數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十四章冪級數(shù)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第十四章號級數(shù)教學(xué)目的：1.理解幕級數(shù)的有關(guān)概念，掌握其收斂性的有關(guān)問題；2.理解幕級數(shù)的運(yùn)算，掌握函數(shù)的幕級數(shù)展開式并認(rèn)識余項(xiàng)在確定函數(shù)能否展為幕級數(shù)時(shí)的重要性。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是幕級數(shù)的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式；難點(diǎn)是收斂區(qū)間端點(diǎn)處斂散性的判別。教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí)§1哥級數(shù)（4時(shí)）幕級數(shù)的一般概念.型如工/（K-同）*和E/的幕級數(shù).幕級數(shù)由產(chǎn)系數(shù)數(shù)列j唯一確定.幕級數(shù)至少有一個(gè)收斂點(diǎn).以下只討論型如E即/的幕級數(shù).幕級數(shù)是最簡單的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之一.一.幕級數(shù)的收斂域：1. 收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域：Th1（Abel）若幕級數(shù)工/在點(diǎn)1=10收斂，則對

2、滿足不等式|工的任何九幕級數(shù)£%/收斂而且絕對收斂；若在點(diǎn)了二；發(fā)散，則對滿足不等式的任何I,幕級數(shù)E%一發(fā)散.證>%1收斂，小有界.設(shè)1aAl<M，有g(shù)/卜/|才4協(xié)，其中r=|二1G.II定理的第二部分系第一部分的逆否命題屆級數(shù)工/和X（eJ的收斂域的結(jié)構(gòu)定義幕級數(shù)的收斂半徑R.Th 2對于幕級數(shù)£4收斂半徑R的求法.，若蚣M"，則i>0<°<+s時(shí),K=二；ii>P二。時(shí)K=+s；出>。二+由時(shí)K=0.證lim丐樂/=lim«ETIklkl,（強(qiáng)調(diào)開方次數(shù)與工的次數(shù)是一致”8、&RTs7K

3、''的）=由于lung-=m=Inn=p,因此亦可用比值法求收斂半徑.fuI%NTs八”幕級數(shù)E%/的收斂區(qū)間：（-乩R）.幕級數(shù)工能才的收斂域：一般來說,收斂區(qū)間匚收斂域.幕級數(shù)3%/的收斂域是區(qū)間（-R,R）、（-乩幻、-尺或之一.例1求幕級數(shù)1號的收斂域.（T,l）例2求幕級數(shù)工+二+E+的收斂域.（-1,1）2n例3求下列幕級數(shù)的收斂域：（1）X-；（2）p/.2.復(fù)合幕級數(shù)2%武（X）:令1=/,則化為幕級數(shù)W&F.設(shè)該幕級數(shù)的收斂區(qū)間為（-RR）,則級數(shù)E七武（X）的收斂區(qū)間由不等式-R（歹（x）X確定.可相應(yīng)考慮收斂域.特稱幕級數(shù)士”/代為正整數(shù)）為缺項(xiàng)幕

4、級數(shù).其中0=/.應(yīng)注意可為第版項(xiàng)的系數(shù).并應(yīng)注意缺項(xiàng)幕級數(shù)Ea/'并不是復(fù)合幕級數(shù)，該級數(shù)中,勺為第/項(xiàng)的系數(shù).,r,1233,47（_小心例4求號級數(shù)-X+-T-X+的收斂域.33'手34.12彳344才白耳+1小十一,解一1+yl+hX+三彳.初"彳TH缺項(xiàng)號級數(shù).3y3，才公3"+1aII%7=引=R=后.收斂區(qū)間為（-招，活）.工=土后時(shí),|4|3通項(xiàng)f0.因此，該幕級數(shù)的收斂域?yàn)椋?招，百）.31例5求級數(shù)2的收斂域.井02（1】）解 令£ = _L,所論級數(shù)成為幕級數(shù)x-1.由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)果，當(dāng)且僅當(dāng)TCQ時(shí)級數(shù)工N-0收斂.因

5、此當(dāng)且僅當(dāng)-2<-<2,即1®1ix-ii>-時(shí)級數(shù)V-收斂.所以所論級數(shù)的收斂域?yàn)?12金2y-1,1、/3、例6求幕級數(shù)£3”;/的收斂半徑.解二一二2-J-|.NTsNTs幕級數(shù)的一致收斂性:Th3若幕級數(shù)工人小的收斂半徑為R（。）,則該幕級數(shù)在區(qū)間（-RR）內(nèi)閉一致收斂.證Va8匚（-R,R）,設(shè)maMI咻囹,則對Viwgb,有aKxn|<|,級數(shù)W4/絕對收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法,二幕級數(shù)£4/在a/上一致收斂.因此，幕級數(shù)/在區(qū)間（-R,R）內(nèi)閉一致收斂.Th4設(shè)幕級數(shù)£/犬的收斂半徑為K（Q），且在點(diǎn)x=R（或x=-R）

6、收斂，則幕級數(shù)工/在區(qū)間0,即（或-K,。）上一致收斂.證明/=怎&（? . w4*收斂,函數(shù)列在區(qū)間0,K上遞上一致收斂.易見,當(dāng)事級數(shù)2M減且一致有界,由Abel判別法，幕級數(shù)W4/在區(qū)間0的收斂域?yàn)?凡K（K。）時(shí)，該幕級數(shù)即在區(qū)叫一凡町上一致收斂.幕級數(shù)的性質(zhì)：1.逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分后的級數(shù)：設(shè).，.'.，'二、'把1M1M1M1盟*）和*）仍為幕級數(shù).我們有命題i*）和*）與有相同的收斂半徑.（簡證）值得注意的是，*）和*）與2/雖有相同的收斂半徑（因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域，例如級數(shù)T.2.幕級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：定義兩個(gè)幕級數(shù)£%

7、犬和£人/在點(diǎn)x=o的某鄰域內(nèi)相等是指：它們在該鄰域內(nèi)收斂且有相同的和函數(shù).%二%, （1«方+b）.（由以下命題4系2）¥心命題21'-上,.：二3-0命題3設(shè)幕級數(shù)£4/和工句/的收斂半徑分別為人和及,x0x-0R=rnin（凡國）,則i士況/=義工2”,|那&,%Const,工WQ.五£%/+%/二+31|鄧R.晶-0»-0»-0出（2-）（2&犬）=£“/，S£知如，|那履.3.和函數(shù)的性質(zhì)：心命題4設(shè)在（-R,K）（KQ）內(nèi)士"二/.則»-0】/在卜兒

8、及）內(nèi)連續(xù)；ii若級數(shù)£即&或士（一幻”）收斂，則/在點(diǎn)工（R（或L-R）是左（或右）連續(xù)的；¥出對ViE（-RR）,了在點(diǎn)工可微且有了。）二£叫1T；»-1iv 對胃W（-R,R）, /在區(qū)間0,1上可積，且£FQ£F（當(dāng)級數(shù)向收斂時(shí)，無論級數(shù)在點(diǎn)工二K收斂與否，均有仁川+1公"9二號"臚.這是因?yàn)椋河杉墧?shù)*芻_尸"收斂，得函數(shù)上行+1"1“叱箭”在點(diǎn)=R左連續(xù),因此有（小辿=£乂*£漢 + 1推論1和函數(shù)/在區(qū)間（一旦的內(nèi)任意次可導(dǎo)，且有")二的 +2a

9、/ +啊產(chǎn)1 +f£/(工)=訊4+&+11/+0+由系1可見，/是幕級數(shù)的和函數(shù)的必要條件是一任意次可導(dǎo).推論2若工詼了"二/（行，則有/0八0）二J（0）滿足微分方程< _ i -.二. R.B2*/例7驗(yàn)證函數(shù)/加=工一x-o皿驗(yàn)證所給幕級數(shù)的收斂域?yàn)?。足J540r>M+ljt3一一v-n廣（次2/3口4/此代入,n-=o.§2函數(shù)的哥級數(shù)展開函數(shù)的幕級數(shù)展開1.Taylor級數(shù)：設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)而有任意階導(dǎo)數(shù).Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：'''一二to劃二，一-:''

10、'J'：.“二11.2!都！余項(xiàng)可的形式：Peano型余項(xiàng)：.,：.一】,（只要求在點(diǎn)雨的某鄰域內(nèi)有超-1階導(dǎo)數(shù)，/如（而）存在）Lagrange型余項(xiàng):伽+i）i嚴(yán),或一一,J.積分型余項(xiàng)：當(dāng)函數(shù)網(wǎng)在點(diǎn)句的某鄰域內(nèi)有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，有1V二：一=".Cauchy余項(xiàng)：在上述積分型余項(xiàng)的條件下，有Cauchy余項(xiàng)人（口）.特別地，而=0時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為=2/網(wǎng)（1-少工。在0與工之用！問.Taylor級數(shù)：Taylor公式僅有有限項(xiàng),是用多項(xiàng)式逼近函數(shù).項(xiàng)數(shù)無限增多時(shí)，得/（為）+/（5）（工一七）+（工商）+：Q/）+=2!加,仁聞稱此級數(shù)為函數(shù)/（X）在

11、點(diǎn)向的Taylor級數(shù).只要函數(shù)/在點(diǎn)向無限次可導(dǎo),就可寫出其Taylor級數(shù).稱工0=0時(shí)的Taylor級數(shù)為Maclaurin級數(shù)，即級數(shù)自然會有以下問題：對于在點(diǎn)看無限次可導(dǎo)的函數(shù),在/（X）的定義域內(nèi)或在點(diǎn)飛的某鄰域內(nèi)，函數(shù)/和其Taylor級數(shù)是否相等呢？2.函數(shù)與其Taylor級數(shù)的關(guān)系：例1函數(shù)/=在點(diǎn)=0無限次可微.求得了同。）=,用1-x（1-X）/叫0）=Ml.Taylor級數(shù)為1-二:.：一丁.該幕級數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1）.僅在區(qū)間（-1）內(nèi)有/（力=工/.而在其他點(diǎn)并不相等，因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散.那么，在Taylor級數(shù)的收斂點(diǎn),是否必有了和其Taylor級數(shù)相等呢？回答也是

12、否定的.例2函數(shù)，（切=上于,x工0,在點(diǎn)工=0無限次可導(dǎo)且有/（0）=0因此其（0,”0.Taylor級數(shù)三。，在（-巾，+s）內(nèi)處處收斂.但除了點(diǎn)了=。外，函數(shù)/和其Taylor級數(shù)并不相等.另一方面，由本章§1命題4推論2（和函數(shù)的性質(zhì)）知：在點(diǎn)訪的某鄰域內(nèi)9¥倘有了二E即。-兩）;則了在點(diǎn)及無限次可導(dǎo)且級數(shù)工即（L瓦）”必為函數(shù)/（工）在點(diǎn)的Taylor級數(shù).綜上，我們有如下結(jié)論：對于在點(diǎn)Xq無限次可導(dǎo)的函數(shù)/,其Taylor級數(shù)可能除點(diǎn)工二%外均發(fā)散，即便在點(diǎn)看的某鄰域內(nèi)其Taylor級數(shù)收斂，和函數(shù)也未必就是，（工）.由此可見，不同的函數(shù)可能會有完全相同的Tay

13、lor級數(shù).若幕級數(shù)工金0一兩）常在點(diǎn)瓦的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù)/Q）,則該幕級數(shù)就是函數(shù)/（1）在點(diǎn)Iq的Taylor級數(shù).于是,為把函數(shù)/在點(diǎn)句的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于（工-%）的幕級數(shù)，我們只能考慮其Taylor級數(shù).3 .函數(shù)的Taylor展開式：若在點(diǎn)二°的某鄰域內(nèi)函數(shù)f（x）的Taylor級數(shù)收斂且和恰為/（1）,則稱函數(shù)了（力在點(diǎn)%可展開成Taylor級數(shù)（自然要附帶展開區(qū)間.稱此時(shí)的Taylor級數(shù)為函數(shù)/在點(diǎn)句的Taylor展開式或幕級數(shù)展開式.簡稱函數(shù)/在點(diǎn)而可展為幕級數(shù).當(dāng)及二0時(shí)，稱Taylor展開式為Maclaurin展開式.通常多考慮的是Maclaurin展開式.

14、4 .可展條件：Th1（必要條件）函數(shù)/在點(diǎn)二°可展，=f（x）在點(diǎn)工口有任意階導(dǎo)數(shù).Th2（充要條件）設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)看有任意階導(dǎo)數(shù).則了在區(qū)間（瓦-r,而+r）（rQ）內(nèi)等于其Taylor級數(shù)（即可展）的充要條件是：對VlfU（而，有血人（X）0.其中凡是Taylor公式中白余項(xiàng).證把函數(shù)了（才）展開為明階Taylor公式，有|/（x）-E（x）忖凡,O組）=SrnS,依O%&（不）=0.HTodXTtaTh3（充分條件）設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)而有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列/網(wǎng)一致有界，則函數(shù)/可展.證利用Lagrange型余項(xiàng),設(shè)|丁RM,則有尸。伊】If，,、ii> 按0

15、 + 1)幕.初=7¥"一%依下而7。，5Ts)例3展開函數(shù),=/-2/+l+3,i>按X幕;解 -一 二 T 1/叫 0)=3,次-；八3/-4尹1/(0)=1,八7) =8;廣飛7,(=4r(-n=-io；廣(T)6;所以,i>/-+八。)/勺”?+與”3+釬2/+/.可見,工的多項(xiàng)式月0的Maclaurin展開式就是其本身.ii：J：初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式.為得到初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式，或直接展開，或間接展開.1.丁二工1,xe（-5,+s）.（驗(yàn)證對Vier,/叫&=建在.04區(qū)間0,1（或/0）上有

16、界，得一致有界.因此可展）.g2m+12."二：C0SI=5（-l）"可展是因?yàn)?同*）=血X+-在（-8,+5）內(nèi)一致有界.3.二項(xiàng)式（1+獷的展開式：期為正整數(shù)時(shí)，（1+I7為多項(xiàng)式，展開式為其自身朋為不是正整數(shù)時(shí)，可在區(qū)間內(nèi)展開為（1+口=1+/+械洗7#+.所岫-2”,（澆-"1）1+.2!M對余項(xiàng)的討論可利用Cauchy余項(xiàng).具體討論參閱1P56.潮工T時(shí)，收斂域?yàn)椋?11）；T助Q時(shí)，收斂域?yàn)椋═,l；期。時(shí)，收斂域?yàn)?1,1.利用二項(xiàng)式（1+x廠的展開式,可得到很多函數(shù)的展開式.例如取期=-1，得1=l-x+f-+(-1)中+，.斯=_一時(shí),2+與3

17、/71 + x 22 T 2，416V 'V V間接展開：利用已知展開式，進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算，可得到一些函數(shù)的展開式.利用微積運(yùn)算時(shí)，要求一致收斂.幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，總可保證這些運(yùn)算暢通無阻.，.二1J.事實(shí)上,利用上述的展開式,兩端積分,就有1+7明+ x)二二二二；驗(yàn)證知展開式在點(diǎn)X=1收斂，因此，在區(qū)間（-1J上該展開式成立.5.ardgx = x0 = E(3 n-i)2»+1ik2w+l由Y=xw(-l,l).兩端積分，有l(wèi)+ia-0驗(yàn)證知上述展開式在點(diǎn)工二十1收斂，因此該展開式在區(qū)間-11上成立.（這里應(yīng)用了習(xí)題中第2題的結(jié)果,）例4

18、展開函數(shù)/（X）=13/-4工+11。1工之")/,|1|<-.例5展開函數(shù)/（X）=。+碰求收斂區(qū)間或收斂域求幕級數(shù)二2乃*的收斂區(qū)間求幕級數(shù)x£-犬的收斂域.拓-1圣】工、L9 1、kJ 1'設(shè)% = X-,汪用、至 1 lim a = +c01有 'I - ： ,一 I 一.I=±l 時(shí),像卜y O' n收斂域?yàn)?.函數(shù)展開:例3 把函數(shù)如=-展開成X的幕級數(shù)乙23aif F tAAA解.I ,二,11 -1 '2!31M+ +（T）中 盟！| “< + b| X|< + co9 2m+1 y-覬+i與sin

19、 i的展開式加嗔廠而不比較.例4展開函數(shù)/二COS2X.c小丁廣焉？C)F一一一一一|.因此,cosX=mJ(2叫例5展開函數(shù)/(X)二&.1+r-=1-工+/-/+(7)*工"+，因此,Z-X+X-X+(-1)X+,1+N|x|<l,把函數(shù)/W=ln(5+x)展開成Q-2)的幕級數(shù).工7L解口，,'23(-l)s-1nt：二刀.而呵5+x)=ln(7+x-2)=ln1+ln7xe(-5,9三.函數(shù)展開式應(yīng)用舉例1 .做近似計(jì)算例7計(jì)算積分LjgT%,精確到M0O.一-I.因此,1( 1° 戶1 吸1 Q ®上式最后是Leibniz型級數(shù),其

20、余和的絕對值不超過余和首項(xiàng)的絕對值為使-<，可取劉7.故從第0項(xiàng)到第6項(xiàng)這前7項(xiàng)之和達(dá)到要求的(2盟+311000精度.于是LdE+ _L-33527-69-241112013'720，一”一，一".二.2 .利用展開式求高階導(dǎo)數(shù)：原理.例8設(shè)/'''證明對下用，/8(0)存在并求其值.1.x=0.解一，直接驗(yàn)證可知上式當(dāng)工二。時(shí)也成立.因此在（-5,+S）內(nèi)有函數(shù)/作為1的幕級數(shù)的和函數(shù),對V*/叫0）存在,且1)氣2時(shí)!(2所+1)1n = 2m0,/叫0）0,四.幕級數(shù)求和:原理：對某些幕級數(shù)，有可能利用初等運(yùn)算或微積運(yùn)算以及變量代換化為已知的函數(shù)展開式（特別是化為函數(shù);和成的展開式），借以求和.1-A/04淮+1V/_j>s+1例9求幕級數(shù)V一的和函數(shù)并求級數(shù)