數(shù)列的全章復(fù)習(xí)與鞏固VIP

1、三好高中生(ID： sanhao-youke),為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。數(shù)列的全章復(fù)習(xí)與鞏固編稿：李霞審稿：張林娟【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關(guān)概念和公式；2 .掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題；3 .了解數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn的關(guān)系，能通過(guò)前n項(xiàng)和公式Sn求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an；4.掌握常見(jiàn)的幾種數(shù)列求和方法【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式anf(n)來(lái)表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.要點(diǎn)詮釋：不是每個(gè)數(shù)列

2、都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.如數(shù)列1,2,3,1,4,2,就寫(xiě)不出通項(xiàng)公式；有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：數(shù)列一1,1,1,1,的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an(1)n,也可以寫(xiě)成ancosn；僅僅知道一個(gè)數(shù)列的前面的有限項(xiàng)，無(wú)其他說(shuō)明，數(shù)列是不能確定的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：任意數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna1a2an；Si(n1)an-一，八、SnSn1(n2)要點(diǎn)詮釋：由前n項(xiàng)和Sn求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要分三步進(jìn)行：(1)求aiSi,(2)求出當(dāng)n>2時(shí)的an,(3)如果令n>2時(shí)得出的an中的n=1時(shí)有aS成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫(xiě)成一個(gè)形式，否則就只能寫(xiě)成分段的

3、形式.數(shù)列的遞推式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)或前若干項(xiàng)，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1或前若干項(xiàng)間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式，簡(jiǎn)稱遞推式要點(diǎn)詮釋：利用遞推關(guān)系表示數(shù)列時(shí)，需要有相應(yīng)個(gè)數(shù)的初始值，可用湊配法、換元法等要點(diǎn)二：等差數(shù)列判定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法定義法：an1and(常數(shù))是等差數(shù)列；中項(xiàng)公式法：241anan2(nN*)%是等差數(shù)列；通項(xiàng)公式法：anpnq(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列；前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A,B為常數(shù))an是等差數(shù)列.要點(diǎn)詮釋：對(duì)于探索性較強(qiáng)的問(wèn)題，則應(yīng)注意從多I例入手，歸納猜想一般特性等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：(1)

4、通項(xiàng)公式的推廣：anam+(nm)d*(2)右mnpq(m>n、p、qN),貝Uamanapaq；特別，若mn2p,則aman2ap三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨保青品課程/考試真題，你需要的這里都有!(3)等差數(shù)列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差數(shù)列，則am、an、ap成等差數(shù)列Sk,S2kSk,S3kS2k,組成新的等差數(shù)列(4)公差為d的等差數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和(5)等差數(shù)列&,前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Snnam;S奇S偶anan1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Snn()；S2(6)等差數(shù)列4,前n項(xiàng)和為Sn,則(7)等差數(shù)列&中，若m+n=p+q(m

5、、n、p、qCN*,且mn,pw0,貝U.mnpq(8)等差數(shù)列an中，公差d，依次每k項(xiàng)和：Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列，新公差d'k2d.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題：等差數(shù)列an中an0右ai>0,d<0,Sn有最大值，可由不等式組來(lái)確定n;an10an0右ai<0,d>0,Sn有最小值，可由不等式組來(lái)確定n,也可由刖n項(xiàng)和公式an10一d2.d.Snn(a1一)n來(lái)確定n.22要點(diǎn)詮釋：等差數(shù)列的求和中的函數(shù)思想是解決最值問(wèn)題的基本方法要點(diǎn)三：等比數(shù)列判定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法SmSn1dn;S2S禺a(chǎn)n2an12Smn/(m、mna

6、一一(1)定義法：q(q是不為0的常數(shù)，nCN*)an是等比數(shù)列；an(2)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)nCN*)an是等比數(shù)列；(3)中項(xiàng)公式法：a21anan2(anan1an20,nN*)an是等比數(shù)列等比數(shù)列的主要性質(zhì)：(1)通項(xiàng)公式的推廣：anamqnm*、一.(2)右mnpq(m>n、p、qN),貝Uamanapaq.特另1J,若mn2p,貝Uamanap2(3)等比數(shù)列an中，若m>n、p(m>n>pN)成等差數(shù)列，則am、an、ap成等比數(shù)列(4)公比為q的等比數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和Sk,S2kSk,S3kS2k，組成新的等比數(shù)列.(5)等

7、比數(shù)列斗,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶S奇q.(6)等比數(shù)列an中，公比為q,依次每k項(xiàng)和：Sk,S2kSk,S3kS2k成公比為qk的等比數(shù)列.(7)若an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則logaan(a>0且awj)為等差數(shù)列；反之，若%為等差數(shù)n(n 1)a1nq 2 (n N*)列，則aan(a>0且aD為等比數(shù)列(8)等比數(shù)列&前n項(xiàng)積為Vn,則Vn等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)：n1anaq方程觀點(diǎn)：知二求一；函數(shù)觀點(diǎn)：ana1qn1亙qnqq0且q1時(shí)，是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；q1時(shí)，是常數(shù)函數(shù)；要點(diǎn)詮釋:0 ,等比數(shù)列&是遞減數(shù)列;當(dāng)q1時(shí)，若a10,等比數(shù)列4是遞

8、增數(shù)列；若a1當(dāng)0q1時(shí)，若a10,等比數(shù)列an是遞減數(shù)列；若a0,等比數(shù)列%是遞增數(shù)列;當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列an是擺動(dòng)數(shù)列;當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列an是非零常數(shù)列要點(diǎn)四：常見(jiàn)的數(shù)列求和方法公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，直接用其前n項(xiàng)和公式求和.分組求和法：將通項(xiàng)拆開(kāi)成等差數(shù)列和等比數(shù)列相加或相減的形式，然后分別對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.如：an=2n+3n.裂項(xiàng)相消求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)的方法.一般通項(xiàng)的分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式.右an,分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項(xiàng)積的形式則an(An B)(An C

9、)(An B)(An C)占(An B1An Can=1n(n 1)錯(cuò)位相減求和法:通項(xiàng)為非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積的形式:anbn cn ,其中bn是公差dwo等差數(shù)列，cn是公比qwi等比數(shù)列,如 an=(2n-1)2 n.般步驟:Snb1C1b2c2bn 1Cn 1bnCn，則qSn hGbn 1cnbn cn 1所以有（1q)Snb1C1(C2C3cn )d bncn 1要點(diǎn)詮釋:求和中觀察數(shù)列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯(cuò)位相減中變形的要點(diǎn)要點(diǎn)五：數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（

10、復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達(dá)到如下要求：明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題；弄清題目中的主要已知事項(xiàng)；明確所求的結(jié)論是什么.抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將已知與所求聯(lián)系起來(lái)，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.要點(diǎn)詮釋：數(shù)列的建模過(guò)程是解決數(shù)列應(yīng)用題的重點(diǎn)，要正確理解題意，恰當(dāng)設(shè)出數(shù)列的基本量.【典型例題】類型一：數(shù)列的概念與通項(xiàng)57一，一，1726的一個(gè)通項(xiàng)公式.13例1.寫(xiě)出

11、數(shù)列：1,510【思路點(diǎn)撥】從各項(xiàng)符號(hào)看,負(fù)正相間，可用符號(hào)（1）n表示；數(shù)列各項(xiàng)白分子：1,3,5,7,是個(gè)奇數(shù)列，可用2n1表示；數(shù)列各項(xiàng)白勺分母:5,10,17,26,恰是221,321,421,521,可用（n1）21表示.【解析】通項(xiàng)公式為：an （ 1）n2n 12(n 1)1【總結(jié)升華】求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是求數(shù)列中第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式.如果把數(shù)列的第1, 2, 3,項(xiàng)分別記作f(1), f(2), f(3),，那么求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是求以正整數(shù)n （項(xiàng)數(shù)）為自變量的函數(shù)f（n）的表達(dá)式;通項(xiàng)公式若不要求寫(xiě)多種形式，一般只寫(xiě)出一個(gè)常見(jiàn)的公式即可；給出數(shù)列的構(gòu)造為分式時(shí)，可

12、從各項(xiàng)的符號(hào)、分子、分母三方面去分析歸納，還可聯(lián)想常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，以此參照進(jìn)行比較.舉一反三：1212312345【變式1】已知數(shù)列i，£J,£,3,£,3,4,，則5是此數(shù)列中的（）2132143216A.第48項(xiàng)B.第49項(xiàng)C.第50項(xiàng)D.第51項(xiàng)【答案】C.11212312r將數(shù)列分為第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，第組n個(gè)，（1）,（1，2）,（，2/），（，,121321nn11.一.一.5.則第n組中每個(gè)數(shù)的分子分母的和為n+1,則5為第10組中白第5個(gè)，其項(xiàng)數(shù)為（1+2+3+9)+5=50.故選C.【變式2】根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想其

13、通項(xiàng)公式:(1) a13,an12an11(2) a1a©12an【答案】(1)a13,a27,a315,包31,猜想得an 2n 1 1 .12 a 3 2a(2)ai =a,a2=,a3=,a4=,2 a 3 2a 4 3a猜想得 an= (n 1) (n 2)a n (n 1)a類型二：等差、等比數(shù)列概念及其性質(zhì)的應(yīng)用1之間才1入n個(gè)正數(shù)，使這n 2個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積;方法一：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為x1,x2, , xn ,且公比為q,則n 1 - qn 1 n1q n(n 1), 4 -q (k 1,2，n) nTnXi x211 2Xn -q -qn nn(

14、n 1)1 -q n1萬(wàn)法一：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為x1,x2, , xn , x0 ,xn 1 n 1,nn 1Xo Xn 1 Xi Xn X2 Xn 1n2n 1 nTn x1 x2xn ' Tn(x1xn ) (x2xn 1)(xn x1) () ,nTn(U)2n【總結(jié)升華】第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a1、q,先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到.舉一反三：【變式1】如果一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為

15、32:27,求公差.【答案】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為&,公差為d,則12a1- 12 11 d 354216(a1 d) 6 5 2d2c1c c，6a16 5 2d212a1 66d 354a1 25a1 2d 0d 5【變式2】已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，積為 216,若第二個(gè)數(shù)加上4,則它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù).【答案】這三個(gè)數(shù)為2, 6, 18 或 18, 6, 2.例3.設(shè)&是等差數(shù)列1S J1,則會(huì)等于(3S12A. B.-103C. 1 D, 189【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解：等差數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3k&k也成等差數(shù)列.0成等差數(shù)列,【解

16、析】由題意知S3,S6S3,S90,§2由已知得S63S3,故公差為(S6s3)S3S3,所以S9s6S32s3,故S96s3，S12S9S33s3,故§210S3,s63所以一一.故選A。S1210【總結(jié)升華】等差等比數(shù)列的性質(zhì)是高考命題的熱點(diǎn)，熟練掌握它們的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，能使問(wèn)題簡(jiǎn)潔.舉一反三：【變式】已知等差數(shù)列an,Sn25,S2n100,則S3n()A.125B.175C.225D.250【答案】C方法一：an為等差數(shù)列， Sn，S2nSn，0nS2n成等差數(shù)列，即2(S2n&)&(S3n$2n) 2(10025)25(S3n100),解得當(dāng)22

17、5,選C.方法二：取特殊值(適用選擇題)：令n1,由題意可得SnS1a25，S2nS2a1a2100,a275,da2a50,cc3(31) .S3nS33a1(一)d225,2，選C.、4一n(n1)2n(2n1)萬(wàn)法二：Snna1d25,S2n2na1-d100,2 2兩式相減可得nain(3n1)d75,2S3n3na13n(3n1)d753225.2，選C.例4.等差數(shù)列an中，a10,S9§2,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？【思路分析】等差數(shù)列an的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次式，前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次式(缺常數(shù)項(xiàng)).求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大最小值可用解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題的

18、方法981211【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則由題意有：9a1d12a1d22化簡(jiǎn)得a110d,'/a10,d0,Sn na1 nd10dn212；d0,Sn有最小值。又nN,n10或n11時(shí)，Sn取最小值.0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)【總結(jié)升華】前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次式(缺常數(shù)項(xiàng))，當(dāng)a10,da10,d0時(shí)，Sn有最大值舉一反三：【變式1】等差數(shù)列an中，a113,S361,則它的前一項(xiàng)和最大，最大項(xiàng)的值是.【答案】7,493 21110設(shè)公差為d,由題思得3a1+d=11a1+-d,得d=-2,Sn有最大值.311又S3=S11,可彳導(dǎo)n=一-=7,76S7為最大值，即S7=

19、7X13+-(-2)=49.【變式2】若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=anan+1an+2(nCN),bn的前n項(xiàng)和用Sn表示,若an中滿足3a5=8a12>0,試問(wèn)n多大時(shí)，Sn取得最大值，證明你的結(jié)論.56【答案】-3a5=8a12>0,.3as=8(a5+7d),解得a5=d>05'd<0,-a1=-d5故an是首項(xiàng)為正的遞減數(shù)列ana1(n 1)d 0則有n 1')，即an 1al nd 076 d576 .d5(n 1)d 0nd 0解得：151. n=16,即a16>0,a17<0即：a1>a2>>a16

20、>0>a17>a18>是 b1>b2> - >b14>0>b17>b18>而 b15=a15 a16 a17<0b16=a16 a7 a18>0Si4>Si3> - >Si ,S14>S15, S15<S16p 69乂 a15= - d>0, a18= 一 d<055a15<|a18|,|b151Vb16,即 b15+b16>0S16>S14,故 Sn 中 S16 最大S例5.設(shè)Sn、Tn分別為等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和，滿足 Tn7n 1+ a11,求

21、14n 27【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的前 n項(xiàng)求和公式及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，主要利用:S2n 1(2n 1)(a1 a2n 1) (2n 1) 2an(2n 1)an進(jìn)行求解.方法一:a111bli2a112b11aa21b1b2121,、(a1a21)21 八 ，、 二(bl b21)2S217 21 1T214 21 27-的關(guān)系3方法二:設(shè)&k(7n1)n, Tnk(4n 27)n(kw0)a11=S11-S10=11k(7 11+1)-10k(7 10+1)=148kb11=T11-T10=11k(4 11+27)-10k(4 10+27)=111ka11 bn148k411

22、1k3【總結(jié)升華】等差數(shù)列的中項(xiàng)在前 n項(xiàng)和式中的應(yīng)用是解決本例的關(guān)鍵,也應(yīng)注意到前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的聯(lián)系.【變式1】等差數(shù)列an中，Sn=50, a1 a2 a3 a430, an 3 an 2 an 1 an 10,求項(xiàng)數(shù)n.【答案】a1 a2 a3 a4 30an 3 an 2 am an 10由(1) + (2)得：4(a1 an) 40(為cn(a1 an)n 10-Sn 50 nn 22【變式2】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列【答案】由已知得a1a2a3 a3 5,a7a8a【高清課堂：數(shù)列綜合381084例2】，an) 10,10an, aa2a3 5,a7a8a9 10,則 a4a

23、5a6 9 % 10 ,故 a4a5a6 a5 (Ja2a8)5>f2.【變式3】在數(shù)列an中，& 1,a2 2, an1(1 q)an qan 1 (n 2,q 0)，一，*、.(1)設(shè)bnan1an(nN),證明bn是等比數(shù)列(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式.中項(xiàng).若氏是26與a9的等差中項(xiàng)，求q的值；并證明：對(duì)任意的 n N , 4是an 3與4 6的等差an(1)利用定義證明bn qbn,q 1n 11 q d-,q 11 q(3)證明1時(shí),n不合題意q 1時(shí),an2 2 qn21 q2 2qn 11 q由23是%與a9的等差中項(xiàng)可求q3n2n又an3an61TV17sq1q

24、n12(1q)2%即an是an3與an6的等差中項(xiàng).類型三：由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式例6.已知數(shù)列an中a5,a22,an2an13an2,(n3)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式?！舅悸伏c(diǎn)撥】把a(bǔ)n2an13an2整理成anan13(an1an2),得數(shù)列anan1為等比數(shù)列；把a(bǔ)n2an13an2整理成an3an113an2)得數(shù)列an3an1為等比數(shù)列，通過(guò)構(gòu)造的新數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立求出an.【解析】an2an13an2anan 13(an 1 an 2)又a1a27,anan1形成首項(xiàng)為7,公比為3的等比數(shù)歹U,則anan173n2-an2an 13an(an 1a23a113,an3an1形成

25、了一個(gè)首項(xiàng)為13,公比為1的等比數(shù)列則an3an1(13)(1)n234an73n113(1)n17on113n1an3(1)44【總結(jié)升華】本題是兩次構(gòu)造等比數(shù)列，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的通項(xiàng)公式。舉一反三：2【變式1】已知數(shù)列an中，a11,an1-an1,求an.32【答案】法一：設(shè)(an1A)-(anA),解得a332即原式化為(an13)-(an3)3設(shè)bnan3,則數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1al322 2nbnan3(2)(-)n1an33(一)n3 3法二：an2anan131(n2)由一得:一一2an1an3(anan1)設(shè)bnan1an則數(shù)列0為等比數(shù)列bnan1an

26、ant守1(2)n(3)n一ana23(2)n32a11,3a3(2)2a%23a323/2221(-)(-)-1,3332an-an3,an3【變式2】在數(shù)列an中,a1=1,an1nanan.an1nannanan1anan11nan111a2a1a312a2an(nan11)(n2)將以上各式疊加,an12(na11)n/2(n1)(n2)11an2(n1)(n2)一一11又n=l時(shí)，1一(11)1一2a12*,ann-V(nN)類型四：an與Sn的關(guān)系式的綜合運(yùn)用【思路點(diǎn)撥】可以考慮化為例7.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)于nN,Snnan1恒成立，求Sn.Sn的遞推式，直接求Sn,這

27、是方法一；已知S與an的混合式，考慮采用降角標(biāo)作差的方法，化為an的遞推關(guān)系式，先求an再求Sn,這是方法【答案】Snn【解析】方法一：當(dāng)n 2時(shí),anSnSn1,SnnanSnn(&Sn1)(1n)&nSn1,所以數(shù)列(1n)Sn是首項(xiàng)為2§,公差為1的等差數(shù)列.當(dāng)n1時(shí)，§a11,2sl1(1n)Sn2s(n1)1n,Snn1方法二：Snnan1則Sn1(n1)an11一彳aannan(n1)an10,(n 1)an(n1)an 1anan 1在中，當(dāng)n=1時(shí)，a1a11,a2 a3 a4an& ai a2 a3an 2ann 2 n 111 &

28、#177;n n 1 n(n 1) n n 1(11)(11)(11)(122334n【總結(jié)升華】an與Sn的關(guān)系式的綜合運(yùn)用，如果已知條件是關(guān)于an、Sn的關(guān)系式f(an,Sn)0,可利用n>2時(shí)anSnSn1,將條件轉(zhuǎn)化為僅含an或Sn的關(guān)系式。注意分n=1和n>2兩種情況討論,若能統(tǒng)一，則應(yīng)統(tǒng)一，否則，分段表示。舉一反三：【變式1】在數(shù)列an中，已知a121,刖n項(xiàng)和S與通項(xiàng)&?兩足2Sn2anSnan(n2,3.)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】因?yàn)閍nSnSn 1,從而由已知得至U：2 _2Sn(2Sn 1)(Snr 1Sn)即工 Sn于是得到Sn1一，就可以得到:

29、2n 11an -2n2).【變式2】在數(shù)列an中,Sn是其前n項(xiàng)和，若a1= 1, an+1 =S)(n> 1)則3an =,n1,n21c，一.an=-Sn1(n>2,)3an+1= an(n> 2)3.c1an+1an=-an(n>2)3當(dāng)n>2時(shí),an工(")”當(dāng)n=1時(shí)，a=1.1,n1an14n2,n21-(an 1)(nN*).333【變式3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn(1)求&,a2；(2)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列.【答案】(1)由Si1(a11),得©1(a11),331a1一)21 .1.一1又S2(a21)

30、,即闞a2(a21),付a2.3 3411(2)證明：當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1二1)二11),33得反L又曳Lan12a1211所以an為首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.類型五：數(shù)列的求和問(wèn)題*例8.(2015天津)已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實(shí)數(shù)，且qw1),nN,a11,a?2,且a2a3,a3a4,a4a5成等差數(shù)列.(i)求q的值和an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)bnlOg2a2n,nN*,求數(shù)列0的前n項(xiàng)和.a2n1【答案】(1)2； an【解析】n 12kn22,n為奇數(shù).n 2(n) Sn 4 廣(i)解：由已知，有(a3%) a3)as)(a3 %)，即a4a2a5a3,所以a2(

31、q1)a3(q1).又因?yàn)閝wi,所以a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.n1當(dāng)n=2k1(kCN*)時(shí)，ana2k12k12下n2kin當(dāng)n=2k(ken*)時(shí)，ana2k2k2萬(wàn).n2k所以，an的通項(xiàng)公式為ann 12n22,n為奇數(shù).n為偶數(shù).（n）解：由（I）得bnlog2 a2nn，.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn,則 2 n *Sn2Sn121012112T3T(n(n上式兩式相減,2Sn 1整理得,Sn1)1)112n 12n1;所以，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為【總結(jié)升華】數(shù)列求和是考試的熱點(diǎn)，以等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算為背景考查錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和等求和方法。重點(diǎn)是錯(cuò)位相

32、減法舉一反三：【變式1】（2015天津文）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a53b2=7.（I）求an和bn的通項(xiàng)公式；（n）設(shè)Cn=anbn,nN*,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和.【答案】（I）設(shè)數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn的公差為d,由題意q>0.由已知，有2q24q3d3d2,消10去d,整理得q42q28=0.又因?yàn)閝>0,解得q=2,所以d=2.nC N*.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1,nCN*;數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1,(n)由(I)有Cn=(2n1)2n-1,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=1X20+

33、3X21+5X22+(2n3)X2n-2+(2n1)X2n-1,2Sn=1X21+3X22+5X23+(2n3)X2n-1+(2n1)X2n,上式兩式相減，得Sn=1+22+23+2n(2n1)X2n=2n+13(2n1)X2n=一(2n3)X2n3,所以，Sn=(2n3)2n+3,nCN*.21、n【變式2】右數(shù)列an的相鄰兩項(xiàng)an、an1是萬(wàn)程xCnX（一）0的兩根，又a2,求數(shù)3列Cn的前n項(xiàng)和Sn.1C【答案】由韋達(dá)7E理信anan1g,HnHn1（3）,1、n1/曰an21,an1an2(T)，仔二,3an3數(shù)列a2k與a2k1均成等比數(shù)列，且公比都為由a2,a1a2,1、k1a2k

34、a2()3(I)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令5k2k，a2k1(kN*a12(3)k1SnC1C2C3(&a2)(a2.C2a3)k(a3a4)(a2k1a2。(a2ka2k1)ai2(a3a5.a2k1)2(a2a4.a2k)a2k12a41(孑1312-3113(1)k13-237(1)k2397(1)2223(II)當(dāng)1ka21(3)11361(*2(3)kn為奇數(shù)時(shí)，令n2kSnC1C2C3(aa2)(a2.C2a3)ai2(a3a5a2ka3121(1)k313123-13(1)k13231k91(3)27(3)(3)kk1(a3a4)1)n1-2-2(a2.(a2k2a2k1)(a2k

35、1a2k)a4.a2k2)a2ka21(1)k136113(1)k13236(3)k11/1xk16(3)類型六：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例9.(2016長(zhǎng)沙校級(jí)模擬)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bnanlog1an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。2【答案】(1)an=2n(2)Sn=2n+1n2n+12【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng)和a2+a3+a4=28,求出a3、a2+a4的值，進(jìn)而得出首項(xiàng)和a1,即可求得通項(xiàng)公式；(2)先求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，然后求出-Sn-(-2Sn),即可求得的

36、前n項(xiàng)和Sn?！窘馕觥?1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q丁義+2是a2,a4的等差中項(xiàng)1-2(a3+2)=a2+a4代入a2+a3+a4=28,得a3=8a2+a4=203a1qa1q202oa3a1q8C1.q2或q2a12a32;數(shù)列an單調(diào)遞增an=2n(2) an=2nbn2n10gl2nn2n2Sn12222n2n2Sn122223(n1)2nn2n1一得，Sn=2+22+23+2nn.2n+1=2n+1n-2n+12【總結(jié)升華】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，求前n項(xiàng)和一般采取錯(cuò)位相減的辦法。舉一反三：【高清課堂：數(shù)列綜合381084例1】【變式】已知兩個(gè)等比數(shù)列an,bn,滿足a1a(a0),b1a11,b2a22,b3a33.(1)若a1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；若數(shù)列an唯一，求a的值.【答案】(1)an(2J2)n1或an(2出一1(2)a13類型六：應(yīng)用題例10.某地區(qū)現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加2