均勻電場中球形介質(zhì)的電場分布的Mathematica仿真課程設(shè)計(jì)說明書

1、課程設(shè)計(jì)說明書設(shè)計(jì)題目：半導(dǎo)體激光器可飽和吸收晶體被動調(diào)Q實(shí)現(xiàn) 學(xué)生學(xué)號： 1106020103 學(xué)生姓名： 陳麗 指導(dǎo)教師： 張科 起止日期： 2014.2014. 物理與電子信息系光電信息科學(xué)與工程專業(yè)摘 要本文首先利用分離變量法求解均勻電場中球形介質(zhì)靜電場的拉普拉斯方程，根據(jù)邊界條件得出具體的分析解。然后，利用Mathematica程序求解均勻電場中球形介質(zhì)的電場分布，并繪制電場的空間分布的矢量圖。本文的特點(diǎn)是：數(shù)學(xué)上的分析解不能直觀地給出靜電場的矢量圖；利用Mathematica程序繪制的電場空間分布的矢量圖具有直觀性。關(guān)鍵詞：靜電場的拉普拉斯方程；球形介質(zhì)；Mathematica 仿

2、真目 錄第1章 Mathematica 軟件11.1 Mathematica 簡介11.2 Mathematica 運(yùn)算2第2章 分離變量法求解靜電場42.1 拉普拉斯方程的分析解42.2 均勻電場中球形介質(zhì)的電場分布5第3章 Mathematica 仿真7程序12參考文獻(xiàn)14致謝15第1章 Mathematica 軟件第1章 Mathematica 軟件1. 1 Mathematica 簡介Mathematica是美國Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件。它的主要使用者是從事理論研究的數(shù)學(xué)工作者和其它科學(xué)工作者、以及從事實(shí)際工作的工程技術(shù)人員。Mathematica可以用于解決

3、各種領(lǐng)域的涉及復(fù)雜的符號計(jì)算和數(shù)值計(jì)算的問題。對以前必須借助于手工推導(dǎo)才能解決的問題， 現(xiàn)在可以很方便地用計(jì)算機(jī)來完成。Mathematica是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)、和與其他應(yīng)用程序的高級連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，截至2009年，它也是為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。Mathematica的發(fā)布標(biāo)志著現(xiàn)代科技計(jì)算的開始。Mathematica是世界上通用計(jì)算系統(tǒng)中最強(qiáng)大的系統(tǒng)。自從1988發(fā)布以來，它已經(jīng)對如何在科技和其它領(lǐng)域運(yùn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了深刻的影響。Mathematica主要可以做數(shù)值運(yùn)算、符號運(yùn)算和圖像處理三項(xiàng)工作

4、。尤其在符號演算工作中，顯示了它的強(qiáng)大功能。它能對符號進(jìn)行多項(xiàng)式的計(jì)算、因式分解、展開，以及求解方程、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等。它也能進(jìn)行數(shù)值的或一般代數(shù)式的向量、矩陣的各種計(jì)算。用Mathematica可以很方便地畫出用各種方式表示的一元和二元函數(shù)的圖形。通過這樣的圖形，我們可以立即形象地把握住函數(shù)的某些特性，而這些特征一般很難從函數(shù)的符號表達(dá)式中看清楚。Mathematica還是一個(gè)很容易擴(kuò)充和修改的系統(tǒng)，它提供了一套描述方法，相當(dāng)于一個(gè)編程語言，用這個(gè)語言可以寫程序，解決各種特殊問題。Mathematica和MATLAB、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。1. 2 Mathematica 運(yùn)算如果

5、在Windows環(huán)境下已安裝好Mathematica 5.0，啟動Windows后，在“開始”菜單的“程序”中單擊 Mathematica 5.0，在屏幕上顯示如圖的Notebook窗口，系統(tǒng)暫時(shí)取名Untitled-1，直到用戶保存時(shí)重新命名為止。Mathematica的基本語法特點(diǎn)：(1) Mathematica中大寫小寫是有區(qū)別的，如plot、Plot是不同的變量名或函數(shù)名。自定義的變量可以取幾乎任意的名稱，長度不限，但不可以數(shù)字開頭。Mathematica中的函數(shù)分為兩類，一類是常用的數(shù)學(xué)函數(shù)，如：絕對值函數(shù)Absx，正弦函數(shù)Sinx，余弦函數(shù)Cosx，以e為底的對數(shù)函數(shù)Logx，以a

6、為底的對數(shù)函數(shù)Loga，x等；第二類是命令意義上的函數(shù)，如作函數(shù)圖形的函數(shù)Plotfx，x，xmin，xmax，解方程函數(shù)Solveeqn，x，求導(dǎo)函數(shù)Dfx，x等。(2) 在Mathematica中，我們應(yīng)注意四種括號的用法：( )圓括號表示項(xiàng)的結(jié)合順序 方括號表示函數(shù)，如Logx，BesselJx，1；大括號表示一個(gè)“表”(一組數(shù)字、任意表達(dá)式、函數(shù)等的；集合)，如2x，Sin12 Pi，1+A，y*x； 雙方括號表示“表”或“表達(dá)式”的下標(biāo)，如a2，3、a，b，c1=a。(3) Mathematica還定義了一些系統(tǒng)常數(shù)，如Pi表示圓周率的精確值，還有E表示自然對數(shù)的底數(shù)、I表示復(fù)數(shù)單位

7、，Degree表示角度一度，Pi/180，Infinity表示無窮大等，這些常數(shù)在運(yùn)算中發(fā)揮了重要的作用。(4) 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ，x y，2 Sinx等；乘冪可以用“”表示，如x4，Tanxy。(5) 在輸入語句時(shí)， 以分號結(jié)束的語句行或表達(dá)式，Mathematica默認(rèn)不顯示計(jì)算結(jié)果，否則將輸出計(jì)算的結(jié)果。(6) 要想查詢某一函數(shù)的具體用法可在Notebook界面下，用 ？或 ? 可向系統(tǒng)查詢運(yùn)算符、函數(shù)和命令的定義和用法，獲取簡單而直接的幫助信息。也可用Options函數(shù)名 查詢。 當(dāng)然，要想主動地去了解更多的函數(shù)，可在Mathematica界面上單擊

8、幫助菜單項(xiàng)的Help Browser， 可了解有關(guān)函數(shù)的更多信息。代數(shù)運(yùn)算：（1）數(shù)的表示及計(jì)算在Notebook界面上，可以對大量數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，Mathematica總會以非常精確的形式輸出結(jié)果。例如如果要想得到近似值可用求值函數(shù)Nexpr，n，expr是數(shù)值表達(dá)式，n是有效數(shù)值的位數(shù)。Mathematica許多函數(shù)直接可以用來做數(shù)值計(jì)算，例如求方程數(shù)值解函數(shù)NSolve、數(shù)值積分函數(shù)NIntegrate、數(shù)值求和函數(shù)NSum等等。（2）變量與變量賦值在Mathematica中，給變量賦值常用“=”表示，我們既可以給變量賦數(shù)字值，也可以給變量賦符號值。例如讓x賦值5，而y賦值a。則在以后的運(yùn)

9、算中，當(dāng)需調(diào)用x或y的表達(dá)式時(shí)，Mathematica將用所賦的值替代它們， 例如如果你需要用到上一步的運(yùn)算結(jié)果，可以用%代替整個(gè)上一步的運(yùn)算結(jié)果，事實(shí)上， 你也可以用以前運(yùn)算的第n次結(jié)果如%表示倒數(shù)第二次的運(yùn)算結(jié)果。另一種變量賦值類似于變量的替換，用(/. ) 表示，例如在代數(shù)式4x2+2中進(jìn)行x2的替換4x2+2/.x218表達(dá)式由代替x2-7x+3/.xa+b在同一行中可以輸入多個(gè)語句， 語句之間用( ；)分開。當(dāng)你需要Mathematica進(jìn)行運(yùn)算而不需要對結(jié)果輸出時(shí)，可以在表達(dá)式后面放一個(gè)分號( ；)（3）函數(shù)的定義在Mathematica中，函數(shù)的定義是用“:=” 表示。例如fx_

10、:=x2+6定義以后，Mathematica會自動使用己定義的規(guī)則， 例如求x=a+b時(shí)的fx 值fa+b第2章 分離變量法求解靜電場應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程，具體的步驟是：首先在選定的坐標(biāo)系下，將電位函數(shù)表示為三個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每個(gè)函數(shù)只含一個(gè)坐標(biāo)變量。將三個(gè)未知函數(shù)般乘積代入拉普拉斯方程，從而分離出三個(gè)常微分方程，由它們的解的乘積可構(gòu)成電位函數(shù)的級數(shù)形式通解。然后再根據(jù)紿定的邊界條件來確定通解中的待定系數(shù)。2.1 拉普拉斯方程的分析解直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程為 (2-1)設(shè)位函數(shù)V(x，y，z)為三個(gè)函數(shù)的乘積，即 (2-2)則可求得拉普拉斯方程的解為 (2-3) (2-4)

11、(2-5) (2-6)式中為分離常數(shù)，且滿足 (2-7)需要指出的是，式中k可以是實(shí)數(shù)，也可以為虛數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出中任何兩個(gè)如為實(shí)數(shù)，其余一個(gè)必為虛數(shù)。即X（x），Y(y)和Z(z)中必有兩個(gè)為三角函數(shù)而其余一個(gè)為雙曲函數(shù)。有時(shí)將雙曲函數(shù)解寫成指數(shù)形式解是方便的。為滿足邊界條件，分離常數(shù)常常需取一系列值，形成級數(shù)解。若電位與某個(gè)量（如z）無關(guān)，則解的形式可簡化成二維。在球坐標(biāo)系中，標(biāo)量電位V的拉普拉斯方程為 (2-8)當(dāng)電位與方位角無關(guān)時(shí)，拉普拉斯方程的通解為 (2-9)為勒讓德多項(xiàng)式，和是待定常數(shù)由具體問題的邊界條件給出。2.2 均勻電場中球形介質(zhì)的電場分布一半徑為介電常數(shù)為的介質(zhì)球放置在均勻電

12、場中。求介質(zhì)球內(nèi)、外的電位及電場。解：介質(zhì)球外電位和球內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程，它們都具有軸對稱性，其通解分別為（2-10）（2-11）其中是待定系數(shù)。電位的邊界條件是（1）（2）為有限值（3） 由邊界條件（1）可得（2-12）由邊界條件（2）可得（2-13）由邊界條件（3）可得（2-14）所有常數(shù)已經(jīng)確定，解為，。（2-15）第3章 Mathematica 仿真Mathematica 仿真程序如下。程序頂格，輸出結(jié)果居中并標(biāo)有公式數(shù)碼。解：介質(zhì)球外電位和球內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程，它們都具有軸對稱性，其通解分別為ClearGlobal*（2-16）電位的邊界條件是（1）（2）為有限值（3） 由邊

13、界條件可知，求和只需取至n=1的項(xiàng)。勒讓德函數(shù)前兩頂是和。電位的通解可以簡化為（2-17）把電位代入邊界條件（1）（2-18）比較系數(shù)知由邊界條件（2）顯然可知由邊界條件（3）的第一條件(V1/.Ra)(V2/.Ra)（2-19）用Coefficient函數(shù)比較上方程的系數(shù)得方程eq1，比較上方程的系數(shù)得方程eq2（2-20）（2-21）由邊界條件（3）的第二條件得（2-22）比較上方程的系數(shù)得方程eq3顯然有結(jié)合方程eq3有聯(lián)立求解eq1和eq3可求出和（2-23）把上面的解代入和就可求出球外電位和球內(nèi)電位 V11=V1/.sol/First（2-24）V22=V2/.sol/First（2

14、-25）為求出電場強(qiáng)度需調(diào)用矢量分析軟件包CalculusVectorAnalysis球外電場強(qiáng)度E1=Grad-V11,SphericalR,q,f/Simplify（2-26）球內(nèi)電場強(qiáng)度E2=Grad-V22,SphericalR,q,f/Simplify（2-27）球內(nèi)電位也可寫為直角坐標(biāo)形式在直角坐標(biāo)形式下，球內(nèi)電場強(qiáng)度E2=Grad-V22,Cartesianx,y,z（2-28）所以介質(zhì)球內(nèi)的電場強(qiáng)度是均勻場。把電場強(qiáng)度的球坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式， 再利用Mathematica圖形函數(shù)可作出介質(zhì)球附近電場線分布平面圖如下。CalculusVectorAnalysisGraph

15、icsPlotFieldr2xRule=r,q,fCoordinatesFromCartesianx,y,z,Spherical/Thread;k=10（2-29）（2-30）由上面結(jié)果可定義球外電位和球內(nèi)電位分別為根據(jù)公式，并用函數(shù)PlotGradientField和Plot3D分別繪制出介質(zhì)球附近的電場線和介質(zhì)球附近的等位面。PlotGradientField-v3z,x,z,-2.0,2.0,x,-2.0,2.0, ScaleFunction(3&),PlotPoints20圖3-1 介質(zhì)球附近的電場線Plot3Dv3z,x,z,-2,2,x,-2,2,PlotPoints30,BoxR

16、atios1,1,1圖3-2 介質(zhì)球附近的等位面由圖3-2可以看出，圖中有一圓型區(qū)域內(nèi)的電位是相同的，這反映了介質(zhì)球內(nèi)的電場是勻強(qiáng)電場。程序Mathematica程序如下：ClearGlobal* ( V1 /. R a ) ( V2 /. R a ) V11=V1/.sol/First V22=V2/.sol/First CalculusVectorAnalysis E1=Grad-V11,SphericalR,q,f/Simplify E2=Grad-V22,SphericalR,q,f/Simplify E2=Grad-V22,Cartesianx,y,z CalculusVectorA

17、nalysis GraphicsPlotField r2xRule=r,q,fCoordinatesFromCartesianx,y,z,Spherical/Thread; k=10 PlotGradientField-v3z,x,z,-2.0,2.0,x,-2.0,2.0, ScaleFunction(3&),PlotPoints20 Graphics Plot3Dv3z,x,z,-2,2,x,-2,2,PlotPoints30,BoxRatios1,1,1 SurfaceGraphics參考文獻(xiàn)1 郭碩鴻. 電動力學(xué). 高等教育出版社，2008.2 杜建明. Mathematica 在電磁場理論中的應(yīng)用. 合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2004.3 美D. 尤金 （鄧建松 譯）. Mathematica 使用指南. 科學(xué)出版社，2002.4 丁大正.