四年級(jí)奧數(shù)教師版追及問題

1、追及問題精講知識(shí)導(dǎo)航追及路程甲走的路程乙走的路程 （甲的速度追及時(shí)間）（乙的速度追及時(shí)間） （甲的速度乙的速度）追及時(shí)間 速度差追及時(shí)間.例1：甲、乙兩地相距240千米，一列慢車從甲地出發(fā)，每小時(shí)行60千米同時(shí)一列快車從乙地出發(fā)，每小時(shí)行90千米兩車同向行駛，快車在慢車后面，經(jīng)過多少小時(shí)快車可以追上慢車？（火車長(zhǎng)度忽略不計(jì)）解析：追及路程即為兩地距離240千米，速度差（千米），所以追及時(shí)間（小時(shí)）.【鞏固1】下午放學(xué)時(shí)，弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒有回到

2、家）.解析：若經(jīng)過5分鐘，弟弟已到了A地，此時(shí)弟弟已走了（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？（分），哥哥10分鐘可以追上弟弟.【鞏固2】甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發(fā)，甲每小時(shí)行駛15千米，乙每小時(shí)行駛10千米，問：乙經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間能追上甲？解析：出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短（千米），即兩人的速度的差（簡(jiǎn)稱速度差），所以10千米里有幾個(gè)5千米就是幾小時(shí)能追上：（小時(shí)），還需要2個(gè)小時(shí).【鞏固3】解放軍某部先遣隊(duì)，從營(yíng)地出發(fā)，以每小時(shí)6千米的速度向某地前進(jìn)，12小時(shí)后，部隊(duì)有急事，派通訊員騎摩托車以每小時(shí)78千米的速

3、度前去聯(lián)絡(luò)，問多少時(shí)間后，通訊員能趕上先遣隊(duì)？解析：追及路程就是先遣隊(duì)12小時(shí)行駛的路程。 (小時(shí))例2：小明步行上學(xué)，每分鐘行70米離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的明具盒忘在家中，爸爸帶著明具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明問爸爸出發(fā)幾分鐘后追上小明？爸爸追上小明時(shí)他們離家多遠(yuǎn)？解析：如圖： 當(dāng)爸爸開始追小明時(shí)，小明已經(jīng)離家：(米)，即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與小明的距離是840米，我們把這個(gè)距離叫做“路程差”，爸爸出發(fā)后，兩人同時(shí)走，每過1分，他們之間的距離就縮短(米)，也就是爸爸與小明的速度差為(米/分),爸爸追及的時(shí)間：(分鐘)當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，小明已經(jīng)出發(fā)(

4、分鐘)，此時(shí)離家的距離是：(米)【鞏固1】哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書哥哥每分鐘走65米，弟弟每分鐘走40米，有一天弟弟先走5分鐘后，哥哥才從家出發(fā)，當(dāng)?shù)艿艿竭_(dá)學(xué)校時(shí)哥哥正好追上弟弟也到達(dá)學(xué)校，問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)?解析：哥哥出發(fā)的時(shí)候弟弟走了：（米），哥哥追弟弟的追及時(shí)間為：（分鐘），所以家離學(xué)校的距離為：（米）.【鞏固2】小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家，12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明，結(jié)果在距學(xué)校1000米處追上小明，求小強(qiáng)騎自行車的速度.解析：小強(qiáng)出發(fā)的時(shí)候小明走了（米），被小強(qiáng)追上時(shí)小明又走了：（分鐘），說明小強(qiáng)8分鐘走了1000米，所以小強(qiáng)的速度為：（米/分鐘）.例3

5、:小強(qiáng)每分鐘走70米，小季每分鐘走60米，兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向走了3分鐘，小強(qiáng)掉頭去追小季，追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了多少米？解析：小強(qiáng)走的時(shí)間是兩部分，一部分是和小季背向走的時(shí)間，另一部分是小季追他的時(shí)間，要求追及時(shí)間，就要求出他們的路程差路程差是兩人相背運(yùn)動(dòng)的總路程：(米)追及時(shí)間為：(分鐘)小強(qiáng)走的總路程為： (米)【鞏固】小聰和小明從學(xué)校到相距2400米的電影院去看電影小聰每分鐘行60米，他出發(fā)后10分鐘小明才出發(fā)，結(jié)果倆人同時(shí)到達(dá)影院，小明每分鐘行多少米？解析：要求小明每分鐘走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的時(shí)間；要求小明所用的時(shí)間，就要先求小聰所用的時(shí)間，小聰所用的時(shí)

6、間是：(分鐘)，小明所用的時(shí)間是：(分鐘)，小明每分鐘走的米數(shù)是：(米)例4:王芳和李華放學(xué)后，一起步行去體校參加排球訓(xùn)練，王芳每分鐘走110米，李華每分鐘走70米，出發(fā)5分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，然后追趕李華求多少分鐘后追上李華？解析：已知二人出發(fā)5分鐘后，王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服，這樣用去了5分鐘，在學(xué)校又耽誤了2分鐘，王芳一共耽誤了(分鐘)李華在這段時(shí)間比王芳多走：(米)，速度差為：(米/秒)，王芳追上李華的時(shí)間是：(分鐘)【鞏固1】小王、小李共同整理報(bào)紙，小王每分鐘整理72份，小李每分鐘整理60份，小王遲到了1分鐘，當(dāng)小王、小李整理同樣多份的報(bào)紙時(shí)，正好完成了這批

7、任務(wù)一共有多少份報(bào)紙？解析：本題可用追及問題思路解題，類比如下：路程差：小王遲到1分鐘這段時(shí)間，小李整理報(bào)紙的份數(shù)（60份），速度差：（份/分鐘）此時(shí)可求兩人整理同樣多份報(bào)紙時(shí)，小王所用時(shí)間，即追及時(shí)間是（分鐘）共整理報(bào)紙：（份）【鞏固2】甲、乙兩車同時(shí)從A地向B地開出，甲每小時(shí)行38千米，乙每小時(shí)行34千米，開出1小時(shí)后，甲車因有緊急任務(wù)返回A地；到達(dá)A地后又立即向B地開出追乙車，當(dāng)甲車追上乙車時(shí)，兩車正好都到達(dá)B地，求A、B兩地的路程解析：根據(jù)題意畫出線段圖：從圖中可以看出，當(dāng)甲開始追乙的時(shí)候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的2小時(shí)的路程，那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時(shí)間，而追及時(shí)間

8、正好是甲車從A地到B地所用的時(shí)間，由此可以求出A、B兩地的路程,追及路程為：(千米);追及時(shí)間為：(小時(shí)).A、B兩地的路程為：(千米).例5:甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)去B地，甲車每小時(shí)行50千米，乙車每小時(shí)行40千米途中甲車出故障停車修理了3小時(shí)，結(jié)果甲車比乙車遲到1小時(shí)到達(dá)B地A、B兩地間的路程是多少？解析：由于甲車在途中停車3小時(shí)，比乙車遲到1小時(shí)，說明行這段路程甲車比乙車少用2小時(shí)可理解成甲車在途中停車2小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)，也就是乙車比甲車先行2小時(shí)，兩車同時(shí)到達(dá)B地，所以，也可以用追及問題的數(shù)量關(guān)系來解答即：行這段路程甲車比乙車少用的時(shí)間是：(小時(shí))，乙車2小時(shí)行的路程是：(千米

9、)，甲車每小時(shí)比乙車多行的路程是：(千米)，甲車所需的時(shí)間是：(小時(shí))，A、B兩地間的路程是：(千米)【鞏固1】甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，同向而行，乙車在前，甲車在后已知甲車比乙車提前出發(fā)1小時(shí)，甲車的速度是96千米/小時(shí)，乙車每小時(shí)行80千米甲車出發(fā)5小時(shí)后追上乙車，求A、B兩地間的距離解析：由已知可求出甲、乙兩車的追及時(shí)間，利用追及問題的公式求解追及時(shí)間為：(小時(shí)),追及路程為：(千米),A、B兩地間的距離為：(千米)【鞏固2】一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，向同一個(gè)方向前進(jìn)，摩托車在前，每小時(shí)行28千米，汽車在后，每小時(shí)行65千米，經(jīng)過4小時(shí)汽車追上摩托車，甲乙兩地相距多

10、少千米？解析：先求出汽車每小時(shí)比摩托車多行駛的路程(速度差)，再求出兩地相距的路程，即： (千米).例6：小明的家住學(xué)校的南邊，小芳的家在學(xué)校的北邊，兩家之間的路程是1410米，每天上學(xué)時(shí)，如果小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，兩人可以同時(shí)到校已知小明的速度是70米/分鐘，小芳的速度是80米/分鐘，求小明家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解析：小明比小芳提前3分鐘出發(fā)，則多走（米）兩家之間的所剩路程是(米)，兩人的速度和是（米），所剩路程需：（分）走完小明家距離學(xué)校（米）【鞏固】學(xué)校和部隊(duì)駐地相距16千米，小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地，小宇每小時(shí)行12千米，小宙每小時(shí)行15千米當(dāng)小宇走了3千米后，小宙才出發(fā)當(dāng)小宙追

11、上小宇時(shí)，距部隊(duì)駐地還有多少千米？解析：追及時(shí)間：(小時(shí))，此時(shí)距部隊(duì)駐地還有：(千米)例7：甲、乙兩列火車同時(shí)從A地開往B地，甲車8小時(shí)可以到達(dá)，乙車每小時(shí)比甲車多行20千米，比甲車提前2小時(shí)到達(dá)求A、B兩地間的距離解析：這道題的路程差比較隱蔽，需要仔細(xì)分析題意，乙到達(dá)時(shí)，甲車離終點(diǎn)還有兩小時(shí)的路程，因此路程差是甲車兩小時(shí)的路程方法一：如圖：甲車8小時(shí)可以到達(dá)，乙車比甲車提前2小時(shí)到達(dá)，因此，乙車到達(dá)時(shí)用了：(小時(shí))，此時(shí)路程差為：(千米)，此時(shí)路程差就是甲車2小時(shí)的路程，所以甲車速度為：(千米/小時(shí))，A、B兩地間的距離：(千米)方法二：如圖：假設(shè)兩車都行了8小時(shí)，則甲車剛好到達(dá)，乙車則超

12、出了：(千米)，這段路程正好是乙車2小時(shí)走的，因此乙車速度：(千米/小時(shí))，乙車到達(dá)時(shí)用了：(小時(shí))，A、B兩地間的距離：(千米)例8：龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?，心想：“我小兔每分鐘能?00米，而你烏龜每分鐘只能跑10米，哪是我的對(duì)手”比賽開始后，當(dāng)小兔跑到全程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)把烏龜甩得老遠(yuǎn)，便毫不介意地躺在旁邊睡著了當(dāng)烏龜跑到距終點(diǎn)還有40米時(shí)，小兔醒了，拔腿就跑請(qǐng)同學(xué)們解答兩個(gè)問題：它們誰(shuí)勝利了？為什么？解析：烏龜勝利了因?yàn)橥米有褋頃r(shí)，烏龜離終點(diǎn)只有40米，烏龜需要(分鐘)就能到達(dá)終點(diǎn)，而兔子離終點(diǎn)還有500米，需要(分鐘)才能到達(dá)，所以烏龜勝利了烏龜跑到終點(diǎn)還要(分鐘)

13、，而小兔跑到終點(diǎn)還要(分鐘)，慢1分鐘當(dāng)勝利者烏龜跑到終點(diǎn)時(shí)，小兔離終點(diǎn)還有：(米)【鞏固】上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环?，于是向?yàn)觚斣俅蜗聭?zhàn)書，比賽之前，為了表示它的大度，它讓烏龜先跑10分鐘，但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉，速度已經(jīng)提高到5倍，那么這一次誰(shuí)將獲得勝利呢？解析：由烏龜速度提高到5倍，可知烏龜現(xiàn)在的速度為(米/分)，烏龜先跑10分鐘，即兔子開始跑時(shí)，烏龜已經(jīng)跑了(米)，還剩(米)，需要(分鐘)就可以到達(dá)終點(diǎn)，而兔子到達(dá)終點(diǎn)需要的時(shí)間是：(分鐘)，所以，兔子和烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)例9：軍事演習(xí)中，“我”海軍英雄艦追及“敵”軍艦，追到A島時(shí)，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1

14、000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可射擊敵艦？解析：“我”艦追到A島時(shí)，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時(shí)，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米。.又因?yàn)椤拔摇迸炘诰嚯x“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400，即可開炮射擊.所以，在這個(gè)問題中，不妨把9400當(dāng)作路程差，根據(jù)公式求得追及時(shí)間：（分鐘），經(jīng)過20分鐘可開炮射擊“敵”艦.【鞏固】(第二屆“走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園”)在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車以90千米/小時(shí)的速度行駛，后面一輛汽車以108千米/小時(shí)的速度行駛

15、后面的汽車剎車突然失控，向前沖去(車速不變)在它鳴笛示警后5秒鐘撞上了前面的汽車在這輛車?guó)Q笛時(shí)兩車相距多少米？解析：這是一道“追及問題”根據(jù)追及問題的公式，追及時(shí)間 =路程差時(shí)間差由題意知，追及時(shí)間為5秒鐘，也就是小時(shí)，兩車相距距離為路程差，速度差為(千米/時(shí))，也就是18000米/時(shí)，所以路程差為：(米)，所以，在這輛車?guó)Q笛時(shí)兩車相距25米例10：小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步，若小紅讓小藍(lán)先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍(lán)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍(lán)小紅、小藍(lán)二人的速度各是多少？解析：小紅讓小藍(lán)先跑20米，則20米就是小紅、小藍(lán)二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍(lán)，5秒就是追

16、及時(shí)間，據(jù)此可求出他們的速度差為(米)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍(lán)，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為6秒，根據(jù)上一個(gè)條件，由追及差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過程中的路程差，這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程，路程差就等于(米)，就是小藍(lán)在4秒內(nèi)跑了24米，所以可求出小藍(lán)的速度，也可求出小紅的速度綜合列式計(jì)算如下：小藍(lán)的速度為：(米/秒)，小紅的速度為：(米/秒)【鞏固】甲、乙二人練習(xí)跑步，若甲讓乙先跑10米，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙問：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲讓乙先跑10米，則10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時(shí)間，據(jù)此可求出他們

17、的速度差為(米/秒)；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個(gè)過程中，追及時(shí)間為4秒，因此路程差就等于(米)，即乙在2秒內(nèi)跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度綜合列式計(jì)算如下：乙的速度為：（米）甲的速度為：(米/秒)例11：甲、乙二人分別從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲 26 分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6 分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行 50 米，求 A、B 兩地的距離.解析：先畫圖如下：若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C，甲追及乙的地點(diǎn)為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程，用時(shí)間應(yīng)為：分.同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路

18、程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為（米）.所以，甲的速度為（米/分），由此可求出A、B間的距離：（米/分），（米）例12：甲、乙二人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到少年宮去，已知學(xué)校到少年宮的距離是 2400 米甲到少年宮后立即返回學(xué)校，在距離少年宮 300 米處遇到乙，此時(shí)他們離開學(xué)校已經(jīng) 30 分鐘問：甲、乙每分鐘各走多少米？解析：根據(jù)題意，畫線段圖如下：方法一：30分鐘內(nèi)，二人的路程和 ：(米)，因此速度和為：(米/分)；又知道30分鐘甲的路程為：(米)，所以甲速度為：(米/分)，則乙速度為：(米/分)方法二：30分鐘內(nèi)，甲的路程為(米)，乙走的路程為：(米)

19、，因此甲的速度為：(米/分)，乙的速度為：(米/分)課后練習(xí)1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地騎車去乙地，平平每小時(shí)行14千米，兵兵每小時(shí)行17千米，當(dāng)平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，當(dāng)兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有多少千米？解析：平平走了6千米后，兵兵才出發(fā)，這6千米就是平平和兵兵相距的路程由于兵兵每小時(shí)比平平多走(千米)，要求兵兵幾小時(shí)可以追上6千米，也就是求6千米里包含著幾個(gè)3千米，用(小時(shí))因?yàn)榧椎睾鸵业叵嗑?0千米，兵兵每小時(shí)行17千米，2小時(shí)走了(千米)，所以兵兵追上平平時(shí)，距乙地還有(千米)2、 一輛慢車從甲地開往乙地，每小時(shí)行 40 千米，開出 5 小時(shí)后，一輛快車以每小時(shí)

20、 90 千米的速度也從甲地開往乙地在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車，甲乙兩地相距多少千米？解析：慢車先行的路程是：(千米)，快車每小時(shí)追上慢車的千米數(shù)是：(千米)，追及的時(shí)間是：(小時(shí))，快車行至中點(diǎn)所行的路程是：(千米)，甲乙兩地間的路程是：(千米)3、四年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游，每分鐘走72米，15分鐘以后，學(xué)校有急事要通知學(xué)生，派李老師騎自行車從學(xué)校出發(fā)9分鐘追上同學(xué)們，李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？解析：同學(xué)們15分鐘走（米），即路程差然后根據(jù)速度差路程差追及時(shí)間，可以求出李老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘72米，就可以得出李老師的速度即（米）4、小李騎

21、自行車每小時(shí)行13千米，小王騎自行車每小時(shí)行15千米小李出發(fā)后2小時(shí)，小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面6千米處出發(fā)，小李幾小時(shí)可以追上小王？解析：小李2小時(shí)走：（千米），又知小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面6千米處出發(fā)，則知道兩人的路程差是（千米）每小時(shí)小王追上小李（千米），則20千米里面有幾個(gè)2千米，則追及時(shí)間就是幾小時(shí)，即：（小時(shí)） 5、自行車隊(duì)出發(fā) 12 分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn) 9 千米處追上了自行車隊(duì)，然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；隨后又返回去追自行車隊(duì)，再追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn) 18 千米，求自行車隊(duì)和摩托車的速度解析：在第一次追上自行車隊(duì)與第二次追上自行車隊(duì)之間，摩托車所走的路程為(1

22、8 + 9 )千米，而自行車所走的路程為(18 - 9 )千米，所以，摩托車的速度是自行車速度的 3 倍( = (18 + 9) (18 - 9) )；摩托車與自行車的速度差是自行車速度的 2 倍，再根據(jù)第一次摩托車開始追自行車隊(duì)時(shí)，車隊(duì)已出發(fā)了 12 分鐘，也即第一次追及的路程差等于自行車在 12 分鐘內(nèi)所走的路程，所以追及時(shí)間等于12 2 = 6 (分鐘)；聯(lián)系摩托車在距出發(fā)點(diǎn) 9 千米的地方追上自行車隊(duì)可知：摩托車在 6 分鐘內(nèi)走了 9 千米的路程，于是摩托車和自行車的速度都可求出了列式為：（18 + 9）（18 - 9）= 3 倍，12 （3 - 1）= 6 (分鐘)，摩托車的速度為：9 6 = 1.5 (千米/分鐘)，自行車的速度為：1.5 3 = 0.5 (千米/分鐘)6、在周長(zhǎng)400米的圓的一條直