2016新課標創(chuàng)新人教A版數學必修52.2等差數列

1、第1課時等差數列的概念及通項公式核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P36P38，回答下列問題：觀察教材P36P37中給出的4個數列：0，5，10，15，20，；48，53，58，63；18，15.5，13，10.5，8，5.5；10 072，10 144，10 216，10 288，10 360.可以看到：對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于2.5；對于數列，從第2項起，每一項與前一項的差都等于72也就是說，這些數列有一個共同特點：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同

2、一個常數2歸納總結，核心必記(1)等差數列的定義 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示(2)等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列中，A叫做 a與b的等差中項(3)等差數列的通項公式如果等差數列an的首項是a1，公差是d，則它的通項公式為ana1(n1)d問題思考(1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于常數，該數列還是等差數列嗎？提示：不一定，必須是同一個常數，才能保證該數列為等差數列(2)若a是3與5的等差中項，則a為何值？提示：352a，即a4.(3)一般地，如果等

3、差數列an的首項是a1，公差是d，我們根據等差數列的定義，可以得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，.即a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，根據以上推導過程，你認為“ana1()d”中的()應是什么？提示：n1(4)若數列an是等差數列，且首項a12，公差d3，則：a5等于何值？104是該數列的項嗎？如果是，是第幾項？提示：a5a14d24×314.ana1(n1)d23(n1)3n1.令3n1104，則n35.故104是該數列的第35項課前反思通過以上預習，必須掌握的幾個知識點(1)等差數列的定義是：；(2)等差中項的定義是：；(3)等

4、差數列的通項公式是：思考由等差數列的通項公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？名師指津：只要求出等差數列的首項和公差d，代入公式ana1(n1)d即可講一講1(1)在等差數列an中，已知數列a47，a1025，求通項公式an.(2)已知數列an為等差數列，a3，a7，求a15的值嘗試解答(1)a47，a1025，則an2(n1)×33n5，通項公式為an3n5(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14×.法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12×.應用等差數列的通項公式求a1和d，運用了方程的思想一般地，可由

5、ama，anb，得求出a1和d，從而確定通項公式練一練1在等差數列an中，a37，a5a26，求a6的值解：設等差數列an的公差為d，由題意得解得所以ana1(n1)d32(n1)2n1.所以a62×6113.思考1以下兩個數之間，插入一個什么數后三個數就會成為一個等差數列(1)2，4；(2)1，5；(3)0，0.名師指津：插入的數分別為3，2，0思考2如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A應滿足什么條件？名師指津：A思考3若A，則a，A，b成等差數列嗎？名師指津：a，A，b成等差數列講一講2(1)在1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此

6、數列；(2)已知數列xn的首項x13，通項xn2npnq(nN*，p，q為常數)，且x1，x4，x5成等差數列求p，q的值嘗試解答(1)1，a，b，c，7成等差數列，b是1與7的等差中項b3.又a是1與3的等差中項，a1.又c是3與7的等差中項，c5.該數列為1，1，3，5，7.(2)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即q1，將代入得，p1.故p1，q1.三數a，b，c成等差數列的條件是b(或2bac)，可用來進行等差數列的判定或有關等差中項的計算問題如若證an為等差數列，可證2an1anan2(nN*)練一練2若m和2n的等差

7、中項為4，2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項解：由m和2n的等差中項為4，得m2n8.又由2m和n的等差中項為5，得2mn10.兩式相加，得mn6.m和n的等差中項為3.思考(1)在數列an中，若anan1d(常數)(n2且nN*)，則an是等差數列嗎？為什么？(2)在數列an中，若有2anan1an1(n2，nN*)成立，則an是等差數列嗎？為什么？名師指津：(1)是，由等差數列的意義可知；(2)是，由等差中項的定義可知講一講3判斷下列數列是否為等差數列(1)在數列an中，an3n2；(鏈接教材P38例3)(2)在數列an中，ann2n.嘗試解答(1)an1an3(n1)2(3n2)

8、3(nN*)，所以這個數列為等差數列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數，所以這個數列不是等差數列定義法是判定(或證明)數列an是等差數列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an; (2)對差式進行變形；(3)當an1an是一個與n無關的常數時，數列an是等差數列；當an1an不是常數，是與n有關的代數式時，數列an不是等差數列練一練3已知數列an滿足a14，an4(n>1)，記bn.(1)求證：數列bn是等差數列；(2)求數列an的通項公式解：(1)證明：因為bn1bn.數列bn是等差數列(2)由(1)可知，數列bn是以b1為首項，以為公差的等差數列bn(n1

9、)×n.bn，an22.課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是等差數列的定義、等差中項以及等差數列的通項公式，難點是等差數列的證明2掌握判斷一個數列是等差數列的常用方法：(1)an1and(d為常數，nN*)an是等差數列；(見講3)(2)2an1anan2(nN*)an是等差數列；(3)anknb(k，b為常數，nN*)an是等差數列但若要說明一個數列不是等差數列，則只需舉出一個反例即可3會靈活運用等差數列的通項公式解決問題由等差數列的通項公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式反過來，在a1、d、n、an四個量中，只要知道其中任意三個量，

10、就可以求出另外一個量，見講1.即時達標對點練題組1等差數列的判斷1給出下列數列：(1)0，0，0，0，0，；(2)1，11，111，1 111，；(3)2，22，23，24，；(4)5，3，1，1，3，；(5)1，2，3，5，8，.其中等差數列有()A1個B2個C3個D4個解析：選B根據等差數列的定義可知(1)、(4)是等差數列，故選B.2數列an是公差為d的等差數列，則數列dan是()A公差為d的等差數列B公差為2d的等差數列C公差為d2的等差數列D公差為4d的等差數列解析：選C由于dandan1d(anan1)d2，故選C.3已知數列an滿足a12，an1，則數列是否為等差數列？說明理由解

11、：數列是等差數列，理由如下：因為a12，an1，所以，所以是以為首項，為公差的等差數列題組2等差中項的應用 4等差數列的前3項依次是x1，x1，2x3，則其通項公式為()Aan2n5Ban2n3Can2n1 Dan2n1解析：選Bx1，x1，2x3是等差數列的前3項，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.5已知1，x，y，10構成等差數列，則x，y的值分別為_解析：由已知，x是1和y的等差中項，即2x1y，y是x和10的等差中項，即2yx10，由可解得x4，y7.答案：4，76若，是等差數列，求證：a2，b2，c2成等差數列證明：，是等差數列

12、，.整理得(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)，即(ca)(ac2b)2(ab)(bc)，即2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2，有a2c22b2.a2，b2，c2成等差數列題組3等差數列的通項公式7在等差數列an中，a22，a34，則a10()A12B14C16D18解析：選D由題意知，da3a2422，a1a2d220.所以a10a19d18.8在等差數列an中，a25，a6a46，則a1等于()A9 B8 C7 D4解析：選B由anam(nm)d(m，nN*)，得d.d3.a1a2d8.9等差數列1，1，3，89的項數是()A45 B46 C47 D92解析：

13、選B由題意知，等差數列的首項a11，公差d2，且an89.由ana1(n1)d，解得n46.故選B.10已知等差數列an滿足a2a3a418，a2a3a466.求數列an的通項公式解：在等差數列an中，a2a3a418，3a318，a36.故解得或當時，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)·(5)5n21.當時，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)·55n9.能力提升綜合練1在等差數列an中，首項a10，公差d0，若aka1a2a3a10，則k()A45B46C47D48解析：選B因為aka1a2a3a10，所以a1(k1)d10a145d.因為a10，公差

14、d0，所以(k1)d45d.解得k46.2一個首項為23，公差為整數的等差數列，若前6項均為正數，第7項起為負數，則它的公差是()A2 B 3 C4 D6解析：選C設公差為d，則an23(n1)d.由題意知即解得<d<.又因為d為整數，故d4.3數列an中，a12，2an12an1，則a2 015的值是()A1 006 B1 007 C1 008 D1 009解析：選D由2an12an1，得an1an，所以an是等差數列，首項a12，公差d，所以an2(n1)，所以a2 0151 009.4已知xy，且兩個數列x，a1，a2，am，y與x，b1，b2，bn，y各自都成等差數列，則

15、等于()A. B. C. D.解析：選D設這兩個等差數列的公差分別是d1，d2，則a2a1d1，b2b1d2，第一個數列共(m2)項，d1；第二個數列共(n2)項，d2.這樣可求出.5在數列an中，a13，且對于任意大于1的正整數n，點(， )都在直線xy0上，則an_解析：由題意得，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以n，an3n2.答案：3n26已知ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則ABC的面積為_解析：由于三邊長構成公差為4的等差數列，故可設三邊長分別為x4，x，x4.由一個內角為120°，知其必是最長邊x4所對的角由余弦定理得，(x

16、4)2x2(x4)22x(x4)·cos 120°，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC×(104)×10×sin 120°15.答案：157已知等差數列an：3，7，11，15，.(1)135，4m19(mN*)是數列an中的項嗎？試說明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是數列an中的項，則2ap3aq是數列an中的項嗎？并說明你的理由解：a13，d4，ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是數列an中的第34項令an4n14m19，則nm5N*.4m19是an中的第m5項(2)ap，aq是

17、an中的項，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，2p3q1N*，2ap3aq是an中的第2p3q1項8數列an滿足a11，an1(n2n)an(n1，2，)，是常數(1)當a21時，求及a3的值；(2)是否存在實數使數列an為等差數列？若存在，求出及數列an的通項公式；若不存在，請說明理由解：(1)由于an1(n2n)an(n1，2，)，且a11.所以當a21時，得12，故3.從而a3(2223)×(1)3.(2)數列an不可能為等差數列，證明如下：由a11，an1(n2n)an，得a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(

18、2)，若存在，使an為等差數列，則a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得3.于是a2a112，a4a3(11)(6)(2)24.這與an為等差數列矛盾所以，不存在使an是等差數列第2課時等差數列的性質思考1如何用a1和d表示an和am?名師指津：ana1(n1)d，ama1(m1)d.思考2能用am和d表示an嗎？如何表示？名師指津：能anam(nm)d.講一講1(1)(2016·瑞安高二檢測)已知等差數列an中，a39，a93，則公差d的值為()AB.C1D .1(2)已知an為等差數列，a158，a6020，求a75.嘗試解答(1)a39，a93，又a9a36d，396d，即d

19、1.(2)a158，a6020，208(6015)d，即d，a75a6015d2015×24.答案(1)C在等差數列an中，已知a1，d，m，n，則d(n>1，mn)，從而有anam(nm)d.在解決與等差數列的通項有關的問題時，巧妙利用此結論，可以簡化問題的計算過程練一練1(1)已知等差數列an中，a48，a84，則數列an的通項公式為_解析：設an的公差為d，則a8a44d，d1.ana8(n8)d4(n8)×(1)12n.答案：an12n(2)(2016·淄博高二檢測)若xy，且兩個數列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差數列，那么等于

20、_解析：數列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均為等差數列，1，即，故.答案：思考1在等差數列an中，若m，n，p，qN*且mnpq，則amanapaq成立嗎？為什么？名師指津：成立，證明：設等差數列_an的公差為d，amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因為mnpq，所以amanapaq思考2在等差數列an中，如果mn2r，那么aman2ar是否成立？反過來呢？名師指津：若mn2r(m，n，rN*)，則amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)·d2a1(r1)d2ar，

21、顯然成立；在等差數列an中，若aman2ar，不一定有mn2r，如常數列思考3已知一個無窮等差數列an的首項為a1，公差為d，則：(1)若將數列中的前m項去掉，其余各項組成一個新數列，這個新數列還是等差數列嗎？(2)取出數列中的所有奇數項，組成一個新的數列，這個新數列還是等差數列嗎？(3)如果取出數列中所有序號為7的倍數的項，組成一個新的數列，這個新數列還是等差數列嗎？名師指津：(1)、(2)、(3)中所得到的數列都還是等差數列，其中(1)中的公差為d，(2)中的公差為2d，(3)中的公差為7d.思考3若an，bn是公差分別為d1，d2的等差數列，那么數列pan±qbn仍然是等差數列

22、嗎？若是等差數列，公差是多少？名師指津：是等差數列，且公差為pd1±qd2.講一講2(1)已知等差數列an中，a2a6a101，求a4a8的值；(2)設an是公差為正數的等差數列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值嘗試解答(1)法一：根據等差數列的性質a2a10a4a82a6，由a2a6a101，得3a61，解得a6，a4a82a6.法二：設公差為d，根據等差數列的通項公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d，由題意知，3a115d1，即a15d.a4a82a110d2(a15d).(2)設公差為d，a1a32a2，a1a2a3

23、153a2，a25.又a1a2a380，an是公差為正數的等差數列，a1a3(5d)(5d)16d3或d3(舍去)，a12a210d35，a11a12a133a12105.等差數列常用的性質(1)對稱性：a1ana2an1a3an2；(2)mnpqamanapaq；(3)若m，p，n成等差數列，則am，ap，an也成等差數列；(4)anam(nm)d；(5)若數列an成等差數列，則數列anpnq(p，qR)；(6)若數列an成等差數列，則數列anb(，b為常數)仍為等差數列；(7)an和bn均為等差數列，則an±bn也是等差數列；(8)an的公差為d，且d>0an為遞增數列；d

24、<0an為遞減數列；d0an為常數列練一練2(1)已知等差數列an滿足a1a2a3a1010，則有()Aa1a101>0Ba2a101<0Ca3a990 Da5151解析：選C根據性質得：a1a101a2a100a50a522a51，由于a1a2a1010，所以a510，又因為a3a992a510，故選C.(2)已知an、bn是兩個等差數列，其中a13，b13，且a20b206，那么a10b10的值為()A6B6C0D10解析：選B由于an、bn都是等差數列，所以anbn也是等差數列，而a1b16，a20b206，所以anbn是常數列，故a10b106.故選B.講一講3已知四

25、個數成等差數列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數嘗試解答法一：設這四個數分別為a，b，c，d，根據題意，得解得或這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.法二：設此等差數列的首項為a1，公差為d，根據題意，得化簡，得解得或這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.法三：設這四個數分別為a3d，ad，ad，a3d，根據題意，得化簡，得解得這四個數分別為2，5，8，11或11，8，5，2.對于項數有限的等差數列，用“對稱設項”的方法來設項能達到化多為少的目的(特別是在已知其和時)，三個數的“對稱設項”是xd，x，xd；五個數是x2d，xd，x，xd，x2d；四個數則是

26、x3d，xd，xd，x3d.練一練3已知五個數成等差數列，它們的和為5，平方和為，求這5個數解：設第三個數為a，公差為d，則這5個數分別為a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有整理得解得a1，d±.d時，這5個分數分別是，1，；d時，這5個數分別是，1，.綜上，這5個數分別是，1，或，1，.講一講4某公司經銷一種數碼產品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產品，也不調整經營策略，從哪一年起，該公司經銷這一產品將虧損？嘗試解答由題意可知，設第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120(n2，nN

27、*)，每年獲利構成等差數列an，且首項a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)×(20)20n220.若an<0，則該公司經銷這一產品將虧損，由an20n220<0，解得n>11，即從第12年起，該公司經銷這一產品將虧損(1)在實際問題中，若涉及一組與順序有關的數的問題，可考慮利用數列方法解決，若這組數依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數列方法解決(2)在利用數列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數等關鍵量練一練4九章算術“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)

28、的容積為()A1升B. 升C. 升D. 升解析：選B設所構成的等差數列an的首項為a1，公差為d，則有即解得則a5a14d，故第5節(jié)的容積為 升課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是等差數列性質的應用2要重點掌握等差數列的如下性質：(1)在等差數列an中，當mn時，d為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為aman(mn)d.(2)等差數列an中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列(3)等差數列an中，若mnpq，則anamapaq(n，m，p，qN*)，特別地，若mn2p，則anam2ap.3等差數列an中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素

29、；有關等差數列的問題，如果條件與結論間的了解不明顯，則均可化成有關a1、d的關系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量即時達標對點練題組1等差數列的性質1在等差數列an中，a25，a633，則a3a5等于()A36B37C38D39解析：選Ca3a5a2a653338.2已知等差數列an中，a1a7a134，則tan(a2a12)的值為()A. B± C D解析：選Da1a7a134，a7，a2a122a7，tan(a2a12)tan.3設數列an，bn都是等差數列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37等于()A0 B37 C100 D37解析：

30、選Can，bn都是等差數列，anbn也是等差數列又a1b1100，a2b2100，anbn100，故a37b37100.4已知等差數列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此數列的通項公式解：a1a72a4，a1a4a73a415，a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d±2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.題組2等差數列性質的綜合應用5等差數列an中，若a1，a2 011為方程x210x60的兩根，則a2a1 006a2 010()A10 B15 C20 D40解析：選B由等差

31、數列的性質，得a1a2 011a2a2 0102a1 006.因為a1，a2 011是方程x210x160的兩根，所以a1a2 01110.所以a2a1 006a2 010×1015.6已知等差數列an的公差為d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，則m等于()A8 B4 C6 D12解析：選A因為a3a6a10a134a832，所以a88，即m8.7四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首末兩項的積為8，求這四個數解：法一：設這四個數為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，即d21，即d1或d1.又四個

32、數成遞增等差數列，d>0，d1，故所求的四個數為2，0，2，4.法二：設這四個數為a，ad，a2d，a3d(公差為d)，依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得8，即1d28，化簡得d24，所以d2或2.又四個數成遞增等差數列，d>0，d2，從而a2.故所求的四個數為2，0，2，4.能力提升綜合練1下面是關于公差d>0的等差數列an的四個命題：p1：數列an是遞增數列；p2：數列nan是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列an3nd是遞增數列其中的真命題為()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4解析：選Dana1(n1)d，d&g

33、t;0，anan1d>0，命題p1正確；nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d與0的大小關系和a1的取值情況有關故數列nan不一定遞增，命題p2不正確；對于p3：d，當da1>0，即d>a1時，數列遞增，但d>a1不一定成立，則p3不正確；對于p4：設bnan3nd，則bn1bnan1an3d4d>0.數列an3nd是遞增數列，p4正確綜上，正確的命題為p1，p4.2在等差數列an中，若a2a4a6a8a1080，則a7a8的值為()A4B6C8D10解析：選C由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.3若a，b，c成等差數列，則二次函數yax22bxc的圖象與x軸的交點的個數為()A0 B1 C2 D1或2解析：選Da，b，c成等差數列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函數yax22bxc的圖象與x軸的