單元?dú)w納提升

1、單元?dú)w納提升體系構(gòu)建空間向量定義、加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算數(shù)量積坐標(biāo)表示：夾角和距離公式求空間角證明平行與垂直專題整合一、用空間向量解決線面關(guān)系A(chǔ)BCDO1A1B1C1空間向量作為理科加試內(nèi)容，在處理空間問題中具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性，所以本單元的學(xué)習(xí)難點(diǎn)在于掌握應(yīng)用空間向量的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉(zhuǎn)化的思想方法如把立體幾何中的線面關(guān)系問題及求角問題轉(zhuǎn)化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標(biāo)系，找到所論證的平行垂直等關(guān)系，所求的角用向量怎樣來表達(dá)是問題的關(guān)鍵例1.由正三棱柱與正四面體組成如圖1的幾何體,是正的中心.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角

2、(銳角)的余弦值.解析：第(1)問可用“回路向量法”給予證明,第(2)問可用“空間向量法”加以解決. “回路向量法”與“空間向量法”是處理立幾問題的兩種常用向量,在難以建立空間直角坐標(biāo)系時(shí),可考慮前者,否則適宜運(yùn)用后者.這兩種向量表示方式,就象一個(gè)人的兩條腿,只有兩條腿都運(yùn)用自如,人才能走得穩(wěn)、走得遠(yuǎn).證明：(1)依題意有,= =,同理,又,平面. 答案：(2)由(1)知經(jīng)過的中心O,連接AO,則,以為原點(diǎn),為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,.,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,同理,求得平面的法向量為,而平面與平面所成二面角為銳角,故它的余弦值為.二、用空間向量解決空間的角的計(jì)算用空間向

3、量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問題（進(jìn)行向量運(yùn)算）；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問題）例2.(2009湖北卷理改編)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（1）求證：對任意的，都有（2）設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值 解析：求平面ACE的法向量，它與平面ADE的一個(gè)法向量

4、的夾角為，直線BE上向量與平面ABCD法向量夾角的余角為，利用的關(guān)系建立方程，得到的值，并要注意的取值范圍.（1）證明：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0）， ， 即.（2）答案：由（1）得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得.易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. . ，0<，. 由于，解得，即為所求.三、空間向量與立體幾何、函數(shù)、解析幾何等知識的聯(lián)系在打好基礎(chǔ)下,將所學(xué)的知識與方法作縱橫的聯(lián)系,是學(xué)好數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路,就本單元知識而言,涉及最值問題時(shí)要將立幾、函數(shù)、解幾、空間向量等幾大分支聯(lián)在一起考慮,問題才能得以順利解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.例3. ABCDA1B1C1D1P如圖,已知正方體的棱長為1,點(diǎn)P在棱上運(yùn)動(不含兩點(diǎn)). (1)求的周長的最小值;(2)求的面積的最小值.解析：建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量求得C和S的表達(dá)式,再求它們的最小值即可.答案：(1)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,得的周長為.下面求的最小值:,在平面直角坐標(biāo)系中,它表示軸上的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)與的距離之和,又點(diǎn)E關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),即時(shí),有最小值