸所在直線平行；而雙曲線上的點趨向于無窮遠時，它的斜率接近于它的漸近線的斜率三是學生對數(shù)學圖形、符號、文字三種語言的相互轉化有一定困難學生都知道拋物線的定義是“與一定點和定直線等距離的動點的軌跡”得出

6、來的教學中應根據(jù)圖形培養(yǎng)學生運用三種語言的能力借助圖形是原本較為陌生的定義變得容易理解和便于記憶四、教學支持條件分析為了幫助解決教和學可能遇到的困難，促進同學的認識，本節(jié)課可以利用信息技術作出拋物線的圖像，這樣有助于學生理解和掌握拋物線的定義 五、教學過程設計 教學基本流程 發(fā)現(xiàn)問題 探索問題 形成定義 推導方程 精講范例 歸納小結 評價設計拋物線及其標準方程 第2頁 共7頁1、回顧舊知，發(fā)現(xiàn)問題問題1 橢圓、雙曲線的第二定義如何敘述？其離心率e的取值范圍各是什么？ 設計意圖：從橢圓、雙曲線的統(tǒng)一幾何特征入手，自然地引出本節(jié)課所要解決的問題，有助于學生明確本節(jié)課的目的和任務，較快地進入思考狀態(tài)

7、 師生活動：老師提出問題，學生思考后并回答： (1) 前面我們是如何定義橢圓和雙曲線的？(2) 橢圓和雙曲線的離心率如何計算？取值范圍是什么？ 這些問題學生很容易回答，若學生回答有困難，老師適當引導: 教學過程：(1) 橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線l的距離的比是一個(0,1)內(nèi)的常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)e就是離心率，取NKAFMNKAMF值范圍是.(2) 雙曲線的第二定義：一動點到定點F的距離與到一條定直線l的距離之比是一個(1,)內(nèi)的常數(shù)e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線 其中定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線 常數(shù)

8、e是雙曲線的離心率，取值范圍是.自然引出問題：當e1時，軌跡是什么形狀的曲線呢曲線的方程如何求呢是不是也有“標準”方程呢 2.創(chuàng)設情境，形成定義問題2一片菜園中有一口小井，菜園旁邊有一條水渠，現(xiàn)要給菜澆L K F 水，就取水路程遠近這一角度而言，應如何選擇取水地點？你能為該區(qū)域畫一條合理的取水分界線嗎？(供取水時參考)設計意圖：從實際問題出發(fā)，激發(fā)學生的求知欲，將問題交給學生，充分發(fā)揮學生的聰明才智，體現(xiàn)學生的主體地位，同時引入本節(jié)課的內(nèi)容 師生活動：學生不一定能正確分析出來，教師可適當引導： (1) 你們能把這個實際問題抽象成數(shù)學問題嗎(2) 如果把這些取水地點用光滑的曲線連接，那這條曲線是

9、什么形狀？ (3) 我們以前見過嗎？該如何定義？(4) 它是否與橢圓、雙曲線一樣也存在焦點和準線？學生對這些問題容易回答，但敘述不一定規(guī)范，老師可適當補充說明，并結合幾何畫板的演示讓學生能直觀的認識這條曲線的變化情況，加深對曲線的理解拋物線及其標準方程 第3頁 共7頁NKAFM教學過程：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線3合理建系，推導方程問題3 類比橢圓、雙曲線標準方程的推導，拋物線的標準方程又如何推導？方程有什么特點？設計意圖：利用類比的思想尋求拋物線標準方程的推導方法，并分析標準方程的特點. 師生活動：學生都知

10、道橢圓、雙曲線的標準方程是根據(jù)定義推導的那么拋物線的標準方程自然也要利用定義來推導，也就是求曲線方程的過程教學過程：讓學生運用求曲線方程的方法求拋物線的標準方程。求解過程學生若有困難老師可適當引導，師生共同完成求解過程：p如圖所示，建立直角坐標系系，設|KF|=p,那么焦點F的坐標為(,0)，準線2pl的方程為x。y2DM設拋物線上的點M(x,y)，則有(x化簡方程得 y22px 方程y22pxp2p)y2|x| 22KO(1)Fxp0 p0叫做拋物線的標準方程 強調(diào)：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F，它的準線方2問題4大家都知道橢圓、雙曲線的標準方程不止一個，那么拋物線的標

11、準方程呢？還有其它形式？該如何推導？設計意圖：通過觀察，讓學生總結出開口方向向左、向上和向下另三種情況及其對應得標準方程師生活動：學生通過旋轉自己的課本容易發(fā)現(xiàn)拋物線的開口方向改變了此時可向?qū)W生提問：(1) 如果拋物線的開口方向改變后，其標準方程是否也會隨之改變？(2) 對應于各開口方向的標準方程有何區(qū)別與聯(lián)系？教學過程：學生回答上述問題,老師補充，師生共同得出：一條拋物線，于它在坐標系的位置不同，一般除上述一種外還有三種不同的情況，所以拋物線的標準方程也相應有另外三種形式：y22px，x22py，x22py.這四種拋物線的圖形、標準方程、拋物線及其標準方程 第4頁 共7頁焦點坐標以及準線方程

12、如下表 yyylyOFx圖形 OFxFOxFOlxl l 方程 焦點 準線 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p(,0) 2px 2(p,0) 2px 2p(0,) 2py 2p(0,) 2py 2強調(diào)：相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的 12pp ，即442不同點：(1)圖形關于x軸對稱時，x為一次項，y為二次項，方程右端為2px、左端為y2；圖形關于y軸對稱時，x為二次項，y為一次項，方程右端為2py，左端為x2 開口方向在x軸

13、正向時，焦點在x軸的正半軸上。方程右端取正號；開口在x軸負向時，焦點在x軸負半軸時，方程右端取負號 圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶，通過四種標準方程對比，總結出方程的一次項決定焦點的位置；一次項系數(shù)的符號決定開口方向 4、精講范例，加深理解例題 已知拋物線標準方程是y26x，求它的焦點坐標和準線方程已知拋物線的焦點坐標是F，求它的標準方程 設計意圖：讓同學們熟悉拋物線標準方程的形式和特點，進一步理解拋物線標準方程的本質(zhì).師生活動：學生分析，老師適當引導：在標準方程下焦點坐標和準線方程都是用p的代數(shù)式表示的，所以只要求出p即可；求的是標準方程，因此所指拋物線應過原點，結合焦點坐標求出p

14、，問題易解 解析：p3，焦點坐標是準線方程是x 拋物線及其標準方程 第5頁 共7頁焦點在y軸負半軸上。p2， 2所以所求拋物線的標準議程是x28y 變式練習：1、已知拋物線的標準方程是y212x，y12x2，求它的焦點坐標和準線方程2、求下列拋物線的標準方程： (1)焦點坐標是F(3,0)； (2)拋物線的準線方程為x1； (3)過點A(3,2)設計意圖：讓學生通過方程形式辨別拋物線的位置，進而求出焦點坐標和準線方程或通過焦點坐標和準線方程辨別拋物線的開口，寫出拋物線方程師生活動：先讓學生自己分析解答，然后抽取部分學生檢查解答過程，若有問題老師適當補充:解此題的關鍵是會根據(jù)示意圖確定屬于哪類標準形式，想辦法求出參數(shù)p的值 5小結讓學生回答問題總結本節(jié)內(nèi)容：拋物線的定義； 拋物線的標準方程以及相應圖象；解拋物線問題時，要做到先“定位”，后“定量” 6評價設計 教材P120 練習2、3、4、5. 求下列拋物線的焦點