坐標(biāo)系與參數(shù)方程教案5.17

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程 極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn)，在知識(shí)上結(jié)合解析幾何，考查學(xué)生曲線(xiàn)方程的轉(zhuǎn)化能力，以及解析幾何的初步技能。題目難度不大，但需要學(xué)生能夠快速熟練的解決問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）極坐標(biāo)：1、極坐標(biāo)系的建立：以平面上一點(diǎn)為中心（作為極點(diǎn)），由此點(diǎn)引出一條射線(xiàn)，稱(chēng)為極軸，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系2、點(diǎn)坐標(biāo)的刻畫(huà)：用一組有序?qū)崝?shù)對(duì)確定平面上點(diǎn)的位置，其中代表該點(diǎn)到極點(diǎn)的距離，而表示極軸繞極點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至過(guò)該點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，通常： 3、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系坐標(biāo)的互化：如果將極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸重合，則同一個(gè)點(diǎn)可具備極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，那么兩種坐標(biāo)間

2、的轉(zhuǎn)化公式為：，由點(diǎn)組成的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程也可按照此法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如：極坐標(biāo)方程（在轉(zhuǎn)化成時(shí)要設(shè)法構(gòu)造 ，然后進(jìn)行整體代換即可）（二）參數(shù)方程：1、如果曲線(xiàn)中的變量均可以寫(xiě)成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，那么就稱(chēng)為該曲線(xiàn)的參數(shù)方程，其中稱(chēng)為參數(shù)2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：消參法（1）代入消參： （2）整體消參：，由可得： （3）平方消參：利用消去參數(shù)例如： 3、常見(jiàn)圖形的參數(shù)方程：（1）圓：的參數(shù)方程為：，其中為參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角（2）橢圓：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為橢圓的離心角（3）雙曲線(xiàn)：的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，其幾何含義為雙曲線(xiàn)的離心角（4）拋物線(xiàn)：的參數(shù)方程為，

3、其中為參數(shù)（5）直線(xiàn)：過(guò)，傾斜角為的直線(xiàn)參數(shù)方程為，其中代表該點(diǎn)與的距離注：對(duì)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問(wèn)題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程，然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識(shí)求解二、典型例題：例1：已知直線(xiàn)參數(shù)方程為，圓的參數(shù)方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離為_(kāi)思路：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程： 所以圓心為，到直線(xiàn)的距離為： 答案： 例2：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，則曲線(xiàn)上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)思路：，故曲線(xiàn)上距離最遠(yuǎn)的距離為到圓心的距離加上半徑，故 答案： 例3：已知在平面直角坐標(biāo)系中圓的參數(shù)

4、方程為：，以為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)極坐標(biāo)方程為，則圓截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為_(kāi)思路：圓的方程為：，對(duì)于直線(xiàn)方程，無(wú)法直接替換為，需構(gòu)造再進(jìn)行轉(zhuǎn)換： 再求出弦長(zhǎng)即可： 答案： 例4：已知兩曲線(xiàn)參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)思路：曲線(xiàn)方程為，聯(lián)立方程可解得：或（舍）由可得： 所以，坐標(biāo)為 答案：例5：在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)思路：先將直線(xiàn)與曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：，曲線(xiàn)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓相交于，且，利用圓與直線(xiàn)關(guān)系可求得圓心到直線(xiàn)距離即，解得或 答案：或例6：以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，它

5、與曲線(xiàn)（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則_思路：先將兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。對(duì)于，這種特殊的極坐標(biāo)方程可以考慮數(shù)形結(jié)合來(lái)確定直線(xiàn)：即，曲線(xiàn)消參后可得：即圓心是，半徑為的圓，所以， 答案： 小煉有話(huà)說(shuō)：對(duì)于形如的極坐標(biāo)方程，可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標(biāo)方程，或者可以考慮對(duì)賦予三角函數(shù)，然后向直角坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化： 例7：在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是，則兩曲線(xiàn)交點(diǎn)間的距離是_思路：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程。，則為直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)即可解： 的方程為 聯(lián)立方程可得： 代入消去可得： 設(shè)交

6、點(diǎn) 則 答案： 例8：已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別為，其中，則曲線(xiàn)交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)思路一：按照傳統(tǒng)思路，將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系的普通方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)解：或?qū)蓚€(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)分別為，因?yàn)椋灾挥蟹蠗l件思路二：觀(guān)察到所給方程形式簡(jiǎn)單，且所求也為極坐標(biāo)，所以考慮直接進(jìn)行極坐標(biāo)方程聯(lián)立求解解：代入消去可得： 交點(diǎn)坐標(biāo)為 小煉有話(huà)說(shuō)：（1）思路一中規(guī)中矩，但解題過(guò)程中要注意原極坐標(biāo)方程對(duì)的限制條件（2）思路二有些學(xué)生會(huì)對(duì)聯(lián)立方程不很適應(yīng)，要了解到極坐標(biāo)中的本身是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于它們的方程與方程一樣，都是實(shí)數(shù)方程，所以可以用實(shí)數(shù)方程的方法去解根，只是由于其具備幾何含義（尤其）導(dǎo)致方程形式有些

7、特殊（數(shù)與三角函數(shù)）。但在本題中，通過(guò)代入消元還是容易解出的例9：已知在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則的面積為_(kāi)思路一：將轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系方程：，所以，再求出的直角坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋?，且，所以思路二：本題求出后，發(fā)現(xiàn)其極坐標(biāo)為，而，所以可結(jié)合圖像利用極坐標(biāo)的幾何含義求解，可得，所以 答案：小煉有話(huà)說(shuō)：（1）在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡(jiǎn)單：，所以，代入即可（2）思路二體現(xiàn)了極坐標(biāo)本身具備幾何特點(diǎn)，即長(zhǎng)度（）與角，在解決一些與幾何相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用極坐標(biāo)的幾何含義往往能達(dá)到出奇制勝的效果例10：在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)），以原點(diǎn)為

8、極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)，曲線(xiàn)交于，求的值思路一：將轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下普通方程： ，聯(lián)立方程，解出坐標(biāo)，再求出即可解： 設(shè) ， 思路二：本題在思路一的基礎(chǔ)上通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，則可以考慮將轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積，即，進(jìn)而向量坐標(biāo)化后整體代入即可解：（前面轉(zhuǎn)化方程，聯(lián)立方程同思路一）設(shè)， 由得 思路三：觀(guān)察到恰好是直線(xiàn)參數(shù)方程的定點(diǎn)，且所求恰好是到的距離，所以聯(lián)系到直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義。只需求得對(duì)應(yīng)參數(shù)的乘積即可解：設(shè)，則有，則有代入到中可得：所以是方程的兩根，整理可得： 答案： 小煉有話(huà)說(shuō)：（1）思路二體現(xiàn)了處理線(xiàn)段模長(zhǎng)乘積時(shí)，可觀(guān)察涉及線(xiàn)段是否具

9、備共線(xiàn)特點(diǎn)，如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，但要注意與圖像結(jié)合，看好向量是同向還是反向（2）思路三體現(xiàn)了對(duì)直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線(xiàn)（其中一條為參數(shù)方程）的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可以將參數(shù)代換掉另一曲線(xiàn)中的得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在使用直線(xiàn)參數(shù)方程時(shí)，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線(xiàn)傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不具備幾何含義。例如本題中如果參數(shù)方程為，則并不代表點(diǎn)到的距離。三、歷年好題精選1、已知直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離為_(kāi)2、（2015，北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直

10、線(xiàn)的距離為_(kāi)3、（2015，廣東）已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn) 到直線(xiàn)的距離為_(kāi)4、（2015，新課標(biāo)II）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn) （1）求交點(diǎn)的直角坐標(biāo)（2）若相交于點(diǎn)，相交于點(diǎn)，求的最大值5、（2015，陜西）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為 （1）寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程（2）為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時(shí)，求的直角坐標(biāo)習(xí)題答案：1、答案：解析：可知直線(xiàn)的方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為，所以圓心到直線(xiàn)的距離為 2、答案：1解析：點(diǎn)化為直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為，直線(xiàn)方程為，從而該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 3、答案： 解析：直線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則到直線(xiàn)的距離為 4、解析：（1）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方